江苏省常州市溧阳市南渡高级中学高三数学理下学期期末试题含解析

江苏省常州市溧阳市南渡高级中学高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ） A. B. C. 4+2π D. 4+π 参考答案： D 由三视图还原，可知原图形是一个躺放的的三棱柱与一个半圆柱的组合体，且三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面两腰为2，高为2，圆柱的底面半径是1，高为2。所以体积为 ，t选D. 【点睛】 三视图应注意的三个问题 (1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． (2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同． (3)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置． 2. 设定义域为R的函数满足以下条件；①对任意；②对任意.则以下不等式不一定成立的是       A．                                       B．       C．                              D． 参考答案： D 3. 如图是七位评委为甲、乙两名比赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0﹣9中的一个），甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，若a1=a2，则m=（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 参考答案： A 【考点】茎叶图． 【分析】根据样本平均数的计算公式，代入数据得甲和乙的平均分，列出方程解出即可． 【解答】解：由题意得： 79+84×5+90+m=77+85×5+93， 解得：m=6， 故选：A． 4. 已知P是矩形ABCD所在平面内一点，AB=4，AD=3，,则   A.  0    B.-5或0     C.5    D.-5 参考答案： A 5. 当曲线与直线有两个不同交点时，实数的取值范围是    A.                          B.     C.                            D. 参考答案： B 6. 已知向量、为单位向量，且在的方向上的投影为，则向量与的夹角为（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由，变形可得，再利用平面向量数量积公式，结合向量夹角的范围可得结果. 【详解】设向量与的夹角为， 因为向量、为单位向量， 且在的方向上的投影为， 则有， 变形可得：， 即， 又由，则， 故选A． 【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）. 7. 对任意两个非零的平面向量和，定义；若两个非零的平面向量满足， 与的夹角，且都在集合中，则(     )                                                 参考答案： 选 都在集合中得： 8. 抛物线y2=16x的焦点为F，点A在y轴上，且满足||=||，抛物线的准线与x轴的交点是B，则?=（　　） A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣4或4 参考答案： C 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】求得抛物线的焦点坐标，由条件可得A的坐标，再由抛物线的准线可得B的坐标，得到向量FA，AB的坐标，由数量积的坐标表示，计算即可得到所求值． 【解答】解：抛物线y2=16x的焦点为F（4，0）， ||=||，可得A（0，±4）， 又B（﹣4，0）， 即有=（﹣4，4），=（﹣4，﹣4） 或=（﹣4，﹣4），=（﹣4，4） 则有?=16﹣16=0， 故选：C． 9. 函数的部分图象如图所示，则的值分别是 A．2，    B．2，    C．4，    D．4， 参考答案： A 10. 一直两个非零向量 ，其中 为 的夹角，若 则 的值为 A.－8    B.－6    C.8  D.6 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. F为椭圆 的一个焦点，若椭圆上存在点A使为正三角形，那么椭圆的离心率为            参考答案： 略 12. 抛物线上的点到焦点的距离为2，则          ． 参考答案： 2 13. 为了引导学生树立正确的消费观，某校调查了全校1000名学生每天零花钱的数量，绘制频率分布直方图如图，则每天的零花钱数量在[6，14）内的学生人数为_______. 参考答案： 680 14. 若曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： a＞0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题；导数的概念及应用． 【分析】由曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，故f′（x）=0有实数解，运用参数分离，根据函数的定义域即可解出a的取值范围． 【解答】解：∵曲线f（x）=ax2﹣lnx存在垂直于y轴的切线，（x＞0） ∴f′（x）=2ax﹣=0有解，即得a=有解， ∵x＞0，∴＞0，即a＞0． ∴实数a的取值范围是a＞0． 故答案为：a＞0． 【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想． 15. 已知 ，设与的夹角为，则等于          ． 参考答案： 16. 设点P在曲线y=x2+1（x≥0）上，点Q在曲线y=（x≥1）上，则|PQ|的最小值为          ． 参考答案： 考点：两点间距离公式的应用；二次函数的性质． 专题：计算题；函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：曲线y=的图象在第一象限，要使曲线y=x2+1上的点与曲线y=上的点取得最小值，点P应在曲线y=x2+1的第一象限内的图象上，分析可知y=x2+1（x≥0）与y=互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，所以，求出y=上点Q到直线y=x的最小值，乘以2即可得到|PQ|的最小值． 解答： 解：由y=x2+1，得：x2=y﹣1，x=． 所以，y=x2+1（x≥0）与y=互为反函数． 它们的图象关于y=x对称． P在曲线y=x2+1上，点Q在曲线y=上， 设P（x，1+x2），Q（x，） 要使|PQ|的距离最小，则P应在y=x2+1（x≥0）上， 又P，Q的距离为P或Q中一个点到y=x的最短距离的两倍． 以Q点为例，Q点到直线y=x的最短距离 d===． 所以当=，即x=时，d取得最小值， 则|PQ|的最小值等于2×=． 故答案为：． 点评：本题考查了反函数，考查了互为反函数图象之间的关系，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把求两曲线上点的最小距离问题，转化为求一支曲线上的动点到定直线的最小距离问题，此题是中档题． 17. 如果实数x，y满足条件， 那么目标函数z＝2x－y的最小值为____________. 参考答案： —3 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设f（x）=|x﹣1|+|x+1|． （1）求f（x）≤x+2的解集； 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集； （2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围． 【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得： 或或， 即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?， 解得0≤x≤2， 所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；                       （2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3， 当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号． 由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立， 可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或， 解得x≤﹣或x≥， 故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键． 19. 已知函数过点。     （1）求a的值及函数的最小正周期；     （2）若且，求的值。 参考答案： 20. 如图1，在直角梯形中，为线段的中点.将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 参考答案： 解：（1）在图1中，可得，从而，故， 取中点连结,则，又面面， 面面面，从而平面，∴， 又，∴平面，故平面平面； （2） 建立空间直角坐标系如图所示，则， ， 设为面的法向量， 则即，解得， 令，可得， 又为面的一个法向量， ∴，∴二面角的余弦值为.   21. 已知函数． （）求的值． （）求函数的最小正周期和单调递增区间． （）求在区间上的最大值和最小值． 参考答案： （） （）最小正周期为 单调递增区间为， （）在上最大值为，最小值为 （）∵ ． ． （）最小正周期， ， ， ， ∴单调递增区间为，． （）∵， ， ， ， ， ∴在上最大值为，最小值为． 22. 已知，证明： （1）； （2）． 参考答案： ⑴由柯西不等式得： 当且仅当，即时取等号． ⑵∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由均值不等式可得： ∴ ∴ ∴ ∴ 当且仅当时等号成立．