上海邦德第四中学2022年高二数学理月考试题含解析

上海邦德第四中学2022年高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （算法）下列程序的输出结果是（    ）                                  A．2，2                                  B．3，2                                  C．2，3                                  D．3，3       参考答案： B 略 2. 椭圆2x2+y2=6的焦点坐标是（　　） A．（±，0） B．（0，±） C．（±3，0） D．（0，±3） 参考答案： B 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及c的值，由焦点坐标公式即可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆2x2+y2=6的标准方程为+=1， 其焦点在y轴上，且c==， 则其焦点坐标为（0，±）， 故选：B． 3. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 参考答案： D 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】由题意，△ABF2的周长为24，利用双曲线的定义，可得=24﹣4a，进而转化，利用导数的方法，即可得出结论． 【解答】解：由题意，△ABF2的周长为24， ∵|AF2|+|BF2|+|AB|=24， ∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|=， ∴=24﹣4a，∴b2=a（6﹣a）， ∴y=a2b2=a3（6﹣a），∴y′=2a2（9﹣2a）， 0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＜0， ∴a=4.5时，y=a2b2取得最大值，此时ab取得最大值，b=， ∴c=3， ∴e==， 故选：D． 4. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 又a,b,c成等比数列,且c=2a, 则cosB=(  ) A.    B.    C.     D. 参考答案： B 5. 直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9相交于两点M，N，若c2=a2+b2，则?（O为坐标原点）等于(     ) A．﹣7 B．﹣14 C．7 D．14 参考答案： A 【考点】直线与圆相交的性质；平面向量数量积的运算． 【专题】计算题． 【分析】由题意，直线ax+by+c=0与圆x2+y2=9组成方程组，消去y，得到x的一元二次方程，求得x1x2；同理，可求得y1y2；从而求出?的值． 【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），则由方程组， 消去y，得（a2+b2）x2+2acx+（c2﹣9b2）=0，∴x1x2=； 消去x，得（a2+b2）y2+2bcy+（c2﹣9a2）=0，∴y1y2=； ∴?=x1x2+y1y2====﹣7； 故选A． 【点评】本题通过平面向量数量积的坐标表示，考查了直线与圆组成方程组的问题，是常见的基础题． 6. 已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，下列哪个条件能判断点M不在平面ABC内 参考答案： C 7. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（    ） A.588     B.480     C.450      D.120  参考答案： B 略 8. 已知圆的方程，设圆过点的最长弦和最短弦分别为AB和CD，则四边形ABCD的面积为（     ） A.                     B.                   C.         D. 参考答案： B 略 9. 执行如图的程序框图，输出y的值是（　　） A．127 B．63 C．31 D．15 参考答案： B 【考点】EF：程序框图． 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 x=0，y=1 执行循环体，x=1，y=3 不满足条件x＞4，执行循环体，x=2，y=7 不满足条件x＞4，执行循环体，x=3，y=15 不满足条件x＞4，执行循环体，x=4，y=31 不满足条件x＞4，执行循环体，x=5，y=63 满足条件x＞4，退出循环，输出y的值为63． 故选：B． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题． 10. 若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（     ） A.     B.      C.        D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，，，，则__________（其中）． 参考答案： 试题分析：第一个式子左边1个数的平方，右边从1开始，连续的2个整数相乘，再乘；第二个式子左边2个数的平方，右边从2开始，连续的2个整数相乘，再乘；第个式子左边个数的平方和，右边从开始，连续的2个数相乘，在乘，即为． 考点：归纳推理的应用． 12. 若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是_____ 参考答案： 【分析】 本题首先根据“方程表示焦点在x轴上的双曲线”可得出两分母的符号，然后通过计算即可得出m的范围。 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的双曲线， 所以，解得，故答案为。 【点睛】本题考查了双曲线的相关性质，主要考查了焦点在x轴上的双曲线的相关性质，考查了推理能力与计算能力，是简单题。 13. 椭圆的焦点分别为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么                。 参考答案： 14. 在曲线处的切线方程为            。 参考答案： 略 15. 若复数为纯虚数，则t的值为     。   参考答案： 略 16. 在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是____________ 参考答案： 1 略 17. 已知曲线的极坐标方程为．以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为____________． 参考答案： （为参数） 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13, 14)；第二组[14, 15)，……，第五组[17, 18]. 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.   (1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数； (2)设m、n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m, n∈[13, 14)∪[17, 18]. 求事件“|m－n|>1”的概率. 参考答案： 解(1)由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×0.16+50×0.38=27人    (2)由直方图知，成绩在[13, 14)的人数为50×0.06=3人，设为x, y, z 　　　成绩在[17, 18)的人数为50×0.08=4人，设为A, B, C, D    当m, n∈[13, 14)时，有xy, xz, yz 3种情况 　 当m, n∈[17, 18)时，有AB, AC, AD, BC, BD, CD 6种情况 　 若m, n分别在[13, 14)和[17, 18)内时，有xA, xB, xC, xD, yA, yB, yC, yD, zA, zB, zC, zD共12种情况，所以基本事件总数为21种。 　事件“|m－n|>1”所包含的基本事件个数有12种.  ∴P(|m－n|>1)= = 19. 已知函数. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间. 参考答案： 略 20. （本题满分12分）某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在，（单位：元）． （Ⅰ）估计居民月收入在的概率； （Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数； （Ⅲ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看做有放回的抽样），求月收入在的居民数X的分布列． 参考答案： 21. 已知复数满足: 求的值. 参考答案： 解：设，而即 则 22. 已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面 ABCD，且PA=AD=DB=，AB=1，M是PB的中点． （1）证明：面PAD⊥面PCD； （2）求AC与PB所成的角； （3）求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）由三垂线定理得CD⊥PD，从而CD⊥面PAD，再由CD?面PCD，能证明面PAD⊥面PCD． （2）过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角． 连接AE，推导出四边形ACBE为正方形，由此能求出AC与PB所成的角． （3）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，则∠ANB为所求二面角的平面角，由此能求出平面AMC与平面BMC所成二面角的大小． 【解答】证明：（1）∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD， ∴由三垂线定理得：CD⊥PD． 因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD． 又CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD． 解：（2）过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角． 连接AE，可知AC=CB=BE=AE=， 又AB=2，所以四边形ACBE为正方形． 由PA⊥面ABCD，得∠PEB=90° 在Rt△PEB中，BE=a2=3b2，PB=， ∴cos∠PBE==． ∴AC与PB所成的角为arccos． （3）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN． 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC， ∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角 ∵CB⊥AC， 由三垂线定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM． 在等腰三角形AMC中，AN?MC=?AC， ∴AN=．∴AB=2， ∴cos∠ANB==﹣， 故平面AMC与平面BMC所成二面角的大小为arccos（﹣）． 【点评】本题考查面面垂直的证明，考百线线角的求法，考百二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．