山西省朔州市山阴县马营庄中学高三数学理期末试卷含解析

山西省朔州市山阴县马营庄中学高三数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的导函数的图像如图所示，那么的图像最有可能的是（ ☆ ） 参考答案： A 2. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则(       ).      A.           B. C.           D.                 参考答案： D 略 3. 命题“?x0＜0，（x0﹣1）（x0+2）≥0”的否定是（　　） A．?x0＞0，（x0﹣1）（x0+2）＜0 B．?x0＜0，（x0﹣1）（x0+2）＜0 C．?x＞0，（x﹣1）（x+2）≥0 D．?x＜0，（x﹣1）（x+2）＜0 参考答案： D 【考点】命题的否定． 【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题． ∴命题“?x0＜0，（x0﹣1）（x0+2）≥0”的否定是：?x＜0，（x﹣1）（x+2）＜0． 故选：D． 【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查． 4. 定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足 ，则当时，有                  （     ）     (A)．         (B)．     (C)．         (D)． 参考答案： B 略 5. 若，则（   ） A. B. C. -1 D. 3 参考答案： A 分析】 由，可求出的值，所求式子可以写成分母为1的形式，用 进行代换，分子、分母同时除以，然后把的值代入求值即可. 【详解】, ,把代入，求得，故本题选A. 【点睛】本题考查了两角和的正切公式、正弦的二倍角公式,解决本题的关键是 的代换，变成双齐次方程，这样便于求出值来. 6. 在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　 ) A.         B.        C.        D. 参考答案： B 略 7. 已知直线与函数的图象依次交于三点,则 (A)           (B)            (C)           (D) 参考答案： A 略 8. 已知偶函数在上递增，且，则实数的取值范围（    ）． A． B． C． D． 参考答案： C 偶函数在递增， 由对称性可知，在递减， ∵， ∴， 解出或． 故选． 9. 设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个     公共点，且满足，则的最小值为     (A)3       (B)           (C)4        ( D) 参考答案： B 略 10. 已知复数z=，则z在复平面上对应的点在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 参考答案： D 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：∵z==， ∴z在复平面上对应的点的坐标为（），在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 20世纪30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪测量地震能量的等级，地震能量越大，地震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．假设在一次地震中，一个距离震中100km的测震仪记录的最大振幅是20，此时标准地震的振幅为0．001，则此次地震的震级为         (精确到0．1，已知）． 参考答案： 12. 的展开式中的常数项为______________(用数字作答)    参考答案： 24 13. 已知点在圆上，点关于直线的对称点也在圆上，则。 参考答案： 14. 若的最小值为_________. 参考答案： 1  略 15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，如果这样的三角形有且只有一个，则a的取值范围为            . 参考答案： 或 试题分析：由题意得，在中内角所对的边分别为，由，所以，所以当或时，此时满足条件的三角形只有一个． 16. 已知直线l1：kx﹣y+4=0与直线l2：x+ky﹣3=0（k≠0）分别过定点A、B，又l1、l2相交于点M，则|MA|?|MB|的最大值为　　． 参考答案：   【考点】两条直线的交点坐标． 【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有MA⊥MB；再利用基本不等式放缩即可得出|MA|?|MB|的最大值． 【解答】解：由题意可知，直线l1：kx﹣y+4=0经过定点A（0，4）， 直线l2：x+ky﹣3=0经过点定点B（3，0）， 注意到kx﹣y+4=0和直线l2：x+ky﹣3=0始终垂直，M又是两条直线的交点， 则有MA⊥MB，∴|MA|2+|MB|2=|AB|2=25． 故|MA|?|MB|≤（当且仅当|MA|=|MB|=时取“=”） 故答案为：． 17. 设（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（x∈N*），若a1+a2=30，则n=　  　． 参考答案： 5 【考点】二项式系数的性质． 【分析】（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn=++…，可得a1+a2=﹣2+4×=30，化简解出即可得出． 【解答】解：（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn=++…， ∴a1+a2=﹣2n+4×=30，化为n2﹣2n﹣15=0，n∈N*． 解得n=5． 故答案为：5． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知，，且． （1）求函数f（x）的解析式；并求其最小正周期和对称中心． （2）当时，f（x）的最小值是﹣4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值． 参考答案： 【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算． 【分析】（1）由平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可得解析式f（x）=．利用周期公式可求最小正周期，由2x+=kπ，k∈Z解得对称中心． （2）由，可求，从而可得，解得m，利用正弦函数的有界限即可得解． 【解答】解：（1）∵，，． ∴=．… ∴最小正周期T==π， ∴由2x+=kπ，k∈Z解得对称中心为．… （2）=， 由，∴，∴， ∴， ∴m=±2… ∴，此时，．… （本小题满分19. 14分）   已知函数处取得极值.   （Ⅰ）求的值；   （Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；   （Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，  请说明理由. 参考答案：   （Ⅰ）∵f(x)=x3－x2+bx+c，      ∴f′(x)=3x2－x+b.          ……2分      ∵f(x)在x=1处取得极值，      ∴f′(1)=3－1+b=0.      ∴b=－2.              ……3分      经检验，符合题意.          ……4分   （Ⅱ）f(x)=x3－x2－2x+c.       ∵f′(x)=3x2－x－2=(3x+2)(x－1)，      …5分 　x   　 　 　   1  (1,2)   2 f′(x) 　    +   0   －   0   + 　 f(x) 　   　   　   　                       ……7分       ∴当x=－时，f(x)有极大值+c.            又       ∴x∈[－1，2]时，f(x)最大值为f(2)=2+c.      ……8分       ∴c2>2+c.   ∴c<－1或c>2.       …………10分   （Ⅲ）对任意的恒成立.       由（Ⅱ）可知，当x=1时，f(x)有极小值.       又        …12分       ∴x∈[－1，2]时，f(x)最小值为.       ，故结论成立. ……14分 20. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人） 高校 相关人数 抽取人数 A 18 B 36 2 C 54 （1）求. （2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。 参考答案： （1）由题意可得，所以 （2）记从高校B抽取的2人为从高校C抽取的3人为则从高校抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有 共10种.   设选中的2人都来自高校C的事件为则包含的基本事件有共3种，因此 答：选中的2人都来自高校C的概率为. 21.  已知函数，若存在，则称是函数的一个不动点，设    (Ⅰ）求函数的不动点；    (Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点、（假设），求使 恒成立的常数的值； 参考答案： （Ⅰ）设函数    (Ⅱ）由（Ⅰ）可知 可知使恒成立的常数. 22. （13分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）． （Ⅰ）求函数f（x）的最大值； （Ⅱ）若a=，且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围； （Ⅲ）设各项为正数的数列{an}满足a1=1，an+1=lnan+an+2（n∈N*），求证：an≤2n﹣1． 参考答案： 【考点】数列与函数的综合；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】综合题；等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最大值； （Ⅱ）设，求出函数的最大值，比较g（1），g（4），即可求实数b的取值范围； （Ⅲ）证明an+1+1≤2（an+1），可得当n≥2时，，，…，，相乘得，即可证明结论． 【解答】（Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞），， ， 当时，f（x）取最大值… （Ⅱ）解：，由得在[1，4]上有两个不同的实根， 设，，x∈[1，3）时，g'（x）＞0，x∈（3，4]时，g'（x）＜0， 所以g（x）max=g（3）=ln3， 因为，，得g（1）＜g（4） 所以… （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知当a=1时，lnx＜x﹣1． 由已知条件an＞0，an+1=lnan+an+2≤an﹣1+an+2=2an+1， 故an+1+1≤2（an+1）， 所以当n≥2时，，，…，， 相乘得， 又a1=1，故，即… 【点评】本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查数列与函数的综合，考查学生分析解决问题的能力，有难度．