安徽省合肥市巢湖兴华中学高一数学理期末试卷含解析

安徽省合肥市巢湖兴华中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等于      （    ）     A．{1,2,3,4,5}    B．{2,3,4}        C．{2,3,4,5}      D． 参考答案： C 2. 已知，函数与图像关于y=x对称，若 f (-2)·g(2) < 0，那么与在同一坐标系内的图像可能是(    )        A．               B．              C．                D． 参考答案： C 3. 要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（     ）                      A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位             D．向右平移个单位 参考答案： C 略 4. 如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，记=，=，则向量=（　　） A．﹣﹣B．﹣+C．﹣ D． + 参考答案： B 【分析】由向量的平行四边形法则、三角形法则可得： =，，即可得出． 【解答】解：∵=，， ∴==． 故选：B． 【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，属于基础题． 5. 已知函数f（x）=，若f（2a+1）＞f（3），则实数a的取值范围是(     ) A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，1） 参考答案： A 【考点】分段函数的应用． 【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用． 【分析】作函数f（x）=的图象，从而结合图象可化不等式为|2a+1|＞3，从而解得． 【解答】解：作函数f（x）=的图象如下， ， 分段函数f（x）的图象开口向上，且关于y轴对称； f（2a+1）＞f（3）可化为|2a+1|＞3， 解得，a＞1或a＜﹣2； 故选A． 【点评】本题考查了分段函数的图象与性质的应用及数形结合的思想应用． 6. a是四象限角，则180°-a是 A、第一象限角       B、第二象限角 C、第三象限角       D、第四象限角 参考答案： C 7. 定义集合A、B的一种运算：，若，，则中的所有元素数字之和为           ． 参考答案： 14 8. 下列各组中两个函数是同一函数的是（   ） A． B． C． D． 参考答案： B 9. 函数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 10. 已知e是自然对数的底数，函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是 A． B． C． D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知角α、β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α、β∈（0，π），角β的终边与单位圆交点的横坐标是，角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cosα=　　． 参考答案： 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】根据角的范围及同角三角函数的基本关系求出sinβ，根据 α+β 的范围及cos（α+β）的值求出sin （α+β）的值，利用两角差的余弦公式计算cosα=cos[（α+β）﹣β]的值． 【解答】解：由题意得 α、β∈（0，π），cosβ=﹣，∴sinβ=，故＜β＜π． ∵sin（α+β）=，∴＜α+β＜π， ∴cos（α+β）=﹣，∴cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=， 故答案为  ． 12. 已知数列满足（为正整数），且，则数列   的通项公式为=  ▲  . 参考答案： 13. 已知点. 若直线与线段相交，则的取值范围是___________ 参考答案： ] 略 14. 写出命题“已知，如果是减函数，则”的否命题  已知，如果是增函数，则      ． 参考答案： 15. 已知函数f（x）=则f（﹣1）=　　；f（2）=　　；f（log23）=　　． 参考答案： ,1,. 【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用分段函数直接求解函数值即可． 【解答】解：函数f（x）=， 则f（﹣1）=2﹣1=． f（2）=f（1）=f（0）=20=1； f（log23）=f（log23﹣1）=f（log2）==． 给答案为：；1；． 【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力． 16. 如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD的高度（建筑物CD垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定A，B两点，其距离为100米，然后在A处测得，在B处测得，，则此建筑物CD的高度为__________米. 参考答案： 【分析】 由三角形内角和求得，在中利用正弦定理求得；在中，利用正弦的定义可求得结果. 【详解】由题意知： 在中，由正弦定理可得： 即： 在中， 本题正确结果： 【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的测量高度的问题，涉及到正弦定理的应用问题. 17. 欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱入孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为2cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为　　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】求出圆和正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 【解答】解：正方形的面积S=0.5×0.5=0.25， 若铜钱的直径为2cm，则半径是1，圆的面积S=π×12=π， 则随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率P==， 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx是R上的奇函数，且f（1）=2，f（2）=10， （1）确定函数f（x）的解析式； （2）用定义证明f（x）在R上是增函数； （3）若关于x的不等式f（x2﹣4）+f（kx+2k）＜0在x∈（0，1）上恒成立，求k的取值范围． 参考答案： 考点： 奇偶性与单调性的综合． 专题： 计算题；证明题；转化思想． 分析： （1）由“函数f（x）是奇函数”求或找到a，b，c的关系，再结合f（1）=2，f（2）=10求解． （2）要求用定义，则先在给定的区间任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号． （3）利用奇函数将“不等式f（x2﹣4）+f（kx+2k）＜0，在x∈（0，1）上恒成立”转化为“f（x2﹣4）＜f（﹣kx﹣2k） 在x∈（0，1）上恒成立”再由增函数的定义转化为“x2+kx+2k﹣4＜0在（0，1）上恒成立”求解． 解答： （1）∵函数f（x）是奇函数 ∴f（﹣x）=﹣f（x）即﹣ax3+bx2﹣cx=﹣ax3﹣bx2﹣cx ∴2bx2=0对于任意x都成立 即b=0 ∵ ∴函数的解析式是f（x）=x3+x    5分 （2）证明：设x1，x2是R上的任意两个不相等的实数，且x1＜x2， 则△y=f（x2）﹣f（x1）=x23+x2﹣x13﹣x1=（x2﹣x1）（x22+x1x2+x12）+（x2﹣x1） = ∵x2﹣x1＞0，∴△y＞0 ∴函数f（x）在R上是增函数（10分） （3）∵f（x2﹣4）+f（kx+2k）＜0 ∴f（x2﹣4）＜﹣f（kx+2k）=f（﹣kx﹣2k） 又因为f（x）是增函数，即x2﹣4＜﹣kx﹣2k ∴x2+kx+2k﹣4＜0在（0，1）上恒成立．（12分） 法（一）令g（x）=x2+kx+2k﹣4，x∈（0，1） 则 ∴k的取值范围是（﹣∞，1]14分 法（二）上式可化为k（x+2）＜4﹣x2 ∵x∈（0，1）即x+2＞0∴ 令U（x）=2﹣x，x∈（0，1） ∵U（x）=2﹣x在（0，1）上是减函数 ∴U（x）＜1即k≤1．（14分） 点评： 本题主要考查应用奇偶性来求函数解析式，应用单调性定义来证明函数的单调性，还考查了综合运用奇偶性和单调性来解不等式的能力． 19. 已知集合,,, 且,求的取值范围。 参考答案： 解：，当时，， 而 则 这是矛盾的； 当时，，而， 则； 当时，，而， 则； ∴ 略 20. （12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边． （1）若△ABC面积S△ABC=，c=2，A=60°，求a、b的值； （2）若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状． 参考答案： 考点： 余弦定理；三角形的形状判断． 专题： 计算题． 分析： （1）由A的度数求出sinA和cosA的值，再由c及三角形的面积，利用三角形的面积公式求出b的值，然后由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值； （2）由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化简可得出a2+b2=c2，利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形，在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，代入b=csinA，化简可得b=a，从而得到三角形ABC为等腰直角三角形． 解答： （1）∵， ∴，得b=1， 由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=12+22﹣2×1×2?cos60°=3， 所以． （2）由余弦定理得：，∴a2+b2=c2， 所以∠C=90°； 在Rt△ABC中，，所以， 所以△ABC是等腰直角三角形． 点评： 此题考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函数值，考查了勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 21. （12分）已知二次函数f（x）满足f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）求f（2x）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值． 参考答案： 【考点】二次函数的性质． 【分析】（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c，结合f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x，可得f（x）的解析式； （Ⅱ）令2x=t，﹣1≤x≤1，结合二次函数的图象和性质，可得f（2x）在区间[﹣1，1]上的最大值与最小值． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分） 由f（0）=1，得c=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分） 由f（x+1）﹣f（x）=2x，得 解得a=1，b=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以，f（x）=x2﹣x+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （Ⅱ）令2x=t，﹣1≤x≤1， ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分） ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 所以，此时x=﹣1； [f（t）]max=f（2）=3，此时x=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 22. 在锐角△ABC中，已知sin（A+B）=，sin（A﹣B）=． （1）求证：tanA=2tanB； （2）求tan（A+B）及tanB． 参