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安徽省合肥市巢湖兴华中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知等于 ( )
A.{1,2,3,4,5} B.{2,3,4} C.{2,3,4,5} D.
参考答案:
C
2. 已知,函数与图像关于y=x对称,若
f (-2)·g(2) < 0,那么与在同一坐标系内的图像可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 要得到的图象只需将y=3sin2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
C
略
4. 如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,记=,=,则向量=( )
A.﹣﹣B.﹣+C.﹣ D. +
参考答案:
B
【分析】由向量的平行四边形法则、三角形法则可得: =,,即可得出.
【解答】解:∵=,,
∴==.
故选:B.
【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、三角形法则,属于基础题.
5. 已知函数f(x)=,若f(2a+1)>f(3),则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1)∪(﹣,+∞) C.(1,+∞) D.(﹣∞,1)
参考答案:
A
【考点】分段函数的应用.
【专题】作图题;数形结合;函数的性质及应用.
【分析】作函数f(x)=的图象,从而结合图象可化不等式为|2a+1|>3,从而解得.
【解答】解:作函数f(x)=的图象如下,
,
分段函数f(x)的图象开口向上,且关于y轴对称;
f(2a+1)>f(3)可化为|2a+1|>3,
解得,a>1或a<﹣2;
故选A.
【点评】本题考查了分段函数的图象与性质的应用及数形结合的思想应用.
6. a是四象限角,则180°-a是
A、第一象限角 B、第二象限角
C、第三象限角 D、第四象限角
参考答案:
C
7. 定义集合A、B的一种运算:,若,,则中的所有元素数字之和为 .
参考答案:
14
8. 下列各组中两个函数是同一函数的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
9. 函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 已知e是自然对数的底数,函数的零点为a,函数的零点为b,则下列不等式中成立的是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知角α、β的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,α、β∈(0,π),角β的终边与单位圆交点的横坐标是,角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是,则cosα= .
参考答案:
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】根据角的范围及同角三角函数的基本关系求出sinβ,根据 α+β 的范围及cos(α+β)的值求出sin (α+β)的值,利用两角差的余弦公式计算cosα=cos[(α+β)﹣β]的值.
【解答】解:由题意得 α、β∈(0,π),cosβ=﹣,∴sinβ=,故<β<π.
∵sin(α+β)=,∴<α+β<π,
∴cos(α+β)=﹣,∴cosα=cos[(α+β)﹣β]=cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=,
故答案为 .
12. 已知数列满足(为正整数),且,则数列 的通项公式为= ▲ .
参考答案:
13. 已知点. 若直线与线段相交,则的取值范围是___________
参考答案:
]
略
14. 写出命题“已知,如果是减函数,则”的否命题 已知,如果是增函数,则 .
参考答案:
15. 已知函数f(x)=则f(﹣1)= ;f(2)= ;f(log23)= .
参考答案:
,1,.
【考点】分段函数的应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用分段函数直接求解函数值即可.
【解答】解:函数f(x)=,
则f(﹣1)=2﹣1=.
f(2)=f(1)=f(0)=20=1;
f(log23)=f(log23﹣1)=f(log2)==.
给答案为:;1;.
【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.
16. 如图,某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD的高度(建筑物CD垂直于地面),设计测量方案为先在地面选定A,B两点,其距离为100米,然后在A处测得,在B处测得,,则此建筑物CD的高度为__________米.
参考答案:
【分析】
由三角形内角和求得,在中利用正弦定理求得;在中,利用正弦的定义可求得结果.
【详解】由题意知:
在中,由正弦定理可得:
即:
在中,
本题正确结果:
【点睛】本题考查解三角形的实际应用中的测量高度的问题,涉及到正弦定理的应用问题.
17. 欧阳修《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱入孔入,而钱不湿,可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止,若铜钱是直径为2cm的圆,中间有边长为0.5cm的正方形孔,若你随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为 .
参考答案:
【考点】几何概型.
【分析】求出圆和正方形的面积,结合几何概型的概率公式进行计算即可.
【解答】解:正方形的面积S=0.5×0.5=0.25,
若铜钱的直径为2cm,则半径是1,圆的面积S=π×12=π,
则随机向铜钱上滴一滴油,则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率P==,
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (14分)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx是R上的奇函数,且f(1)=2,f(2)=10,
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在R上是增函数;
(3)若关于x的不等式f(x2﹣4)+f(kx+2k)<0在x∈(0,1)上恒成立,求k的取值范围.
参考答案:
考点: 奇偶性与单调性的综合.
专题: 计算题;证明题;转化思想.
分析: (1)由“函数f(x)是奇函数”求或找到a,b,c的关系,再结合f(1)=2,f(2)=10求解.
(2)要求用定义,则先在给定的区间任取两个变量,且界定大小,再作差变形看符号.
(3)利用奇函数将“不等式f(x2﹣4)+f(kx+2k)<0,在x∈(0,1)上恒成立”转化为“f(x2﹣4)<f(﹣kx﹣2k)
在x∈(0,1)上恒成立”再由增函数的定义转化为“x2+kx+2k﹣4<0在(0,1)上恒成立”求解.
解答: (1)∵函数f(x)是奇函数
∴f(﹣x)=﹣f(x)即﹣ax3+bx2﹣cx=﹣ax3﹣bx2﹣cx
∴2bx2=0对于任意x都成立
即b=0
∵
∴函数的解析式是f(x)=x3+x 5分
(2)证明:设x1,x2是R上的任意两个不相等的实数,且x1<x2,
则△y=f(x2)﹣f(x1)=x23+x2﹣x13﹣x1=(x2﹣x1)(x22+x1x2+x12)+(x2﹣x1)
=
∵x2﹣x1>0,∴△y>0
∴函数f(x)在R上是增函数(10分)
(3)∵f(x2﹣4)+f(kx+2k)<0
∴f(x2﹣4)<﹣f(kx+2k)=f(﹣kx﹣2k)
又因为f(x)是增函数,即x2﹣4<﹣kx﹣2k
∴x2+kx+2k﹣4<0在(0,1)上恒成立.(12分)
法(一)令g(x)=x2+kx+2k﹣4,x∈(0,1)
则
∴k的取值范围是(﹣∞,1]14分
法(二)上式可化为k(x+2)<4﹣x2
∵x∈(0,1)即x+2>0∴
令U(x)=2﹣x,x∈(0,1)
∵U(x)=2﹣x在(0,1)上是减函数
∴U(x)<1即k≤1.(14分)
点评: 本题主要考查应用奇偶性来求函数解析式,应用单调性定义来证明函数的单调性,还考查了综合运用奇偶性和单调性来解不等式的能力.
19. 已知集合,,,
且,求的取值范围。
参考答案:
解:,当时,,
而 则 这是矛盾的;
当时,,而,
则;
当时,,而,
则; ∴
略
20. (12分)已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边.
(1)若△ABC面积S△ABC=,c=2,A=60°,求a、b的值;
(2)若a=ccosB,且b=csinA,试判断△ABC的形状.
参考答案:
考点: 余弦定理;三角形的形状判断.
专题: 计算题.
分析: (1)由A的度数求出sinA和cosA的值,再由c及三角形的面积,利用三角形的面积公式求出b的值,然后由b,c及cosA的值,利用余弦定理即可求出a的值;
(2)由三角形的三边a,b及c,利用余弦定理表示出cosB,代入已知的a=ccosB,化简可得出a2+b2=c2,利用勾股定理的逆定理即可判断出三角形为直角三角形,在直角三角形ABC中,利用锐角三角函数定义表示出sinA,代入b=csinA,化简可得b=a,从而得到三角形ABC为等腰直角三角形.
解答: (1)∵,
∴,得b=1,
由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=12+22﹣2×1×2?cos60°=3,
所以.
(2)由余弦定理得:,∴a2+b2=c2,
所以∠C=90°;
在Rt△ABC中,,所以,
所以△ABC是等腰直角三角形.
点评: 此题考查了三角形的面积公式,余弦定理,正弦定理,以及特殊角的三角函数值,考查了勾股定理的逆定理,锐角三角函数的定义,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
21. (12分)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(x+1)﹣f(x)=2x.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求f(2x)在区间[﹣1,1]上的最大值与最小值.
参考答案:
【考点】二次函数的性质.
【分析】(Ⅰ)设f(x)=ax2+bx+c,结合f(0)=1,f(x+1)﹣f(x)=2x,可得f(x)的解析式;
(Ⅱ)令2x=t,﹣1≤x≤1,结合二次函数的图象和性质,可得f(2x)在区间[﹣1,1]上的最大值与最小值.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设f(x)=ax2+bx+c,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)
由f(0)=1,得c=1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2分)
由f(x+1)﹣f(x)=2x,得
解得a=1,b=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以,f(x)=x2﹣x+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
(Ⅱ)令2x=t,﹣1≤x≤1,
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
所以,此时x=﹣1;
[f(t)]max=f(2)=3,此时x=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.
22. 在锐角△ABC中,已知sin(A+B)=,sin(A﹣B)=.
(1)求证:tanA=2tanB;
(2)求tan(A+B)及tanB.
参
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