山西省晋城市阳城县润城镇中学高三数学理月考试题含解析

山西省晋城市阳城县润城镇中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. ．图象的一个对称中心是                            （   ）    A．    B．    C．    D． 参考答案： B 略 2. 已知复数，是z的共轭复数，则的模等于（   ） A       B   2     C  1           D   参考答案： C 3. 已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A.        B.        C.       D. 参考答案： C 略 4. 若（其中为虚数单位），则复数的虚部是（    ） A．2i           B．－2i             C．－2           D．2 参考答案： C 5. （理科）有一道数学题含有两个小题，全做对者得4分，只做对一小题者得2分，不做或全错者得0分。某同学做这道数学题得4分的概率为a，得2分的概率为b，得0分的概率为c，其中，且该同学得分的数学期望的最小值是                          （    ）        A．2                            B．4                            C．6                            D．8 参考答案： D 略 6. 若（x6+）n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： C 【分析】二项式的通项公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，对其进行整理，令x的指数为0，建立方程求出n的最小值． 【解答】解：由题意，（x6）n的展开式的项为Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr 令6n﹣r=0，得n=r，当r=4时，n取到最小值5 故选：C． 【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条件转化成指数为0，得到n的表达式，推测出它的值． 7. 下列各组函数中表示同一函数的是（   ） A． 与           B． 与 C． 与   D． 与 参考答案： 【知识点】判断两个函数是否为同一函数．B1  【答案解析】D 解析：对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数． 对于B选项，由于函数y==x，即两个函数的解析式不同，∴不是同一函数； 对于C选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，∴不是同一函数 对于D选项，f（x）的定义域与g（x）的定义域均为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），且f（x）==x+1，∴是同一函数，故选D． 【思路点拨】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可． 8. 对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围是（   ） A．     B．   C．   D． 参考答案： B 略 9. 函数y＝2cosx－1，x∈R的最小值是(  ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 参考答案： A 10. 双曲线上一点M(3,4)关于一条渐近线的对称点恰为左焦点F1，则该双曲线的标准方程为（   ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C 由已知设双曲线的方程为，将带入得 故双曲线方程为，所以选C.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知}在上是增函数，方程}有实数解，设，且定义在R上的奇函数在内没有最小值，则的取值范围是       。 参考答案： 知识点：利用导数研究函数的单调性；奇函数． 解析 ：解：∵}在上是增函数，可得且，即，解得，故, ∵方程}有实数解，，所以可得 ∴,∵是定义在R上的奇函数, ∴可得,∴，又在内没有最小值 ∴， 若,函数在上是减函数,函数在右端点处取到最小值,不合题意. 若，令，则在D内没有最小值可转化为在内没有最大值，下面对在内的最大值进行研究： 由于，令，可解得，令，可解得，由此知，函数h（x）在是减函数，在上是增函数， 当时，即时，函数在上是减函数，不存在最大值,符合题意 当时，即时，函数在上是增函数，存在最大值，不符合题意 当时，即时，函数在是减函数，在上是增函数，必有成立，才能满足函数在上没有最大值，即有 ，解得，符合题意 综上讨论知，m的取值范围是，故答案为. 思路点拨：先确定出集合的范围，求出集合的范围．再根据在内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为，构造新函，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围． 典型总结：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，三角函数的周期求法及对三角函数图象特征的理解，指数函数的值域及集合的运算．考查了转化的思想及分类讨论的思想，计算的能力，本题综合性强涉及到的知识点较多，属于综合题中的难题． 12. 下图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值．若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值有__________个． 参考答案： 3 13. 已知向量a=（–1，2），b=（m，1）.若向量a+b与a垂直，则m=______________. 参考答案： 7 由题得 因为 所以 解得 14. 已知数列、都是等差数列，、分别是它们的前项和，且，则的值为_______________． 参考答案： 15. 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题： ①若； ②若m、l是异面直线，； ③若； ④若 其中为真命题的是  . 参考答案： ①②④ 16. （6分）（2015?浙江模拟）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期为　　，单调增区间为　　，=　　． 参考答案： 2π, [2kπ﹣，2kπ+],. 【考点】： 正弦函数的图象；三角函数的周期性及其求法． 【专题】： 三角函数的图像与性质． 【分析】： 利用辅助角公式将三角函数进行化简即可得到结论． 解：f（x）=sinx+cosx=sin（x+）， 则函数的周期T==2π， 由2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z， 解得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z， 故函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]， f（）=sin（+）=sin==， 故答案为：2π，[2kπ﹣，2kπ+]，． 【点评】： 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键． 17. 已知样本方差，则样本的方差为       . 参考答案： 8   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，BC⊥平面PAB，AB＝BC＝PB，∠APB＝30°，M为PB的中点。 （1）求证：PD∥平面AMC； （2）求锐二面角B－AC－M的余弦值。 参考答案： （1）详见解析. （2）.   解：（1）证明：连接，设与相交于点，连接， ??∵?四边形是平行四边形，∴点为的中点．           ………… 2分???????? ∵为的中点，∴为的中位线， ∴//.????????? ………… 4分 ∵， ∴//．?????    ……………6分 在中，. ∴?二面角的余弦值为．????    ………… 14分 考点：线面平行判定定理，二面角的求法. 19. 某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立. 又知电梯只在有人下时才停止. （Ⅰ）求某乘客在第层下电梯的概率； （Ⅱ）求电梯在第2层停下的概率； （Ⅲ）求电梯停下的次数的数学期望. 参考答案： 解：（Ⅰ）；              （Ⅱ）       （Ⅲ）可取1、2、3、4四种值  ；    ； ； 故的分布列如下表： ∴ 1 2 3 4             20. 已知函数. （1）当时，讨论导函数的零点个数； （2）当时，证明：. 参考答案： (1)见解析；(2)见证明 【分析】 （1）对求导，利用导数判断函数的单调性，由，判断的正负，利用零点存在定理可得结果. （3）利用（1）设的极小值点为，得，且，只需判断.将变形，，利用基本不等式可证. 【详解】解：（1）函数的定义域为，因为， 所以，所以在上为增函数， 又因为，所以，，所以在上存在唯一的零点． (2)由（1）可知：在上存在唯一的零点，设该零点为，则，当时，，当时，，所以在处取得最小值，由得，所以，， 所以， 由得， 所以， 而， 当时，取“=”，而，所以， 所以，即． 【点睛】本题考查函数导数的应用，利用导数研究函数的单调性，极值，结合零点存在定理研究复杂函数的零点，考查不等式恒成立问题，考查等价变形能力、运算能力，属于难题. 21. 不等式选讲 已知a,b都是正实数，且 (I)求证：;      (II)求的最小值.   参考答案： (I)略(II) 解析：解：(I)证明： (II) ，即又得即 当且仅当上式等号成立.   略 22. （本小题满分12分）    就餐时吃光盘子里的东西或打包带走，称为“光盘族”，否则称为“非光盘族”.某班几位同学组成研究性学习小组，从某社区岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查.得到如下统计表： 组数 分组 频数 频率 光盘占本组的比例 第一组 50 0.05 30% 第二组 100 0.1 30% 第三组 150 0.15 40% 第四组 200 0.2 50% 第五组 a b 65% 第六组 200 0.2 60% （1）求a、b的值并估计本社区岁的人群中“光盘族”人数所占的比例； （2）从年龄段在[35,45）的“光盘族”中采用分层抽样法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从8人中选取2个人作为领队，求选取的2名领队分别来自[35,40)与[40,45)两个年龄段的概率。 参考答案： 解： 第一组人数为50，频率为0.05，所以抽查的总人数n=人， 第五组频率为b=1-(0.2+0.2+0.15+0.1+0.15)=0.3 第五组人数a=300人 抽取的样本中“光盘族”比例为﹪        ……………6分   应用分层抽样：在年龄段人数为150×40%=60人，在年龄段人数为200×50%=100人，两组人数比例为3:5，抽取的8人中在组有3人，在有5人，抽取2人总的抽样方法为28种，概率 …12分