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江苏省无锡市南洋国际学校2022年高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 正方体-中,下列结论错误的是
A.∥ B.
C. D.异面直线
参考答案:
D
2. 三棱锥SABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱SB的长为( )
A.4 B. C. D.
参考答案:
A
【考点】简单空间图形的三视图.
【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC,底面△ABC为等腰三角形,SC=4,△ABC中AC=4,AC边上的高为2,进而根据勾股定理得到答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC,
且底面△ABC为等腰三角形,
在△ABC中AC=4,AC边上的高为2,
故BC=4,
在Rt△SBC中,由SC=4,
可得SB=4,
故选A.
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图,其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键.
3. 已知椭圆的离心率e=,则实数k的值为( )
A.3 B.3或 C. D.或
参考答案:
B
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】当K>5时,由 e===求得K值,当0<K<5时,由 e===,求得K值.
【解答】解:当K>5时,e===,K=.
当0<K<5时,e===,K=3. 综上,K=3,或.
故选 B.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,以及简单性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,分类讨论是解题的关键.
4. 下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )
A.1,,,,… B.﹣1,﹣2,﹣3,﹣4,…
C.﹣1,﹣,﹣,﹣,… D.1,,,…,
参考答案:
C
【考点】数列的概念及简单表示法.
【专题】点列、递归数列与数学归纳法.
【分析】根据递增数列、递减数列、无穷数列、有穷数列的定义,对各个选项依次判断.
【解答】解:A、此数列1,,,,…是递减数列,则A不符合题意;
B、此数列﹣1,﹣2,﹣3,﹣4,…是递减数列,则B不符合题意;
C、此数列﹣1,﹣,﹣,﹣,…是递增数列又是无穷数列,则C符合题意;
D、此数列1,,,…,,是有穷数列,则D不符合题意;
故选:C.
【点评】本题考查数列的分类,属于基础题.
5. 若函数在区间上存在一个零点,则的取值范围是( )
A. B.或 C. D.
参考答案:
B
6. 定义为n个正数的“均倒数”.若已知数列的前n项的“均倒数”为,又,则=( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 直线y=kx+1与双曲线-=1有一个公共点,则实数k=
A.±或± B.或 C.±或± D.±
参考答案:
A
8. 在长方体的六个面中,与其中一个面垂直的面共有
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
参考答案:
D
9. 下列几何体中,正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是 ( )
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)
参考答案:
D
10. 若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ).
A. a2+b2>2ab B. a+b≥2 C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
参考答案:
略
12. 设命题为:“”,用字母与符号表述命题“、均为非零实数”:__________.
参考答案:
“、均为非零实数”,即“,”,
又命题“”,命题为:“”,故用字母符号表述命题:“、均为非零实数”为:.
13. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若(b﹣c)cosA=acosC,则cosA= .
参考答案:
【考点】正弦定理的应用;两角和与差的正弦函数.
【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系,再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB,进而可求得cosA的值.
【解答】解:由正弦定理,知
由(b﹣c)cosA=acosC可得
(sinB﹣sinC)cosA=sinAcosC,
∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
=sin(A+C)=sinB,
∴cosA=.
故答案为:
14. 已知函数f(x)=x3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示.则下列说法中不正确的编号是 .(写出所有不正确说法的编号)
(1)当x=时函数取得极小值;
(2)f(x)有两个极值点;
(3)c=6;
(4)当x=1时函数取得极大值.
参考答案:
(1)
【考点】6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】求出原函数的导函数,导函数是二次函数,由导函数的图象可知原函数的单调区间,从而判出极值点,结合导函数的图象经过(1,0)和(2,0)两点,得到c的值,然后注意核对4个命题,则答案可求.
【解答】解:由f(x)=x3+bx2+cx,所以f′(x)=3x2+2bx+c.
由导函数的图象可知,当x∈(﹣∞,1),(2,+∞)时f′(x)>0,
当x∈(1,2)时f′(x)<0.
所以函数f(x)的增区间为(﹣∞,1),(2,+∞)
减区间为(1,2).
则函数f(x)在x=1时取得极大值,在x=2时取得极小值.
由此可知(1)不正确,(2),(4)正确,
把(1,0),(2,0)代入导函数解析式得,解得c=6.
所以(3)正确.
故答案为(1).
15. 过抛物线X2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交与A,B两点,A,B在x轴上的正射影分别为C,D,若梯形的面积为则p=______
参考答案:
2
略
16. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,在极坐标系中曲线的极坐标方程为,曲线与相交于两点、,则弦长等于 .
参考答案:
略
17. 设集合A=,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B≠,则实数m的取值范围是________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1、F2,渐近线方程是:y=±x,点A(0,b),且△AF1F2的面积为6.
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程;
(Ⅱ)直线l:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点P,Q,若|AP|=|AQ|,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】(Ⅰ)求得双曲线的渐近线方程,可得a,b的方程,由三角形的面积公式可得b,c的关系,结合a,b,c的关系,解方程可得a,b,即可得到所求双曲线的方程;
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点为D(x0,y0),联立直线方程和双曲线的方程,消去y,可得x的方程,运用判别式大于0,韦达定理,中点坐标公式和直线的斜率公式,结合两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,即可得到所求m的范围.
【解答】解:(Ⅰ)双曲线C:的渐近线方程为y=±x,
由题意可得,①
,②
又a2+b2=c2,③
由①②③联立求得:a2=5,b2=4.
所以双曲线C的标准方程是:.
(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
线段PQ的中点为D(x0,y0),
y=kx+m与联立消y,整理得(4﹣5k2)x2﹣10kmx﹣5m2﹣20=0,,
由4﹣5k2≠0及△>0,得,④
,
由|AP|=|AQ|知,AD⊥PQ,
于是,化简得10k2=8﹣9m,⑤
将⑤代入④解得或m>0,
又由⑤10k2=8﹣9m>0,得,
综上,实数m的取值范围是,或}.
19. 为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成5组,如下表所示:
(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;
(2)若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.
组别
候车时间
人数
一
2
二
6
三
4
四
2
五
1
参考答案:
解:(1)由频率分布表可知:这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8,
所以,这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于人.……4分
(2)设第三组的乘客为,第四组的乘客为1,2;
“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.………………………………………5分
所得基本事件共有15种,即:
……………………………8分
其中事件包含基本事件,共8种,………………10分
由古典概型可得, ……………………………………………………12分
略
20. 已知双曲线的离心率为,右准线方程为,
(1)求双曲线C的方程;
(2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上,求m的值.
参考答案:
略
21. 若动点在曲线上变化,则的最大值为多少?
参考答案:
解析:设点,
令,,对称轴
当时,;当时,
22. (本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间和极值;
(Ⅱ)若在区间上是单调递减函数,求实数的取值范围.
参考答案:
解(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞). ………………1分
当时, ……………………3分
当变化时,的变化情况如下:
-
0
+
极小值
略
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