江苏省无锡市南洋国际学校2022年高二数学理期末试题含解析

江苏省无锡市南洋国际学校2022年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 正方体－中，下列结论错误的是 A．∥        B． C．       D．异面直线 参考答案： D 2. 三棱锥SABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（　　） A．4 B． C． D． 参考答案： A 【考点】简单空间图形的三视图． 【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC， 且底面△ABC为等腰三角形， 在△ABC中AC=4，AC边上的高为2， 故BC=4， 在Rt△SBC中，由SC=4， 可得SB=4， 故选A． 【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键． 3. 已知椭圆的离心率e=，则实数k的值为（　　） A．3 B．3或 C． D．或 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】当K＞5时，由 e===求得K值，当0＜K＜5时，由 e===，求得K值． 【解答】解：当K＞5时，e===，K=． 当0＜K＜5时，e===，K=3． 综上，K=3，或． 故选 B． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键． 　 4. 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（　　） A．1，，，，… B．﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，… C．﹣1，﹣，﹣，﹣，… D．1，，，…， 参考答案： C 【考点】数列的概念及简单表示法． 【专题】点列、递归数列与数学归纳法． 【分析】根据递增数列、递减数列、无穷数列、有穷数列的定义，对各个选项依次判断． 【解答】解：A、此数列1，，，，…是递减数列，则A不符合题意； B、此数列﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，…是递减数列，则B不符合题意； C、此数列﹣1，﹣，﹣，﹣，…是递增数列又是无穷数列，则C符合题意； D、此数列1，，，…，，是有穷数列，则D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查数列的分类，属于基础题． 5. 若函数在区间上存在一个零点，则的取值范围是(    ) A．          B．或    C．     D． 参考答案： B  6. 定义为n个正数的“均倒数”．若已知数列的前n项的“均倒数”为，又，则=(    )． A.                   B.                C.              D. 参考答案： C 略 7. 直线y＝kx＋1与双曲线－＝1有一个公共点，则实数k＝          A．±或±     B．或                 C．±或±   D．± 参考答案： A 8. 在长方体的六个面中，与其中一个面垂直的面共有                                A．1个            B．2个              C．3个           D. 4个 参考答案： D 9. 下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是 （　　）           A.(1)(2)   　　　B.（2）（3）   　　C.(3)(4)   　　　　D.(1)(4) 参考答案： D 10. 若a、b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)． A. a2＋b2＞2ab   B. a＋b≥2    C.     D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 参考答案： 略 12. 设命题为：“”，用字母与符号表述命题“、均为非零实数”：__________． 参考答案： “、均为非零实数”，即“，”， 又命题“”，命题为：“”，故用字母符号表述命题：“、均为非零实数”为：． 13. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=　　． 参考答案： 【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数． 【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值． 【解答】解：由正弦定理，知 由（b﹣c）cosA=acosC可得 （sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC， ∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA =sin（A+C）=sinB， ∴cosA=． 故答案为： 14. 已知函数f（x）=x3+bx2+cx，其导函数y=f′（x）的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示．则下列说法中不正确的编号是　   　．（写出所有不正确说法的编号） （1）当x=时函数取得极小值； （2）f（x）有两个极值点； （3）c=6； （4）当x=1时函数取得极大值． 参考答案： （1） 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】求出原函数的导函数，导函数是二次函数，由导函数的图象可知原函数的单调区间，从而判出极值点，结合导函数的图象经过（1，0）和（2，0）两点，得到c的值，然后注意核对4个命题，则答案可求． 【解答】解：由f（x）=x3+bx2+cx，所以f′（x）=3x2+2bx+c． 由导函数的图象可知，当x∈（﹣∞，1），（2，+∞）时f′（x）＞0， 当x∈（1，2）时f′（x）＜0． 所以函数f（x）的增区间为（﹣∞，1），（2，+∞） 减区间为（1，2）． 则函数f（x）在x=1时取得极大值，在x=2时取得极小值． 由此可知（1）不正确，（2），（4）正确， 把（1，0），（2，0）代入导函数解析式得，解得c=6． 所以（3）正确． 故答案为（1）． 15. 过抛物线X2=2py(p>0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交与A,B两点，A,B在x轴上的正射影分别为C,D,若梯形的面积为则p=______ 参考答案： 2 略 16. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中曲线的极坐标方程为，曲线与相交于两点、，则弦长等于                 . 参考答案： 略 17. 设集合A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠，则实数m的取值范围是________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，渐近线方程是：y=±x，点A（0，b），且△AF1F2的面积为6． （Ⅰ）求双曲线C的标准方程； （Ⅱ）直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|=|AQ|，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】（Ⅰ）求得双曲线的渐近线方程，可得a，b的方程，由三角形的面积公式可得b，c的关系，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求双曲线的方程； （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为D（x0，y0），联立直线方程和双曲线的方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，韦达定理，中点坐标公式和直线的斜率公式，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到所求m的范围． 【解答】解：（Ⅰ）双曲线C：的渐近线方程为y=±x， 由题意可得，① ，② 又a2+b2=c2，③ 由①②③联立求得：a2=5，b2=4． 所以双曲线C的标准方程是：．          （Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 线段PQ的中点为D（x0，y0）， y=kx+m与联立消y，整理得（4﹣5k2）x2﹣10kmx﹣5m2﹣20=0，， 由4﹣5k2≠0及△＞0，得，④ ， 由|AP|=|AQ|知，AD⊥PQ， 于是，化简得10k2=8﹣9m，⑤ 将⑤代入④解得或m＞0， 又由⑤10k2=8﹣9m＞0，得， 综上，实数m的取值范围是，或}． 19. 为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示： （1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； （2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率． 组别 候车时间 人数 一 2 二 6 三 4 四 2 五 1             参考答案： 解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8， 所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于人.……4分 （2）设第三组的乘客为，第四组的乘客为1，2； “抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.………………………………………5分 所得基本事件共有15种，即： ……………………………8分 其中事件包含基本事件，共8种，………………10分 由古典概型可得， ……………………………………………………12分 略 20. 已知双曲线的离心率为，右准线方程为, (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在以双曲线C的实轴长为直径的圆上，求m的值. 参考答案： 略 21. 若动点在曲线上变化，则的最大值为多少？ 参考答案： 解析：设点， 令，，对称轴 当时，；当时，   22. (本小题满分14分) 已知函数.    （Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极值；    （Ⅱ）若在区间上是单调递减函数，求实数的取值范围. 参考答案： 解（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）. ………………1分 当时，       ……………………3分 当变化时，的变化情况如下： - 0 +   极小值     略