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河北省邯郸市辛庄堡中学高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数是
A.最小正周期是π的偶函数 B.最小正周期是π的奇函数
C.最小正周期是2π的偶函数 D.最小正周期是2π的奇函数
参考答案:
A
略
2. 设0 < α,β <,则α + β =是sin 2 α + sin 2 β = sin 2 ( α + β )成立的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案:
C
3. 直线与函数的‘图象相交,则相邻两交点间的距离是
A. B.
C. D.
参考答案:
D
4. 已知,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
分别判断出、、的范围,然后比较大小即可.
【详解】,
,
,
所以.
故选:C
【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的图像和性质,注意比较大小时与0和1比较,属于基础题.
5. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠,本题说它一共有七层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯?( )
A.6 B.5 C.4 D.3
参考答案:
D
6. 已知函数,若,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 函数f(x)=+lg(1﹣x)的定义域为( )
A.[﹣1,1] B.[﹣1,+∞) C.[﹣1,1) D.(﹣∞,1)
参考答案:
C
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据函数成立的条件进行求解即可.
【解答】解:要使函数有意义,则,
得,即﹣1≤x<1,
即函数的定义域为[﹣1,1),
故选:C
【点评】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.
8. 在全集U中,集合,则在右图中阴影区域表示的集合是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
9. 若直线与两坐标轴的交点分别为A、B,则以线段AB为直径的圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
10. 若定义在区间(﹣1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)为减函数,则a的取值范围是( )
A.(0,) B.(0,] C.( ,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
A
【考点】对数函数的图像与性质.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】根据复合函数单调性同增异减的原则,根据内函数为增函数,可得外函数为减函数,进而得到答案.
【解答】解:∵t=x+1在区间(﹣1,0)内为增函数,
且t=x+1>0在区间(﹣1,0)内恒成立,
因为函数f(x)=log2a(x+1)在区间(﹣1,0)内为减函数,
故0<2a<1,
解得:a∈(0,),
故选:A.
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,熟练掌握对数函数的图象和性质,是解答的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知平面向量,,若,则x的值为 .
参考答案:
-2
∵ ,,且 ,
∴,
解得 .
12. 若集合,,则_____________.
参考答案:
13. 三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC的体积等于________.
参考答案:
14. 集合,则集合中元素的个数为_____________.
参考答案:
7
15. 若函数y=f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,f(-2)=0,则不等式x·f(x)<0的解集为________.
参考答案:
(-2,0)∪(0,2)
略
16. f(x)=的定义域为 .
参考答案:
[﹣1,1)∪(1,+∞)
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】根据函数f(x)的解析式,列出不等式组,求出解集即可.
【解答】解:要使函数f(x)=有意义,
应满足,
即,
解得x≥﹣1且x≠1;
所以函数f(x)的定义域为[﹣1,1)∪(1,+∞).
故答案为:[﹣1,1)∪(1,+∞).
【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题,是基础题目.
17. 圆锥的底面半径是1,它的侧面展开图是一个半圆,则它的母线长为___________。
参考答案:
2
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数为常数).
(Ⅰ)求函数的定义域;
(Ⅱ)若,,求函数的值域;
(Ⅲ)若函数的图像恒在直线的上方,求实数的取值范围.
参考答案:
略
19. 已知函数f(x)=m﹣是定义在R上的奇函数.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求函数f(x)在(0,1)上的值域.
参考答案:
【考点】函数的值域;函数奇偶性的判断.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】(Ⅰ)由f(x)是定义在R上的奇函数便可得到f(0)=0,从而可得出m=1;
(Ⅱ)根据增函数的定义可以判断f(x)在(0,1)上单调递增,从而有f(x)∈(f(0),f(1)),这样便可得出f(x)在(0,1)上的值域.
【解答】解:(Ⅰ)根据题意,f(0)=0,
即m﹣1=0,
∴m=1;
(Ⅱ),x增大时,2x增大,减小,∴增大;
∴f(x)在(0,1)上单调递增;
∴;
∴函数f(x)在(0,1)上的值域为.
【点评】考查奇函数的定义,奇函数在原点有定义时,原点处的函数值为0,以及增函数的定义,根据增函数的定义判断一个函数为增函数的方法,以及指数函数的单调性.
20. 定义实数a,b间的计算法则如下a△b=.
(1)计算2△(3△1);
(2)对0<x<z<y的任意实数x,y,z,判断x△(y△z)与(x△y)△z的大小,并说明理由;
(3)写出函数y=(1△x)+(2△x),x∈R的解析式,作出该函数的图象,并写出该函数单调递增区间和值域(只需要写出结果).
参考答案:
【考点】分段函数的应用;函数解析式的求解及常用方法;函数的图象.
【分析】(1)先求出3△1,再求出2△(3△1)的值即可;
(2)分别求出x△(y△z)和(x△y)△z的值,讨论y2与z的大小即可;
(3)讨论x的大小,分x≥2,x<1,1≤x<2,求得函数式,画出函数图象,即可得到该函数单调递增区间和值域.
【解答】解:(1)实数a,b间的计算法则如下a△b=.
则2△(3△1)=2△3=32=9;
(2)对0<x<z<y的任意实数x,y,z,
x△(y△z)=x△y=y2,
(x△y)△z=y2△z,
此时若y2≥z,则(x△y)△z=y2;
若y2<z,则(x△y)△z=z2.
即若y2≥z,则x△(y△z)=(x△y)△z;
若y2<z,则x△(y△z)>(x△y)△z.
(3)当x>2时,y=(1△x)+(2△x)=x2+x2=2x2;
当1<x≤2时,y=(1△x)+(2△x)=x2+2;
当x≤1时,y=(1△x)+(2△x)=1+2=3.
即有y=,
画出函数y的图象,如右:
该函数单调递增区间为(1,2),(2,+∞);
值域为[3,+∞).
21. 已知,,其中.
(1)求证: 与互相垂直;
(2)若与的长度相等,求的值(为非零的常数).
参考答案:
(1)证明:
与互相垂直
(2);
而
,
22. 设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有,且当x>0时,01;
(2)判断f(x)在R上的单调性;
(3)设集合A=,B,若A∩B=,求的取值范围。
参考答案:
(1)由f(m+n)=f(m)f(n),令m=1,n=0,
则f(1)=f(1)f(0),且由x>0时,00,∴f(0)=f(x)f(-x),∴f(x)=>1 …4分
(2)由(1)及已知,对任意实数x都有f(x)>0, ……5分
设x10,∴0f(1),∴f(x2+y2)>f(1),由f(x)单调性知x2+y2<1,…9分
又f(ax-y+2)=1=f(0),∴ax-y+2=0, ……10分
又A∩B=,无解,即,无解, …11分
从而. ……12分
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