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山西省晋中市左权县职业技术中学2022年高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. .设是非零向量,则是成立的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
参考答案:
B
【分析】
是非零向量,,则方向相同,将单位化既有,反之则不成立.
【详解】由可知: 方向相同, 表示 方向上的单位向量
所以成立;反之不成立.
故选B
【点睛】本题考查了相量相等、向量的单位化以及充分必要条件;判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想求解外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题来解决.
2. 已知函数,则关于x的方程的实根个数不可能为( )
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个
参考答案:
A
【分析】
以f(x)=1的特殊情形为突破口,解出x=1或3或或﹣4,将x+﹣2看作整体,利用换元的思想方法进一步讨论.
【详解】∵函数,
即f(x)=,
因为当f(x)=1时,x=1或3或或﹣4,
则当a=1时,x+﹣2=1或3或或﹣4,
又因为 x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4,
所以,当x+﹣2=﹣4时只有一个x=﹣2与之对应.
其它情况都有2个x值与之对应,故此时所求的方程有7个根,
当1<a<2时,y=f(x)与y=a有4个交点,故有8个根;
当a=2时,y=f(x)与y=a有3个交点,故有6个根;
综上:不可能有5个根,
故选:A.
【点睛】本题考查分段函数、函数的零点等知识,属于中档题.
3. 设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为
A. B. C. D.
参考答案:
D
由,得.由,得,所以,且.所以数列为递减的数列.所以为正,为负,且,,则,,,又,所以,所以最大的项为,选D.
4. 使奇函数在上为减函数的值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 抛一枚均匀硬币,正反每面出现的概率都是,反复这样投掷,数列定义如下:,若,则事件“”的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 函数在区间上的最小值是 ( )
A. B.1 C. D.
参考答案:
B
7. 如果等差数列中,,那么( )
(A)14 (B)21 (C)28 (D)35
参考答案:
8. 函数的图象大致是
参考答案:
A
9. 已知函数的图象如图所示,则函数的图像可能是( )
参考答案:
C
略
10. 若M?P,M?Q,P={0,1,2},Q={0,2,4},则满足上述条件的集合M的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
参考答案:
A
【考点】子集与真子集.
【分析】由M?P,M?Q,得到M?P∩Q.进而求出答案.
【解答】解:∵M?P,M?Q,∴M?P∩Q.
∵P∩Q={0,1,2}∩{0,2,4}={0,2}.
而集合{0,2}子集有以下4个:?、{0}、{2}、{0,2}.
故选A.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义某种运算的运算原理如图所示,设在区间[-2,2]上的最小值为 。
参考答案:
-6
略
12. 设数列中,,则通项 _______。
参考答案:
13. 定义运算符号“”:表示若干个数相乘,例如:.记,
其中为数列中的第项.
(1)若,则 ;
(2)若,则 .
参考答案:
(1105;(2)
14. 向等腰直角三角形内任意投一点, 则小于的概率为
参考答案:
略
15. 已知数列中,,对于任意,,若对于任意正整数,在数列中恰有个出现,求= ▲ 。
参考答案:
9
16. 已知正数x,y满足2x+y-2 =0,则的最小值为 .
参考答案:
17. 已知集合,,则
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,三棱锥P﹣ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,点F在PA上,且2PF=FA.
(1)求证:平面PAC⊥平面BEF;
(2)求平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角(锐角)的余弦值.
参考答案:
考点: 二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.
专题: 综合题.
分析: (1)证明AC⊥平面PBC,可得AC⊥BE,又BE⊥PC,可得BE⊥平面PAC,从而可得平面PAC⊥平面BEF;
(2)取AF的中点G,AB的中点M,连接CG,CM,GM,证明平面CMG∥平面BEF,则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角(锐角)就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角(锐角).
解答: (1)证明:∵PB⊥底面ABC,且AC?底面ABC,∴AC⊥PB,
由∠BCA=90°,可得AC⊥CB,
又∵PB∩CB=B,∴AC⊥平面PBC,
∵BE?平面PBC,∴AC⊥BE,
∵PB=BC,E为PC中点,∴BE⊥PC,
∵AC∩PC=C,∴BE⊥平面PAC,
∵BE?平面BEF,∴平面PAC⊥平面BEF;
(2)解:取AF的中点G,AB的中点M,连接CG,CM,GM,
∵E为PC的中点,2PF=AF,∴EF∥CG,
∵CG?平面BEF,EF?平面BEF,
∴CG∥平面BEF.
同理可证:GM∥平面BEF,∵CG∩GM=G,∴平面CMG∥平面BEF.
则平面CMG与平面平面BEF所成的二面角的平面角(锐角)就等于平面ABC与平面BEF所成的二面角的平面角(锐角).
∵PB⊥底面ABC,CM?平面ABC
∴CM⊥PB,
∵CM⊥AB,PB∩AB=B,∴CM⊥平面PAB,
∵GM?平面PAB,∴CM⊥GM,
而CM为平面CMG与平面ABC的交线,
又AM?底面ABC,GM?平面CMG,∴∠AMG为二面角G﹣CM﹣A的平面角
根据条件可知AM=,AG=,
在△PAB中,cos∠GAM=,
在△AGM中,由余弦定理求得MG=,∴cos∠AMG=,
故平面ABC与平面PEF所成角的二面角(锐角)的余弦值为.
点评: 本题考查面面垂直,考查面面角,解题的关键是掌握面面垂直的判定,正确作出面面角,属于中档题.
19. 已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线AB的方程。
参考答案:
解:(1)由已知可设椭圆的方程为,
其离心率为,故,则
所以椭圆的方程为------------------------------------------------4分
(2)设A,B两点的坐标分别为:
由及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在轴上,
设A,B的方程为
得:,所以
得:,所以
又由得:,即,解得:
故直线AB的方程为:或----------------------------------------------------12分
略
20. (16分)设m个不全相等的正数a1,a2,…,am(m≥3)依次围成一个圆圈.
(1)设m=2015,且a1,a2,a3,…,a1008是公差为d的等差数列,而a1,a2015,a2014,…,a1009是公比为q=d的等比数列;数列a1,a2,…,am的前n项和Sn(n≤m)满足S3=15,S2015=S2013+12a1,求数列{an}的通项公式;
(2)设a1=a,a2=b(a≠b),若数列a1,a2,…,am每项是其左右相邻两数平方的等比中项,求a8;
(3)在(2)的条件下,m≤2015,求符合条件的m的个数.
参考答案:
考点:等比数列的性质.
专题:综合题;等差数列与等比数列.
分析:(1)利用a1,a2015,a2014,…,a1009是公比为d的等比数列,求出d,S3=3a1+3d=15,解得a1=2,可得数列{an}的通项公式;
(2)确定an=an﹣1an+1,依此类推a8=a2=b;
(3)猜想:m=6k,m=12,18,…,2012,一共有335,再利用反证法进行证明即可.
解答: 解:(1)因a1,a2015,a2014,…,a1009是公比为d的等比数列,
从而
由S2015=S2013+12a1,a2015+a2014=12a1,
故解得d=3或d=﹣4(舍去)
因此d=3,又S3=3a1+3d=15,解得a1=2
从而当n≤1008时,an=a1+(n﹣1)d=2+3(n﹣1)=3n﹣1
当1006≤n≤2015时,由a1,a2015,a2014,…,a1009是公比为d的等比数列得(1009≤n≤2015),
因此
(2)由题意,
∴an=an﹣1an+1,
得,a7=a1=a
依此类推a8=a2=b
(3)猜想:m=6k,m=12,18,…,2012,一共有335,
得
又,
④故有.⑤
若不然,设m=6k+p,其中1≤p≤5
若取p=1即m=6k+1,则由此得am=a6k+1=a1,
而由③得,得a2=1,
由②得,
而此推得an=1(1≤n≤m)与题设矛盾,
同理若P=2,3,4,5均可得an=1(1≤n≤m)与题设矛盾,
因此m=6k为6的倍数.(16分)
点评:本题考查等差数列的通项,考查学生分析解决问题的能力,有难度.
21. 如图,在矩形ABCD中,,,E是CD的中点,以AE为折痕将向上折起,D变为,且平面平面.
(1)求证:;
(2)求二面角的大小.
参考答案:
(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)根据勾股定理推导出,取的中点,连结,则 ,从而平面,由此证得结论成立;(Ⅱ)以为原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的大小.
试题解析:(Ⅰ)证明:∵,,
∴,∴,
取的中点,连结,则,
∵ 平面平面,
∴平面,∴ ,
从而平面,∴
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,
则、、、,
,从而=(4,0,0),,.
设为平面的法向量,
则可以取
设为平面的法向量,
则可以取
因此,,有,即平面 平面,
故二面角的大小为.
22. (本小题满分12分)已知函数的图象过点,且在处取得极值.
(1) 求实数的值;
(2) 求在 (为自然对数的底数)上的最大值.
参考答案:
(1)当时,, ……………………………………1分
由题意得:,即, …………………………………3分
解得:。 …………………………………5分
(2)由(1)知:
①当时,,
解得;解得或
∴在和上单减,在上单增,
由得:或,………………………………………6分
∵ ,
∴在上的最大值为. ……………………………………………………8分
②当时
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