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湖南省常德市西洞庭管理区第一中学2022年高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 根据下列条件,确定△ abc 有两解的是( ).
a. a =18, b =20,∠ a =120°
b. a =60, c =48,∠ b =60°
c. a =3, b =6,∠ a =30°
d. a =14, b =16,∠ a =45°
参考答案:
D
,又 b > a ,
∴∠ B 有两解.故△ ABC 有两解.
2. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上,则的值为( )
A. B.3 C. D. 6
参考答案:
D
3. 椭圆的一个顶点与两个焦点构等边三角形,则此椭圆的离心率是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 某机构为研究学生玩电脑游戏和对待作业量态度的关系,随机抽取了100名学生进行调查,所得数据如下表所示:
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏
25
15
40
不喜欢玩电脑游戏
25
35
60
总计
50
50
100
(参考公式,可能用到数据:,),参照以上公式和数据,得到的正确结论是( )
A. 有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关
B. 有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关
C. 有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关
D. 有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关
参考答案:
A
【分析】
根据公式计算得到;根据独立性检验的思想可求得结果.
【详解】由题意得:
有的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关
本题正确选项:
【点睛】本题考查独立性检验思想的应用,属于基础题.
5. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有( )
A.
70种
B.
80种
C.
100种
D.
140种
参考答案:
A
6. 抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. D.4
参考答案:
C
由得:,所以,,即焦点到准线的距离为,故选C.
7. 点P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到点A(0,﹣1)的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
D
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆锥曲线的关系.
【分析】设A(0,﹣1),先求出焦点及准线方程,过P作PN 垂直直线x=﹣1,有|PN|=|PF|,连接F、A,有|FA|≤|PA|+|PF|,从而只求|FA|.
【解答】解:设A(0,﹣1),由y2=4x得p=2, =1,所以焦点为F(1,0),准线x=﹣1,
过P作PN 垂直直线x=﹣1,根据抛物线的定义,
抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离,
所以有|PN|=|PF|,连接F、A,有|FA|≤|PA|+|PF|,
所以P为AF与抛物线的交点,点P到点A(0,﹣1)的距离与点P到直线x=﹣1的距离之和的最小值为|FA|=,
故选:D.
8. 某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°,距离为12海里,灯塔C在A的北偏西30°,距离为8海里,游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°则C与D的距离为( )
A.20海里 B.8海里 C.23海里 D.24海里
参考答案:
B
【考点】解三角形的实际应用.
【专题】应用题;转化思想;数形结合法;解三角形.
【分析】利用方位角求出B的大小,利用正弦定理直接求解AD的距离,直接利用余弦定理求出CD的距离即可.
【解答】解:如图,在△ABD中,因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上,距离为海里,
货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东60°方向上,
所以B=180°﹣75°﹣60°=45°,
由正弦定理,
所以AD===24海里;
在△ACD中,AD=24,AC=8,∠CAD=30°,
由余弦定理可得:CD2=AD2+AC2﹣2?AD?ACcos30°=242+(8)2﹣2×24×8×=192,
所以CD=8海里;
故选:B.
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用,注意方位角的应用,考查计算能力.属于中档题.
9. 命题P:"所有的x∈R, sinx≥1"的否定命题是( )
A. 存在x∈R, sinx≥1 B. 所有的x∈R, sinx<1
C.存在x∈R, sinx<1, D.所有的x∈R, sinx>1
参考答案:
C
10. 正三棱锥中,∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,PA=PB=PC=,点M是AB的中点,一只蚂蚁沿锥体侧面由点M运动到点C,最短路线长是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设为实数,若则的最大值是 .
参考答案:
12. 椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,的小大为_____________.
参考答案:
1200
略
13. 设异面直线l1,l2的方向向量分别为=(1,1,0),=(1,0,﹣1),则异面直线l1,l2所成角的大小为 .
参考答案:
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】求出cos<>,由此能求出异面直线l1,l2所成角的大小.
【解答】解:∵异面直线l1,l2的方向向量分别为,
∴cos<>===,
∴<>=.
∴异面直线l1,l2所成角的大小为.
故答案为:.
14. 已知sinα=,则sin4α﹣cos4α的值为 .
参考答案:
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.
【分析】用平方差公式分解要求的算式,用同角的三角函数关系整理,把余弦变为正弦,代入题目的条件,得到结论.
【解答】解:sin4α﹣cos4α
=sin2α﹣cos2α
=2sin2α﹣1
=﹣,
故答案为:﹣.
15. 在复平面内,复数z=﹣2i+1对应的点到原点的距离是 .
参考答案:
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】利用复数的几何意义、两点之间的距离公式即可得出.
【解答】解:复数z=﹣2i+1对应的点(1,﹣2)到原点的距离==.
故答案为:.
【点评】本题考查了复数的几何意义、两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
16. 抛物线y2=4x的准线方程是 .
参考答案:
x=﹣1
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题.
【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p,再根据开口方向,写出其准线方程.
【解答】解:∵2p=4,
∴p=2,开口向右,
∴准线方程是x=﹣1.
故答案为x=﹣1.
【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程,一定要先化为标准形式,求出的值,再确定开口方向,否则,极易出现错误.
17. 命题“”的否定为______________________________ .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,甲船以每小时海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,当甲船航行分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?(结论保留根号形式)
参考答案:
19. 已知的顶点A为(3,-1),AB边上的中线所在直线方程为,的平分线所在直线方程为,求BC边所在直线的方程.
参考答案:
略
20. 已知H(﹣3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足,.
(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C;
(2)过点T(﹣1,0)作直线l与轨迹C交于A、B两点,若在x轴上存在一点E(x0,0),使得△ABE是等边三角形,求x0的值.
参考答案:
【考点】椭圆的应用;平面向量数量积的运算;轨迹方程.
【分析】(1)设出M的坐标,利用题意向量的关系,求得x和y的关系,进而求得M的轨迹C.
(2)设直线l的方程,代入抛物线方程,设出A,B的坐标,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,则线段AB中点坐标以及AB的中垂线的方程可得,把y=0代入方程,最后利用△ABE为正三角形,利用正三角的性质推断E到直线AB的距离的关系式求得k,则x0可求.
【解答】解(1)设点M的坐标为(x,y),
由.得,
由,得,
所以y2=4x由点Q在x轴的正半轴上,得x>0,
所以,动点M的轨迹C是以(0,0)为顶点,以(1,0)为焦点的抛物线,除去原点.
(2)设直线l:y=k(x+1),其中k≠0代入y2=4x,得k2x2+2(k2﹣2)x+k2=0①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个实数根,由韦达定理得
所以,线段AB的中点坐标为,线段AB的垂直平分线方程为,
令,所以,点E的坐标为.
因为△ABE为正三角形,所以,点E到直线AB的距离等于|AB|,而|AB|=.
所以,解得,所以.
21. (本题满分10分)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求:(Ⅰ)2X+1的分布列;
(Ⅱ)|X-1|的分布列.
参考答案:
22. (14分)已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0.
(1)若此方程表示圆,求m的取值范围;
(2)若(1)中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m;
(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.
参考答案:
【考点】直线和圆的方程的应用;二元二次方程表示圆的条件.
【专题】直线与圆.
【分析】(1)圆的方程化为标准方程,利用半径大于0,可得m的取值范围;
(2)直线方程与圆方程联立,利用韦达定理及OM⊥ON,建立方程,可求m的值;
(3)写出以MN为直径的圆的方程,代入条件可得结论.
【解答】解:(1)(x﹣1)2+(y﹣2)2=5﹣m,∴方程表示圆时,m<5;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1=4﹣2y1,x2=4﹣2y2,得x1x2=16﹣8(y1+y2)+4y1y2,
∵OM⊥ON,∴x1x2+y1y2=0,∴16﹣8(y1+y2)+5y1y2=0①,
由,得5y2﹣16y+m+8=0,
∴,.
代入①得.
(3)以MN为直径的圆的方程为(x﹣x1)(x﹣x2)+(y﹣y1)(y﹣y2)=0,
即x2+y2﹣(x1+x2)x﹣(y1+y2)y=0,
∴所求圆的方程为.
【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
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