湖南省常德市西洞庭管理区第一中学2022年高二数学理期末试题含解析

湖南省常德市西洞庭管理区第一中学2022年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 根据下列条件，确定△ abc 有两解的是(　　)． a． a ＝18， b ＝20，∠ a ＝120° b． a ＝60， c ＝48，∠ b ＝60° c． a ＝3， b ＝6，∠ a ＝30° d． a ＝14， b ＝16，∠ a ＝45° 参考答案： D ，又 b ＞ a ， ∴∠ B 有两解．故△ ABC 有两解． 2. 若双曲线的左焦点在抛物线的准线上,则的值为(    ) A．         B．3       C．        D． 6 参考答案： D 3. 椭圆的一个顶点与两个焦点构等边三角形，则此椭圆的离心率是   （    ） A．           B．       C．      D． 参考答案： C 4. 某机构为研究学生玩电脑游戏和对待作业量态度的关系，随机抽取了100名学生进行调查，所得数据如下表所示：   认为作业多 认为作业不多 总计 喜欢玩电脑游戏 25 15 40 不喜欢玩电脑游戏 25 35 60 总计 50 50 100 （参考公式，可能用到数据：，），参照以上公式和数据，得到的正确结论是（   ） A. 有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关 B. 有95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关 C. 有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关 D. 有99%的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度无关 参考答案： A 【分析】 根据公式计算得到；根据独立性检验的思想可求得结果. 【详解】由题意得： 有的把握认为喜欢玩电脑游戏与对待作业量的态度有关 本题正确选项： 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用，属于基础题. 5. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（　　） 　 A． 70种 B． 80种 C． 100种 D． 140种 参考答案： A 6. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A．         B．       C.          D．4 参考答案： C 由得：，所以，，即焦点到准线的距离为，故选C.   7. 点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（　　） A． B． C．2 D． 参考答案： D 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系． 【分析】设A（0，﹣1），先求出焦点及准线方程，过P作PN 垂直直线x=﹣1，有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，从而只求|FA|． 【解答】解：设A（0，﹣1），由y2=4x得p=2， =1，所以焦点为F（1，0），准线x=﹣1， 过P作PN 垂直直线x=﹣1，根据抛物线的定义， 抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离， 所以有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|， 所以P为AF与抛物线的交点，点P到点A（0，﹣1）的距离与点P到直线x=﹣1的距离之和的最小值为|FA|=， 故选：D． 8. 某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为8海里，游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°则C与D的距离为(     ) A．20海里 B．8海里 C．23海里 D．24海里 参考答案： B 【考点】解三角形的实际应用． 【专题】应用题；转化思想；数形结合法；解三角形． 【分析】利用方位角求出B的大小，利用正弦定理直接求解AD的距离，直接利用余弦定理求出CD的距离即可． 【解答】解：如图，在△ABD中，因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里， 货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上， 所以B=180°﹣75°﹣60°=45°， 由正弦定理， 所以AD===24海里； 在△ACD中，AD=24，AC=8，∠CAD=30°， 由余弦定理可得：CD2=AD2+AC2﹣2?AD?ACcos30°=242+（8）2﹣2×24×8×=192， 所以CD=8海里； 故选：B． 【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，注意方位角的应用，考查计算能力．属于中档题． 9. 命题P:"所有的x∈R, sinx≥1"的否定命题是(        ) A. 存在x∈R, sinx≥1     B. 所有的x∈R, sinx<1 C.存在x∈R, sinx<1,       D.所有的x∈R, sinx>1 参考答案： C 10. 正三棱锥中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=PB=PC=，点M是AB的中点，一只蚂蚁沿锥体侧面由点M运动到点C，最短路线长是（  ） A. B. C. D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设为实数，若则的最大值是          ． 参考答案： 12. 椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为_____________． 参考答案： 1200 略 13. 设异面直线l1，l2的方向向量分别为=（1，1，0），=（1，0，﹣1），则异面直线l1，l2所成角的大小为　　． 参考答案： 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】求出cos＜＞，由此能求出异面直线l1，l2所成角的大小． 【解答】解：∵异面直线l1，l2的方向向量分别为， ∴cos＜＞===， ∴＜＞=． ∴异面直线l1，l2所成角的大小为． 故答案为：． 14. 已知sinα=，则sin4α﹣cos4α的值为　　． 参考答案： 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值． 【分析】用平方差公式分解要求的算式，用同角的三角函数关系整理，把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论． 【解答】解：sin4α﹣cos4α =sin2α﹣cos2α =2sin2α﹣1 =﹣， 故答案为：﹣． 15. 在复平面内，复数z=﹣2i+1对应的点到原点的距离是　　． 参考答案： 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】利用复数的几何意义、两点之间的距离公式即可得出． 【解答】解：复数z=﹣2i+1对应的点（1，﹣2）到原点的距离==． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 　 16. 抛物线y2=4x的准线方程是　　． 参考答案： x=﹣1 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题． 【分析】先根据抛物线的标准方程形式求出p，再根据开口方向，写出其准线方程． 【解答】解：∵2p=4， ∴p=2，开口向右， ∴准线方程是x=﹣1． 故答案为x=﹣1． 【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程，一定要先化为标准形式，求出的值，再确定开口方向，否则，极易出现错误． 17. 命题“”的否定为______________________________ ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？(结论保留根号形式) 参考答案： 19. 已知的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线方程为，求BC边所在直线的方程． 参考答案： 略 20. 已知H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，． （1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C； （2）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0，0），使得△ABE是等边三角形，求x0的值． 参考答案： 【考点】椭圆的应用；平面向量数量积的运算；轨迹方程． 【分析】（1）设出M的坐标，利用题意向量的关系，求得x和y的关系，进而求得M的轨迹C． （2）设直线l的方程，代入抛物线方程，设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，则线段AB中点坐标以及AB的中垂线的方程可得，把y=0代入方程，最后利用△ABE为正三角形，利用正三角的性质推断E到直线AB的距离的关系式求得k，则x0可求． 【解答】解（1）设点M的坐标为（x，y）， 由．得， 由，得， 所以y2=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0， 所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．   （2）设直线l：y=k（x+1），其中k≠0代入y2=4x，得k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0① 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得 所以，线段AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为， 令，所以，点E的坐标为． 因为△ABE为正三角形，所以，点E到直线AB的距离等于|AB|，而|AB|=． 所以，解得，所以． 21. （本题满分10分）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 求：（Ⅰ）2X+1的分布列； （Ⅱ）|X-1|的分布列. 参考答案：   22. （14分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0． （1）若此方程表示圆，求m的取值范围； （2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m； （3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程． 参考答案： 【考点】直线和圆的方程的应用；二元二次方程表示圆的条件． 【专题】直线与圆． 【分析】（1）圆的方程化为标准方程，利用半径大于0，可得m的取值范围； （2）直线方程与圆方程联立，利用韦达定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值； （3）写出以MN为直径的圆的方程，代入条件可得结论． 【解答】解：（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴方程表示圆时，m＜5； （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，得x1x2=16﹣8（y1+y2）+4y1y2， ∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0①， 由，得5y2﹣16y+m+8=0， ∴，． 代入①得． （3）以MN为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0， 即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y=0， ∴所求圆的方程为． 【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．