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湖南省常德市丹洲中学2022年高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数f(x)= x-ax+1在区间(1,+)内是增函数,则实数a的取值范围是( ) A.a<3 ; B.a>3 ; C.a3; D.a3
参考答案:
C
2. 命题 ,则是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
3. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和,,设Tn=a1?a2?a3?…?an,则使得Tn取最小值时,n的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
C
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】由9S3=S6,解得q=2.若使Tn=a1a2a3…an取得最小值,则an=?2n﹣1<1,由此能求出使Tn取最小值的n值.
【解答】解:∵{an}是等比数列,∴an=a1qn﹣1,
S3=a1+a1q+a1q2,
S6=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1q4+a1q5,
由9S3=S6,解得q=2.
若使Tn=a1a2a3…an取得最小值,
则an<1,
∵a1=,∴ ?2n﹣1<1,
解得n<6,n∈N*,
∴使Tn取最小值的n值为5.
故答案为:5.
【点评】本题考查使得等比数列的前n项积Tn取最小值时n的值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.
4. 已知椭圆的右顶点为A,点P在椭圆上,O为坐标原点,且,则椭圆的离心率的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案:
B
5. 在△ABC中,若, 则A与B的大小关系为( )
A.A>B B. A<B C. A=B D. A、B大小关系不定
参考答案:
D
略
6. 已知是首项为1的等比数列,是的前n项和,且,则数列的前5项和为( )A.或5 B.或5 C. D.
参考答案:
C
7. 下面说法正确的是( )
A.命题“”的否定是“”
B.实数是成立的充要条件
C.设为简单命题,若“”为假命题,则“”也为假命题
D.命题“若,则”的为真命题
参考答案:
D
8. 从1,2,3,4中任取两个数,记作a,b,则两数之和a+b小于5的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】先同基本事件总数n=,再求出两数之和a+b小于5包含的基本事件,由此能求出两数之和a+b小于5的概率.
【解答】解:从1,2,3,4中任取两个数,记作a,b,
基本事件总数n=,
两数之和a+b小于5包含的基本事件有:
(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),
共有m=4个,
故两数之和a+b小于5的概率p=.
故选:D.
【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.
9. 对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数,则=( )
A.1 B.2 C.2013 D.2014
参考答案:
C
10. “m>0,n>0”是“曲线mx2—ny2=1为双曲线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
当时,曲线,可化为,表示焦点在x轴上的双曲线,充分性成立.若曲线为双曲线,则或,必要性不成立,即“”是“曲线为双曲线”的充分不必要条件.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知变量满足,则的最大值为( )
A. B. C.16 D.64
参考答案:
B
略
12. 如图,已知长方体,,
则异面直线所成的角是 .
参考答案:
13. 二项式的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是______.
参考答案:
【分析】
先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6,再求出其通项公式,令x的指数为0,求出r,再代入通项公式即可求出常数项的值.
【详解】的展开式中只有第四项的二项式系数最大,所以n=6.
其通项公式Tr+1=C6r?()r?,
令30,求得r=2,可得展开式中的常数项为C62?()2,
故答案为.
【点睛】本题主要考查二项式定理中的常用结论:如果n为奇数,那么是正中间两项的二项式系数最大;如果n为偶数,那么是正中间一项的二项式系数最大,考查通项公式的应用,是基础题
14. 正方体中,与直线异面,且与所成角为的面对角线共有 条.
参考答案:
4
15. 曲线在点处的切线方程为______
参考答案:
略
16. 已知二次函数()的
图象如图所示,有下列四个结论:
①
②
③
④ ,
其中所有正确结论的序号有
参考答案:
① ② ③
略
17. 在样本的频率分布直方图中,共有5个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他4个小长方形的面积和的,且样本容量为100,则正中间的一组的频数为 .
参考答案:
20
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,DA上的点.
(Ⅰ)若CP=CQ,且△CPQ的面积为,求∠BCP的大小;
(Ⅱ)若△APQ的周长为2,求∠PCQ的大小.
参考答案:
略
19. (本题满分8分)由3位男生2位女生排成一排,
(1)所有不同排列的个数;
(2)恰有两个男生相邻的排列个数;
(3)男生不等高且从左到右的排列的顺序为由高到矮的排列的个数?
【结果全部用数字作答】
参考答案:
解(1)120 【2分】(2)72 【式子正确给2分满分3分】 (3)20 【同(2)】
略
20. 已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若,求△ABC的面积.
参考答案:
(1);(2).
试题分析:(1)根据正弦定理,,,代入原式,整理为,再公共辅助角公式化简,根据,计算角;
(2)因为知道代入余弦定理,,得到,最后代入面积公式,计算面积.
试题解析:(1)在△ABC中,由正弦定理得,
即,又角为三角形内角,
所以,即,
又因为,所以.
(2)在△ABC中,由余弦定理得:
,则
即,解得或,
又,所以.
考点:1.正弦定理;2.余弦定理;3.面积公式.
21. (本小题11分)如图,三棱锥C—ABD,CB = CD,AB = AD, ∠BAD = 90°。E、F分别是BC、AC的中点。
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若CA = CB,求证:平面BCD⊥平面ABD
(3)在上找一点M,在AD上找点N,使平面MED//平面BFN,并说明理由;求出的值
参考答案:
略
22. 已知四棱锥的底面为直角梯形,,底面,且,,是的中点。
(Ⅰ)证明:面面;
(Ⅱ)求与所成的角的余弦值;
(Ⅲ)求面与面所成二面角的余弦值。
参考答案:
证明:以为坐标原点长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为
.
(Ⅲ)解:在上取一点,则存在使
要使
为
所求二面角的平面角.
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