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2022-2023学年湖北省咸宁市金塘中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 设函数的定义域是且,值域是且,则下列哪个图形可以是函数的图象为( )
A B
C D
参考答案:
C
略
3. (5分)已知函数f(x)=sin2x,则f(x+)是()
A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为偶函数
参考答案:
B
考点: 三角函数的周期性及其求法.
专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质.
分析: 化简解析式f(x+)即可求出其周期和奇偶性.
解答: 解:f(x+)=sin(2x+)=﹣cos2x是最小正周期为π的偶函数.
故选:B.
点评: 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法,三角函数的奇偶性,属于基础题.
4. 已知圆的圆心是,半径长是,则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
5. 在等差数列中,若,则其前11项和 ( )
A.15 B.24 C.30 D.33
参考答案:
D
略
6. 如图所示,为函数y=Asin(ωx+φ)+k在一个周期内的图象,
则这个函数的一个解析式为 ( )
A.y=2sin-1 B.y=2sin-1
C.y=2sin-1 D.y=2sin(2x+)-1
参考答案:
D
略
7. 若函数是函数的反函数,且的图象
过点,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 下列函数的定义域与相同的是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
的定义域是,的定义域是,的定义域是,的定义域是,的定义域是,故选D.
9. 已知,则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
D
10. 若则当x>1时,a、b、c的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.(Ⅰ)直方图中的值为___________;
(Ⅱ)在这些用户中,用电量落在区间内的户数为_____________.
参考答案:
0.0044,70.
12. ________
参考答案:
13. 已知,则的值是_____________。
参考答案:
解析:,
14. 不等式的解集为____________
参考答案:
(0,1]
结合不等式,可知,对不等式移项,得到,所以x的范围为
15. 已知函数,有以下结论:
①若,则:
②f(x)在区间上是增函数:
③f(x)的图象与图象关于x轴对称:
④设函数,当时,
其中正确的结论为__.
参考答案:
②④
【分析】
利用二倍角和辅助角对函数化简可得,结合三角函数的性质依次判断各结论,即可得到答案.
【详解】由题意,函数,
对于①:若,可知关于对称轴是对称的,即,所以①不对;
对于②:令,可得;
∴在区间上是增函数,所以②正确;
对于③:的图象关于轴对称,即关于轴对称的点是,
可得 ,所以③正确;
对于④:设函数 ,
当时,,
,,
∴,所以④正确.
故答案为:②③④
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质,其中解答中利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
16. 的值为 ▲ .
参考答案:
17. 已知sinα=,α∈(,π),tan(π﹣β)=,则tan(α﹣2β)= .
参考答案:
【考点】GR:两角和与差的正切函数;GO:运用诱导公式化简求值.
【分析】由sinα的值和α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值及tanα的值,利用诱导公式化简tan(π﹣β)=得到tanβ的值,然后利用二倍角的正切函数公式求出tan2β的值,把所求的式子利用两角差的正切函数公式化简后,将tanα和tan2β的值代入即可求出值.
【解答】解:由sinα=,且α∈(,π),得到cosα=﹣=﹣,所以tanα=﹣;
由tan(π﹣β)=﹣tanβ=,得到tanβ=﹣,所以tan2β==﹣.
则tan(α﹣2β)===
故答案为:
【点评】此题考查学生灵活运用诱导公式、两角差的正切函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道中档题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)函数f (x)=为R上的奇函数,且 .
(1)求a,b的值. (2)证明f (x)在(-1,1)上为增函数
参考答案:
(1)∵f(x)= 为R上的奇函数 ∴f(0)=b=0 .….....2分
∵f()= ∴a=1 ………………..4分
(2)任取x1,x2,.使-1<x1<x2<1,则f(x2)-f(x1)=………………………...8分
∵x1<x2 ∴x1 - x2<0 ∵ -1<x1<x2<1 ∴x1x2-1<0
又∵(x22+1)(x12+1)>0 ∴f(x2)- f(x1) >0
∴f(x2) >f(x1)∴f(x)在(-1,1)上为增函数……….12分
19. 已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.
参考答案:
由题意可知:
α+β=-280°+k·360°,k∈Z.
∵α,β为锐角,
∴0°<α+β<180°.
取k=1,得α+β=80°,①
α-β=670°+k·360°,k∈Z.
∵α,β为锐角,
∴-90°<α-β<90°.
取k=-2,得α-β=-50°,②
由①②得:α=15°,β=65°.
20. 已知f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[﹣1,1],m+n≠0时,有>0.
(Ⅰ)证明f(x)在[﹣1,1]上是增函数;
(Ⅱ)解不等式f(x2﹣1)+f(3﹣3x)<0
(Ⅲ)若f(x)≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.
【分析】(Ⅰ)任取﹣1≤x1<x2≤1,则,由已知,可比较f(x1)与f(x2)的大小,由单调性的定义可作出判断;
(Ⅱ)利用函数的奇偶性可把不等式化为f(x2﹣1)<f(3x﹣3),在由单调性得x2﹣1<3x﹣3,还要考虑定义域;
(Ⅲ)要使f(x)≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1,1]恒成立,只要f(x)max≤t2﹣2at+1,由f(x)在[﹣1,1]上是增函数易求f(x)max,再利用关于a的一次函数性质可得不等式组,保证对a∈[﹣1,1]恒成立;
【解答】解:(Ⅰ)任取﹣1≤x1<x2≤1,
则,
∵﹣1≤x1<x2≤1,∴x1+(﹣x2)≠0,
由已知,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[﹣1,1]上是增函数;
(Ⅱ)∵f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且在[﹣1,1]上是增函数,
∴不等式化为f(x2﹣1)<f(3x﹣3),
∴,解得;
(Ⅲ)由(Ⅰ)知f(x)在[﹣1,1]上是增函数,
∴f(x)在[﹣1,1]上的最大值为f(1)=1,
要使f(x)≤t2﹣2at+1对?x∈[﹣1,1]恒成立,只要t2﹣2at+1≥1?t2﹣2at≥0,
设g(a)=t2﹣2at,对?a∈[﹣1,1],g(a)≥0恒成立,
∴,
∴t≥2或t≤﹣2或t=0.
21. (本小题满分13分)设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,(Ⅰ)求,的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.
参考答案:
.解:(1);。
(2)
22. (本题10分)设函数的定义域为,函数的定义域为.
(1)若,求实数的取值范围;
(2)设全集为,若非空集合的元素中有且只有一个是整数,求实数的取值范围.
参考答案:
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