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四川省眉山市东坡区职业高级中学2022年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a2+a8=10,则S9=( )
A.36 B.40 C.42 D.45
参考答案:
D
【考点】85:等差数列的前n项和.
【分析】由等差数列的性质可得:a1+a9=a2+a8=10,再利用求和公式即可得出.
【解答】解:由等差数列的性质可得:a1+a9=a2+a8=10,
则S9===45.
故选:D.
2. 下列函数中哪个与函数相等( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 函数的定义域是( )
A.[2,3) B.(3,+∞) C.[2,3)∪(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞)
参考答案:
C
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由函数解析式列出关于不等式组,求出它的解集就是所求函数的定义域.
【解答】解:要使函数有意义,则,解得x≥2且x≠3,
∴函数的定义域是[2,3)∪(3,+∞).
故选C.
4. 函数f(x)=ln(x+1)﹣的零点所在的大致区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)
参考答案:
B
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】函数f(x)=ln(x+1)﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反.
【解答】解:∵f(1)=ln(1+1)﹣2=ln2﹣2<0,
而f(2)=ln3﹣1>lne﹣1=0,
f(1)f(2)<0,
∴函数f(x)=ln(x+1)﹣的零点所在区间是 (1,2),
故选:B.
5. 如果执行右面的程序框图,那么输出的( )
A、22 B、46 C、 D、190
参考答案:
C
6. 水平放置的△ABC的直观图如图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC是一个( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
参考答案:
A
【考点】LB:平面图形的直观图.
【分析】由图形和A′O′=通过直观图的画法知在原图形中三角形的底边BC=B'C',AO⊥BC,且AO=,故三角形为正三角形.
【解答】解:由图形知,在原△ABC中,AO⊥BC,
∵A′O′=
∴AO=
∵B′O′=C′O′=1∴BC=2
∴AB=AC=2
∴△ABC为正三角形.
故选A
7. 函数f(x)=log2(x2﹣x﹣2)的单调递减区间是( )
A.(﹣∞,﹣1) B. C. D.(2,+∞)
参考答案:
A
【考点】复合函数的单调性.
【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】令t=x2﹣x﹣2,可得函数f(x)=log2t,由t>0 求得函数的定义域,本题即求函数t在定义域内的减区间,再利用二次函数的性值可得结论.
【解答】解:令t=x2﹣x﹣2,可得函数f(x)=log2t,∴t>0,∴x<﹣1,或x>2,
故函数的定义域为{x|x<﹣1,或x>2 }.
故本题即求函数t在定义域内的减区间.
利用二次函数的性值可得t在定义域内的减区间为(﹣∞,﹣1),
故选:A.
【点评】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质,属于中档题.
8. 下面大小关系恒成立的一组是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
对于A,当时,,故错误;
对于B,,故错误;
对于D,当时,,故错误;
故选C.
9. 已知数列对任意的满足,且,那么等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
10. 若集合则等于 ( )
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设集合,,若,则实数的取值范围是 .
参考答案:
12. 等比数列的前n项和为,且4,2,成等差数列。若=1,则 _____
参考答案:
略
13. ①既是奇函数,又是偶函数;
②和为同一函数;
③已知为定义在R上的奇函数,且在上单调递增,则
在上为增函数;
④函数的值域为.
其中正确命题的序号是 .
参考答案:
略
14. 已知某几何体的直观图及三视图如图所示,三视图的轮廓均为正方形,则该几何体的表面积为__________.
参考答案:
略
15. 函数的单调递增区间为 .
参考答案:
,得 ,
令 ,则 ,由复合函数的单调性“同增异减”,所求的单调递增区间即 的减区间,
所以所求的单调递增区间为 。
16. 如图,一只蜘蛛从点O出发沿北偏东45°方向爬行xcm,到达点A处捕捉到一只小虫,然后沿OA方向右转105°爬行10cm,到达点B处捕捉哦另一只小虫,这时他沿AB方向右转135°爬行回到它的出发点O处,那么x= .
参考答案:
考点:解三角形的实际应用.
专题:计算题;解三角形.
分析:先由题意,可知∠OAB=75°,∠ABO=45°,∠O=60°,AB=10,再由正弦定理可确定答案.
解答: 解:由题意,可知∠OAB=75°,∠ABO=45°,∠O=60°,AB=10
根据正弦定理可得:,
∴x=,
故答案为:.
点评:本题主要考查正弦定理的应用,考查学生的计算能力,属基础题.
17. 已知全集U={0,1,2,3}且={2},则集合A的真子集共有________个。
参考答案:
解析:(期中考试第1题)A={0,1,3},∴集合A的真子集共有23-1=7个。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)若f(a)=3,求f(﹣a)的值.
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】(1)利用分母不为0,求f(x)的定义域;
(2)利用奇函数的定义,判断f(x)的奇偶性并证明;
(3)f(﹣a)=﹣f(a)=﹣3.
【解答】解:(1)由2x﹣1≠0,可得x≠0,
∴f(x)的定义域是{x|x≠0};
(2)f(﹣x)==﹣f(x),∴f(x)是奇函数;
(3)f(﹣a)=﹣f(a)=﹣3.
19. 已知向量,满足:=4,=3,
(Ⅰ)求·的值;
(Ⅱ)求的值.
参考答案:
(Ⅰ) =2 (Ⅱ)
【分析】
(I)计算,结合两向量的模可得;
(II)利用,把求模转化为向量的数量积运算.
【详解】解:(Ⅰ)由题意得
即
又因为
所以
解得=2.
(Ⅱ)因为,
所以=16+36-4×2=44.
又因为
所以.
【点睛】本题考查平面向量的数量积,解题关键是掌握性质:,即模数量积的转化.
20. 有一批影碟机原销售价为每台800元、在甲乙两家家电商场均有销售,甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台,则所买各台单价均再减少20元,但每台单价不能低于440元;乙商场一律按原价的75%销售。某单位需购买x台此批影碟机,但只能在一家商场购买,在甲商场买花了y甲元,在乙商场买花了y乙元。
(1)写出y甲和y乙的表达式;
(2)当购买多少台时,在两个商场买是一样的?
(3)就购买数x讨论到哪家商场购买更省钱?
参考答案:
(1)800-20x=440,x=18
当1x<18 时,;当x18时,
(2)当x18时,,
由(800-20x)x=600x,得x=10(台)
(3)?x=10时,
?1x<10,,
?x>10时,,
综上可知,当台数大于10台时,在甲商场买便宜;当台数小于10台时,在乙商场买便宜;当买10台时,两商场一样。
略
21. (本小题满分14分)已知函数对一切实数都有成立,且.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的解析式;
(Ⅲ)已知,设:当时,不等式 恒成立;
Q:当时,是单调函数。如果满足成立的的集合记为,满足Q成立的的集合记为,求(为全集).
参考答案:
(Ⅰ)令,则由已知 ∴
(Ⅱ)令, 则
又∵ ∴
(Ⅲ)不等式 即 即
当时,, 又恒成立
故
又在上是单调函数,故有∴
∴ ∴=
22. 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新,对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效,由于停取方便、租用价格低廉,各色共享单车受到人们的热捧.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20000元,每生产一件新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数,其中x是新样式单车的月产量(单位:件),利润总收益总成本.
(1)试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数;
(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大?最大利润是多少?
参考答案:
解:(1)依题设,总成本为,
则
(2)当时,,
则当时,;
当时,是减函数,
则,
所以,当月产量件时,自行车厂的利润最大,最大利润为25000元.
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