广东省湛江市第十五职业高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析

广东省湛江市第十五职业高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若点是的外心，且，则实数的值为 （    ） A． B．            C．1                D． 参考答案： D 2. “”是 “”的（   ） A.充分不必要条件              B.必要不充分条件 C.充要条件                       D.既不充分也不必要条件 参考答案： B 3. 我们规定：若一系列函数解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”。则函数解析式为值域为的“同族函数”个数为（　　） A、7            B、8            C、9            D、10 参考答案： C 4. 下列说法正确的是（　　） A．任何两个变量都具有相关关系；　　　　　　 B．球的体积与该球的半径具有相关关系； C．农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系； D．一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系。 参考答案： D 5. 下列程序执行后输出的结果是（　　　） A．  –1         B．  0            C．  1            D． 2 参考答案： B 6. 设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞） 参考答案： B 【考点】其他不等式的解法． 【分析】分x0≥1和x0＜1两种情况考虑，分别将相应的函数解析式代入不等式中求出相应的解集，找出两解集的并集即为所求x0的取值范围． 【解答】解：当x0≥1时，f（x0）=2x0+1，代入不等式得：2x0+1＞1， 解得：x0＞0， 此时x0的范围为x0≥1； 当x0＜1时，f（x0）=x02﹣2x0﹣2，代入不等式得：x02﹣2x0﹣2＞1， 解得：x0＞3或x0＜﹣1， 此时x0的范围为x0＜﹣1， 综上，x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）． 故选B 7. 对于任意实数，命题： ①；  ②  ③；   ④；   ⑤． 其中真命题的个数是（       ） A． 1              B． 2               C． 3               D． 4  参考答案： A 8. 直线和圆O：的位置关系是(    ) A．相离 B．相切 C．相交不过圆心 D．相交过圆心 参考答案： A 9. 函数的递增区间是                                    (    )     A.    B.     C.          D. 参考答案： C 略 10. 在正方体中，为的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A．   　B．   C．    D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若复数满足（其中为虚数单位），则的最小值为      参考答案： 略 12. 已知F1、F2是椭圆 (a>b>0)的左右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值为           参考答案： 13. （文）数列的前n项和，则＝___________ 参考答案： -3 ≤x≤1 略 14. 给出下列命题：①y＝1是幂函数；  ②函数f(x)＝2x－log2x的零点有1个； ③的解集为[2，＋∞)； ④“x<1”是“x<2”的充分不必要条件； ⑤函数y＝x3是在O(0,0)处的切线是x轴．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． 参考答案： ④⑤ 15. 求函数 的单调递减区间为_____________ 参考答案： (1,+∞) 16. 已知（x,y）在映射 f下的象是(x-y,x+y)，则(3,5)在f下的象是_________，原象是_____________ 参考答案： （-2，8），（4，1） 略 17. 抛物线y = a x 2 + b x + c的顶点在以该抛物线截x轴所得线段为直径的圆的内部，则a，b，c之间的关系是          。 参考答案： 4 a c < b 2 < 4 a c + 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)已知点E(1,0),⊙E与直线4x+3y+1=0相切,动圆M与⊙E及y轴都相切,切点不为原点. (Ⅰ)求点M的轨迹C的方程； (Ⅱ)过点E任作直线l,交曲线C于A,B两点,由点A,B分别向⊙E各引一条切线,切点 分别为P,Q,记α=∠PAE,β=∠QBE.求证sinα+sinβ是定值. 参考答案： ∴⊙E的方程为(x-1)2+y2=1, 由题意动圆M与⊙E及y轴都相切,分以下情况： 作MH⊥y轴于H,则|MF|-1=|MH|,即|ME|=|MH|+1, 过M作直线x=-1的垂线MN,N为垂足, 则|MF|=|MN|, ∴点M的轨迹是以E为焦点,x=-1为准线的抛物线, ∴点M的轨迹C的方程为y2=4x(x≠0).                               6分 (2)当l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1). 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),   当l与x轴垂直时,也可得sinα+sinβ=1,                                11分 综上,有sinα+sinβ=1.                                               12分 19. 已知且，直线和。 （1）求直线的充分条件； （2）当时，直线恒在轴上方，求的取值范围。 参考答案： （1）；（2）。 （1）当两直线斜率存在时，两直线平行的充要条件是斜率相等，截距不等，故且。（2）可以从函数的角度去分析，时，单调递增，只需；时， 单调递减，只需。 试题解析：（1）由题意得，解得。 当时，，，此时。 （2）设 法1：由题意得即解得。 法2：或解得。 20. （Ⅰ）求证： +＜2 （Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：，中至少有一个小于2． 参考答案： 【考点】不等式的证明． 【分析】（Ⅰ）利用了分析法，和两边平方法， （Ⅱ）利用了反证法，假设：，都不小于2，则≥2，≥2，推得即a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立． 【解答】（Ⅰ）证明：因为和都是正数，所以为了证明+＜2， 只要证 （+）2＜（2）2 只需证：10＜20， 即证：2＜10， 即证：＜5， 即证：21＜25， 因为21＜25显然成立，所以原不等式成立． （Ⅱ）证明：假设：，都不小于2，则≥2，≥2， ∵a＞0，b＞0， ∴1+b≥2a，1+a≥2b， ∴1+b+1+a≥2（a+b） 即 a+b≤2 这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立． 21. 在平面直角坐标系中，为坐标原点. 已知曲线上任意一点（其中）到定点的距离比它到轴的距离大1. （1）求曲线的轨迹方程； （2）若过点的直线与曲线相交于不同的两点，求的值； （3）若曲线上不同的两点、满足求的取值范围. 参考答案： 解：（1）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线                              　∵∴　∴　曲线方程是                       （4分） （2）当平行于轴时，其方程为，由解得、 此时                                         （6分） 当不平行于轴时，设其斜率为， 则由得 设，则有，               （8分） ∴                        （10分） （3）设 ∴                         ∵ ∴ ∵，化简得                        （12分） ∴                         （14分） 当且仅当时等号成立 ∵               （16分） ∴当的取值范围是  （18分） 22. (本小题满分14分)   如图8所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点P在侧棱SD上，且． （Ⅰ）求证：AC⊥SD； （Ⅱ）求二面角P－AC－D的大小； （Ⅲ）侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 参考答案： （Ⅰ）连结BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图． 设底面边长为，则高，于是，，，，， ∵，故OC⊥SD，从而AC⊥SD．················ 4分 （Ⅱ），则，， 设平面PAC的一个法向量，则取，可得面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量，设所求二面角为，则，即所求二面角的大小为．  9分 （Ⅲ）在棱BC上存在一点E，使BE∥平面PAC． 由（Ⅱ）知，平面PAC的一个法向量，又． 设，则， 而，解得． 即当时，，而BE?面PAC，故BE∥平面PAC．········· 14分