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河南省新乡市长垣第一中学高三数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知为的导函数,则的图像( )
参考答案:
A
略
2. 从2012名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2012人中剔除12人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行. 则每人入选的概率 ( )
A.不全相等 B.都相等,且为
C.均不相等 D.都相等,且为
参考答案:
B
3. 设、b是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列四个命题中正确的是( )
(A)若⊥b,⊥,则b∥ (B)若∥,⊥,则⊥
(C)若⊥,⊥,则 ∥ (D)若⊥b,⊥,b⊥,则⊥
参考答案:
D
4. 已知,若,则实数的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 如图是一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形,俯视图中曲线部分为半圆,尺寸如图,则该几何体的全面积为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
6. 若,则f(x)的定义域为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的定义域.
【专题】计算题.
【分析】根据分式函数的分母不能为0,再由对数函数的真数要大于零使得对数函数有意义,可得不等式组,最后两个不等式的解集取交集可得答案.
【解答】解:根据题意有:
解得:﹣<x≠0,
所以其定义域为:
故选C.
【点评】本题主要考查给出解析式的函数的定义域的求法,常见的有分母不能为零,负数不能开偶次方根,零次幂及真数要大于零等.
7. 设函数的图像在点处切线的斜率为,则函数
的部分图像为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. 设函数在R上可导,其导函数为,且函数的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
参考答案:
D
9. 若不等式的解集是,则函数的图象是( )
参考答案:
B
10. 已知复数,是z的共轭复数,则的模等于( )
A B 2 C 1 D
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的最大值为3,的图象与轴的交点坐标为,其相邻两条对称轴间的距离为2,则
参考答案:
4030
【知识点】二倍角的余弦;余弦函数的图象.C3 C6
解析:∵函数f(x)=Acos2(ωx+φ)+1=A?+1
=cos(2ωx+2φ)+1+ (A>0,ω>0,0<φ<)的最大值为3,∴+1+=3,∴A=2.
根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2,可得函数的最小正周期为4,即=4,∴ω=.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2),可得 cos(2φ)+1+1=2,
∴cos2φ=0,2φ=,∴φ=.故函数的解析式为 f(x)=cos(x+)+2=﹣sinx+2,
∴f(1)+f(2)+…+f(2014)+f(2015)=﹣(sin+sin+sin+…+sin+sin)+2×2015=503×0﹣sin﹣sin﹣sin+4030=0+4030=4030,故答案为:4030.
【思路点拨】由条件利用二倍角的余弦公式可得f(x)=cos(2ωx+2φ)+1+,由函数的最值求出A,由周期求出ω,由特殊点的坐标求出φ的值,可得函数的解析式,再利用函数的周期性求得所求式子的值.
12. 已知函数,其中.当时,的值域是______;若的值域是,则的取值范围是______.
参考答案:
,
若,则,此时,即的值域是。
若,则,因为当或时,,所以要使的值域是,则有,,即的取值范围是。
13. 已知向量、满足,,与的夹角为60°,则=________.
参考答案:
14. 已知向量,,则的最大值为 ___
参考答案:
3
略
15. 设m为实数,若?{(x,y)|x2+y2≤25},则m的取值范围是________.
参考答案:
_0≤m≤__
略
16. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点,与其准线交于点,且,则 .
参考答案:
17. 两个等差数列则--=___________
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,Δ是内接于⊙O,
,直线切⊙O于点,弦,
与相交于点.
(I) 求证:Δ≌Δ;
(Ⅱ)若,求.
参考答案:
解:(Ⅰ)在ΔABE和ΔACD中,
∵ ∠ABE=∠ACD ………2分
又∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线,∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD
∴ΔΔ(角、边、角) ………5分
(Ⅱ)∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴ BC=BE=4 ……………………8分
设AE=,易证 ΔABE∽ΔDEC
∴ 又
∴ …………………………10分
19. 已知函数.
(I)求函数在上的单调递增区间;
(Ⅱ)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知向量m=(a,b),向量n=(f(C),1)且向量m//n,求B.
参考答案:
略
20. (本小题满分14分)
以知椭圆的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交与两点,且。
(1) 求椭圆的离心率;
(2) 求直线AB的斜率;
(3) 设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点在的外接圆上,求的值
参考答案:
解析:(1)解:由//且,得,从而
整理,得,故离心率
(2)解:由(I)得,所以椭圆的方程可写为
设直线AB的方程为,即.
由已知设,则它们的坐标满足方程组
消去y整理,得.
依题意,
而 ①
②
由题设知,点B为线段AE的中点,所以
③
联立①③解得,
将代入②中,解得.
(III)解法一:由(II)可知
当时,得,由已知得.
线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴
的交点是外接圆的圆心,因此外接圆的方程为.
直线的方程为,于是点H(m,n)的坐标满足方程组
, 由解得故
当时,同理可得.
解法二:由(II)可知
当时,得,由已知得
由椭圆的对称性可知B,,C三点共线,因为点H(m,n)在的外接圆上,
且,所以四边形为等腰梯形.
由直线的方程为,知点H的坐标为.
因为,所以,解得m=c(舍),或.
则,所以.
当时同理可得
21. △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(1)求角C;
(2)若,△ABC的周长为,求△ABC的面积S.
参考答案:
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(1)由正弦定理,三角形内角和定理化简已知等式可得2cosCsinC=sinC,结合sinC≠0,可求,结合范围C∈(0,π),可求C的值.
(2)由已知可求a+b=5,利用余弦定理可求ab=6,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】解:(1)由正弦定理得:2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
即2cosCsin(A+B)=sinC,
∴2cosCsinC=sinC,
故,
又C∈(0,π),
∴.
(2)∵且,
∴a+b=5,
∵由余弦定理得:a2+b2﹣2abcosC=7,
∴ab=6,
∴.
22. (本题满分14分)某单位的联欢活动中有一种摸球游戏,已知甲口袋中大小相同的3个球,其中2个红球,1个黑球;乙口袋中有大小相同的2个球,其中1个红球,1个白球.每次从一只口袋中摸一个球,确定颜色后再放回.摸球的规则是:先从甲口袋中摸一个球,如果摸到的不是红球,继续从甲口袋中摸一个球,只有当从甲口袋中摸到红球时,才可继续从乙口袋里摸球.从每个口袋里摸球时,如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球,则该游戏者的游戏停止.游戏规定,如果游戏者摸到2个红球,那么游戏者就中奖.现假设各次摸球均互不影响.
(I)一个游戏者只摸2次就中奖的概率;
(II)在游戏中,如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会,记他摸球的次数为,求的数学期望.
参考答案:
从甲口袋中摸一个球,摸到的球是红色球的概率为;从乙口袋中摸一个球,摸到的球是红色球的概率为.
(1)一个游戏者只摸2次就中奖,说明他第一次从甲口袋摸到的是红球,第二次从乙口袋中摸到的也是红球,所以其概率为;
(2)可取.用表示“从甲口袋中摸1个球,摸到的是红球”,用表示“从甲口袋中摸1个球,摸到的不是红球”,则;用表示“从乙口袋中摸1个球,摸到的是红球”,用表示“从乙口袋中摸1个球,摸到的不是红球”,则.
;
;
.
所以的分布列为:
2
3
4
.
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