河北省承德市十道河中学高二数学理联考试题含解析

河北省承德市十道河中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 参考答案： B 【分析】 求出的的范围，根据集合之间的关系选择正确答案． 【详解】， 因此是的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件队用定义判定外还可根据集合之间的包含关系确定．如对应集合是，对应集合是，则是的充分条件是的必要条件． 2. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，如果，则  (     ) A．9  　　　     B．8             C．7                D．6 参考答案： B 3. 从圆:上任意一点向轴作垂线,垂足为,点是线段 的中点,则点的轨迹方程是    (     ) A．  B． C． D． 参考答案： B 略 4. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（　　） A．  B． C． D． 参考答案： B 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可． 【解答】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角． 在△OEH中，OE=，HE=，OH=． 由余弦定理，可得cos∠OEH=． 故选B． 　 5. 函数的导函数的图象大致是 参考答案： C 6. 过点P(－1,3)且垂直于直线的直线的方程为 A.             B. C.             D. 参考答案： A 7. 设函数，则（   ） A.x=1为的极大值点 B. x=-1为的极大值点 C.x=1为的极小值点 D. x=-1为的极小值点 参考答案： D 8. 抛物线的准线方程为(　 ) A.             B.           C.         D.  参考答案： B 9. 关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为(　　) A．{x|－21或x<－2} C．{x|x>2或x<－1}                 D．{x|x<－1或x>1} 参考答案： B 10. 设抛物线，过点的直线l与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为，则 A．－1          B．2        C．－2          D．不确定 参考答案： C 设l的方程为，，， 由，得，， 又，， ，故选C.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知定义在R上的可导函数，对于任意实数x都有，且当时，都有，若，则实数m的取值范围为________． 参考答案： 【分析】 令，则，得在上单调递减，且关于对称，在上也单调递减，又由，可得，则，即，即可求解. 【详解】由题意，知，可得关于对称， 令，则， 因为，可得在上单调递减，且关于对称， 则在上也单调递减， 又因为，可得，则，即，解得， 即实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及不等关系式的求解，其中解答中令函数，利用导数求得函数的单调性和对称性质求解不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 12. 设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y﹣1=0，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为　   　． 参考答案： 7x+y=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】由切线方程可得g（1）=﹣8，可得f（1）=g（1）+1，求出g′（1）=﹣9，求出f（x）的导数，可得f′（1）=g′（1）+2，由点斜式方程即可得到所求方程． 【解答】解：曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为9x+y﹣1=0， 可得g（1）=﹣8，g′（1）=﹣9， 则f（1）=g（1）+1=﹣8+1=﹣7． 由f′（x）=g′（x）+2x， 可得f′（1）=g′（1）+2=﹣9+2=﹣7， 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=﹣7（x﹣1）， 即为7x+y=0， 故答案为：7x+y=0． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，考查运算能力，属于中档题． 　 13. 已知则的最小值是     参考答案： 4 略 14. 在底面是正方形的长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 参考答案：        15. 函数在处的切线方程___________          参考答案： 略 16. 已知P是椭圆 和双曲线 的一个共公点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最大值是_________. 参考答案： 【分析】 设，利用椭圆和双曲线的定义，求出的值，利用余弦定理得出等式，利用三角代换求出的最大值。 【详解】设，由椭圆的定义可知：（1）， 由双曲线的定义可知：（2）， 得：， 得：， 由余弦定理可知：， 设 所以， 当 时，的最大值是。 【点睛】本题考查了椭圆、双曲线的定义。重点考查了三角代换、余弦定理、辅助角公式。 17. 圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1） 写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________． 参考答案： 圆，椭圆，双曲线，抛物线． 因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题： 　　 已知 ， ，求证． 　　 证明：构造函数 　　 　　 因为对一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以 , 　　 从而得．    （1）若，，请写出上述结论的推广式；    （2）参考上述证法，对你推广的结论加以证明。 参考答案： 解：（1）若， 　　求证： 　　（2）证明：构造函数　 　　 　　 　　 因为对一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=≤0, 从而证得： ． 略 19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O． （1）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD； （2）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：|PB|=|PD|． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质． 【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）菱形的对角线AC⊥BD，结合已知条件AC⊥PD，利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD； （2）利用面面垂直的性质定理，结合AC⊥BD得到BD⊥平面PAC，从而BD⊥PO且PO是BD的垂直平分线，得到|PB|=|PD|； 【解答】证明：（1）因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD． 又因为AC⊥PD，PD∩BD=D， 所以AC⊥平面PBD… （2）由（1）知AC⊥BD． 因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC， BD?平面ABCD， 所以BD⊥平面PAC． 因为PO?平面PAC， 所以BD⊥PO． 因为底面ABCD是菱形， 所以|BO|=|DO|， 所以|PB|=|PD|．… 【点评】本题给出一个特殊四棱锥，要我们证明线面垂直，着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明等知识，属于中档题． 20. 已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于﹣． （1）求顶点C的轨迹方程； （Ⅱ）若斜率为1的直线l与顶点C的轨迹交于M，N两点，且|MN|=，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系． 【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）设出C的坐标，利用AC、BC所在直线的斜率之积等于﹣，列出方程，求出点C的轨迹方程； （Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合|MN|=，即可求直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设C的坐标为（x，y），则 直线AC的斜率， 直线BC的斜率，（2分） 由已知有，化简得顶点C的轨迹方程，．（5分） （Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由题意，解得5x2+8mx+4m2﹣4=0，（7分） △=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0，解得（8分） ∴，（10分） 代入解得m2=1，m=±1， ∴直线l的方程为y=x±1．（12分） 【点评】本题是中档题，考查点的轨迹方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 21. 已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且经过两点． （1）求椭圆E的方程； （2）若椭圆E的左、右焦点分别是F、H，过点H的直线l：x=my+1与椭圆E交于M、N两点，则△FMN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）设椭圆E的方程为，由椭圆E经过A（﹣2，0）、两点，知，由此能求出椭圆E的方程． （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设y1＞0，y2＜0，设△FMN的内切圆的半径为R，则S△FMN=4R，当S△FMN最大时，R也最大，△FMN的内切圆的面积也最大，由此能求出△FMN的内切圆的面积的最大值及直线l的方程． 【解答】解：（1）设椭圆E的方程为， ∵椭圆E经过A（﹣2，0）、两点， ∴， ∴a2=4，b2=3 ∴椭圆E的方程为+=1．… （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），设y1＞0，y2＜0， 如图，设△FMN的内切圆的半径为R， 则S△FMN=（|MN|+|MF|+|NF|）R = [（|MF|+|MH|）+（|NF|+|NH|）]R=4R， 当S△FMN最大时，R也最大，△FMN的内切圆的面积也最大， ∵S△FMN=|FH||y1|+|FH||y2|，|FH|=2c=2， ∴S△FMN=|y1|+|y2|=y1﹣y2． 由，得（3m2+4）y2+6my﹣9=0， 则△=（6m）2+4×9（3m2+4）＞0恒成立， ， ∴， ∴… 设，则t≥1，且m2=t﹣1， ∴， 设，则， ∵t≥1，∴f'（t）＜0， ∴函数f（t）在[1，+∞）上是单调减函数， ∴f（t）max=f（1）=3，即S△FMN的最大值是3． ∴4R≤3，R，即R的最大值是， ∴△FMN的内切圆的面积的最大值