江苏省南京市姜堰区艺术中学高三数学理下学期期末试卷含解析

江苏省南京市姜堰区艺术中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 画在同一坐标系内的曲线的交点坐标是 A. B. C. D.    参考答案： C 略 2. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（    ） A．                 B．    C．               D． 参考答案： B 3. 已知集合 A． B． C． D． 参考答案： D 4. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（  ） A.            B.           C.          D.且 参考答案： C 5. 已知，若的充分条件，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 参考答案： D 略 6. 已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是（   ） A．   B．      C．    D． 参考答案： A 略 7. 若为实数，则“”是“”的（    ） A.充分而不必要条件                   B.必要而不充分条件 C.充分条件                           D.既不充分也不必要条件   参考答案： B 8. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面为S，且，则（　　） A. 1 B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】解：由， 得， ∵ ， ∴ ， 即 即， 则， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即， 则， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键． 9. 在中，若依次成等差数列，则（   ） A．依次成等差数列    B．依次成等比数列 C．依次成等差数列 D．依次成等比数列   参考答案： C ：因为依次成等差数列，则 ，得 ，得 ， ，所以选C. 10. 关于直线及平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则         B．若，，则       C.若，，则          D．若，，则 参考答案： A 对于A，若，，根据线面垂直、线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到，故A正确；对于B，若，，则l与m平行、相交或者异面，故B错误；对于C，若，，则m与α可能平行，C错误；对于D，若，，则l与m可能平行、相交或者异面，故D错误。 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是　　． 参考答案： 600 【考点】频率分布直方图． 【分析】根据频率分布直方图，求出在该次数学考试中成绩小于60分的频率，再求成绩小于60分的学生数． 【解答】解：根据频率分布直方图，得 在该次数学考试中成绩小于60分的频率是 （0.002+0.006+0.012）×10=0.20 ∴在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是 3000×0.20=600． 故答案为：600． 12. 几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________m3. 参考答案： 13. 复数   　   ． 参考答案： 1+2i 14. 已知，则的值为            。 参考答案： 略 15. 已知=        . 参考答案： 2 略 16. 将连续整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为       ，最大值为        . 参考答案： ； 因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85. 17. 设P是曲线为参数）上的一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹的普通方程为_____． 参考答案： 【分析】 由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程． 【详解】曲线（θ为参数），即有 ， 由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1， 设P（x0，y0），M（x，y）， 可得 ，代入曲线方程，可得 2x02﹣y02＝1，即为2（2x）2﹣（2y）2＝1， 即为8x2﹣4y2＝1． 故答案为：8x2﹣4y2＝1． 【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. [选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 （l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】先把方程化为普通方程，再联立，利用弦长公式，即可求线段AB的长． 【解答】解：直线（l为参数）与曲线（t为参数）的普通方程分别为x﹣y=﹣，y2=8x， 联立可得x2﹣5x+=0， ∴|AB|==4． 19. 设数列的前n项和为，如果为常数，则称数列为“科比数列”。    （1）等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；    （2）数列的各项都是正数，前n项和为，若对任意都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由。 参考答案： 解：（1）设等差数列的公差为，，因为， 则，即．  整理得，．                 ………………4分 因为对任意正整数上式恒成立，则，解得．　…… 6分 故数列的通项公式是．                  　　　　　…………7分          ⑵ 由已知，当时，．因为，所以． 　　…………8分 当时，，． 两式相减，得． 因为，所以=．                   　…………10分 显然适合上式，所以当时，． 于是． 因为，则， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． 所以不为常数，故数列不是“科比数列”． ……13分 略 20. （本小题满分12分）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为     、 的中点． （1）求证：//平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 参考答案： 解：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则 ∵EF为中位线…………2分    而面，面 面…………4分 （2）等腰直角三角形BCD中，F为BD中点 ①…………5分 正方体 ， ②…………7分 综合①②，且 ，而， …………………………………………………8分 （3）由（2）可知  即CF为高  ，…………10分 ， ∴  即    ∴…………10分 =…………12分 略 21. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=8cos（θ﹣）． （1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值． 参考答案： 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，即可得出结论； （2）联立曲线C1与曲线C2的方程，利用参数的几何意义，即可求|AB|的最大值和最小值． 【解答】解：（1）对于曲线C2有，即， 因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆． （2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：， ∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13 ， 因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8． 22. （本大题9分）在极坐标系中,过曲线外的一点 (其中为锐角)作平行于的直线与曲线分别交于 （1）写出曲线和直线的普通方程(以极点为原点,极轴为轴的正半轴建系)；  (2) 若成等比数列,求的值. 参考答案： ⑴(2)