资源描述
2022年浙江省舟山市嵊泗中学高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如果实数x,y满足等式(x﹣2)2+y2=3,那么的最大值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】简单线性规划.
【专题】转化思想.
【分析】表示圆上动点与原点O连线的斜率,画出满足等式(x﹣2)2+y2=3的图形,由数形结合,我们易求出的最大值.
【解答】解:满足等式(x﹣2)2+y2=3的图形如图所示:
表示圆上动点与原点O连线的斜率,
由图可得动点与B重合时,此时OB与圆相切,取最大值,
连接BC,在Rt△OBC中,BC=,OC=2
易得∠BOC=60°
此时=
故选D
【点评】本题考查的知识点是简单线性规划,分析出表示圆上动点与原点O连线的斜率,是解答本题的关键.
2. 设函数则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A.(﹣3,1)∪(3,+∞) B.(﹣3,1)∪(2,+∞) C.(﹣1,1)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(1,3)
参考答案:
A
【考点】一元二次不等式的解法.
【专题】不等式的解法及应用.
【分析】先求f(1),依据x的范围分类讨论,求出不等式的解集.
【解答】解:f(1)=3,当不等式f(x)>f(1)即:f(x)>3
如果x<0 则 x+6>3可得 x>﹣3,可得﹣3<x<0.
如果 x≥0 有x2﹣4x+6>3可得x>3或 0≤x<1
综上不等式的解集:(﹣3,1)∪(3,+∞)
故选A.
【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查分类讨论的思想,是中档题.
3. 若展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )
A. 10 B. 20 C. 30 D. 120
参考答案:
B
4. “”是数列“为递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
5. 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=.设线段AB的中点M在l上的投影为N,则的最大值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】设|AF|=a、|BF|=b,由抛物线定义结合梯形的中位线定理,得2|MN|=a+b.再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab,结合基本不等式求得|AB|的范围,从而可得的最大值.
【解答】解:设|AF|=a,|BF|=b,A、B在准线上的射影点分别为Q、P,
连接AQ、BQ
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|,
在梯形ABPQ中根据中位线定理,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.
由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab,
配方得|AB|2=(a+b)2﹣ab,
又∵ab≤( ) 2,
∴(a+b)2﹣ab≥(a+b)2﹣( ) 2=(a+b)2
得到|AB|≥(a+b).
所以≤=,即的最大值为.
故选C.
【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角,求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围,着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识,属于中档题.
6. 用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x2+ax+b=0没有实根
B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
参考答案:
A
【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.
【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,
∴用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根.
故选:A.
7. 不等式ax2+5x﹣2>0的解集是{x|<x<2},则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1>0的解集为( )
A.(﹣∞,﹣)∪(1,+∞) B.(﹣,1)
C.(﹣∞,﹣3)∪(,+∞) D.(﹣3,)
参考答案:
D
【考点】74:一元二次不等式的解法.
【分析】由不等式的解集与方程的关系,可知,2是相应方程的两个根,利用韦达定理求出a的值,再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1>0易解出其解集.
【解答】解:由已知条件可知a<0,且,2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根,
由根与系数的关系得:×2=﹣解得a=﹣2
所以ax2﹣5x+a2﹣1>0化为2x2+5x﹣3<0,
化为:(2x﹣1)(x+3)<0
解得﹣3<x<,
所以不等式解集为:(﹣3,)
故选:D.
8. 椭圆上一点P到左焦点的距离为8,则它到右准线的距离为
A.6 B.8 C.10 D.15
参考答案:
D
9. 在等比数列中,已知,,那么前项和等于
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 函数f(x)在定义域(0,+∞)内恒满足:①f(x)>0;②2f(x)<xf′(x)<3f(x),其中f′(x)为f(x)的导函数,则( )
A.<< B.<< C.<< D.<<
参考答案:
D
【考点】6A:函数的单调性与导数的关系.
【分析】分别构造函数g(x)=,x∈(0,+∞),h(x)=,x∈(0,+∞),利用导数研究其单调性即可得出.
【解答】解:令g(x)=,x∈(0,+∞),
g′(x)=,
∵?x∈(0,+∞),2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,
∴f(x)>0,
0<,
∴g′(x)>0,
∴函数g(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,
∴g(1)<g(2),即4f(1)<f(2),<;
令h(x)=,x∈(0,+∞),
h′(x)=,
∵?x∈(0,+∞),2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,
∴h′(x)=<0,
∴函数h(x)在x∈(0,+∞)上单调递减,
∴h(1)>h(2),即f(1)>,>,
故选:D.
【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,设是抛物线上一点,且在第一象限. 过点作抛物线的切线,交轴于点,过点作轴的垂线,交抛物线于点,此时就称确定了.依此类推,可由确定,.记,。
给出下列三个结论:
①;
②数列是公比为的等比数列;
③当时,.
其中所有正确结论的序号为___________.
参考答案:
①、③
12. 给出下列四个命题
①平行于同一平面的两条直线平行;
②垂直于同一平面的两条直线平行;
③如果一条直线和一个平面平行,那么它和这个平面内的任何直线都平行;
④如果一条直线和一个平面垂直,那么它和这个平面内的任何直线都垂直.
其中正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号).
参考答案:
②④
13. 已知A(3,5,-7)和点B(-2,4,3),点A在x轴上的射影为A′,点B在z轴上的射影为B′,则线段A′B′的长为____ ___.
参考答案:
3
14. 若实数a,b满足a+b=2,则2a+2b的最小值是 .
参考答案:
4
【考点】基本不等式.
【分析】直接利用a+b即可求出最小值.
【解答】解:∵a+b=2
∴2a+2b≥2=2=4
当且仅当a=b=1时等式成立.
故答案为:4.
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用以及指数幂运算知识点,属基础题.
15. 直线: 绕着它与x轴的交点逆时针旋转所得直线的方程为 .
参考答案:
16. 将石子摆成如下图的梯形形状.称数列为“梯形数”.根据图形的构成,
判断数列的第项______________;
参考答案:
略
17. 已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线方程为y=x+1,则AC所在的直线方程为_ ▲ .
参考答案:
x-2y-1=0
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 求椭圆+=1的长轴和短轴长,离心率,焦点坐标和顶点坐标.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】对应思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据椭圆的性质及有关公式得出结论.
【解答】解:∵椭圆的方程为,
∴a=5,b=3,
∴c==4.
∴椭圆的长轴长为2a=10,短轴长为2b=6,离心率e=,
焦点坐标为(±4,0),顶点坐标为(±5,0),(0,±3).
【点评】本题考查了椭圆的简单性质,属于基础题.
19. 在如图所示的四棱锥中,已知 PA⊥平面ABCD, ,,,
为的中点.
(1)求证:MC∥平面PAD;
(2)求二面角的平面角的正切值
.
参考答案:
解:(Ⅰ )如图,取PA的中点E,连接 ME,DE,∵M为PB的中点,
∴EM//AB,且EM= AB. 又∵,且,
∴EM//DC,且EM=DC
∴四边形DCME为平行四边形,
则MC∥DE,又平面PAD, 平面PAD
所以MC∥平面PAD --------------------------5分
(Ⅱ)取AB的中点H,连接CH,则由题意得
又PA⊥平面ABCD,所以,则平面PAB.
所以,过H作于G,连接CG,则平面CGH,所以
则为二面角的平面角.
则,
故二面角的平面角的正切值为----------------------------------------12分
略
20. 已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2﹣5x+6=0的根.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和.
参考答案:
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【专题】综合题;等差数列与等比数列.
【分析】(1)解出方程的根,根据数列是递增的求出a2,a4的值,从而解出通项;
(2)将第一问中求得的通项代入,用错位相减法求和.
【解答】解:(1)方程x2﹣5x+6=0的根为2,3.又{an}是递增的等差数列,
故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,
故an=2+(n﹣2)×=n+1,
(2)设数列{}的前n项和为Sn,
Sn=,①
Sn=,②
①﹣②得Sn==,
解得Sn==2﹣.
【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和,是近几年高考对数列解答题考查的主要方式.
21. 如图,底面为正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,D为线段B1C1中点.
(Ⅰ) 证明:AC1∥平面A1BD;
(Ⅱ) 在棱CC1上是否存在一点E,使得平面A1BE⊥平面A1ABB1?若存在,请找出点E所在位置,并给出证明;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.
【分析】(Ⅰ)连接AB1,交A1B于点F,连接DF,由DF∥AC1,能证明A
展开阅读全文
温馨提示:
金锄头文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
相关搜索