2022年浙江省舟山市嵊泗中学高二数学理模拟试卷含解析

2022年浙江省舟山市嵊泗中学高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是(     ) A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】简单线性规划． 【专题】转化思想． 【分析】表示圆上动点与原点O连线的斜率，画出满足等式（x﹣2）2+y2=3的图形，由数形结合，我们易求出的最大值． 【解答】解：满足等式（x﹣2）2+y2=3的图形如图所示： 表示圆上动点与原点O连线的斜率， 由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值， 连接BC，在Rt△OBC中，BC=，OC=2 易得∠BOC=60° 此时= 故选D 【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，分析出表示圆上动点与原点O连线的斜率，是解答本题的关键． 2. 设函数则不等式f（x）＞f（1）的解集是(     ) A．（﹣3，1）∪（3，+∞） B．（﹣3，1）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，3） 参考答案： A 【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】先求f（1），依据x的范围分类讨论，求出不等式的解集． 【解答】解：f（1）=3，当不等式f（x）＞f（1）即：f（x）＞3 如果x＜0  则 x+6＞3可得 x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0． 如果 x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或  0≤x＜1 综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞） 故选A． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题． 3. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（   ） A. 10               B. 20             C. 30                D. 120 参考答案： B 4. “”是数列“为递增数列”的（    ）     A．充分不必要条件             　  B．必要不充分条件       C．充要条件                     D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 5. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值． 【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P， 连接AQ、BQ 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|， 在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b． 由余弦定理得|AB|2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab， 配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab， 又∵ab≤（ ） 2， ∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（ ） 2=（a+b）2 得到|AB|≥（a+b）． 所以≤=，即的最大值为． 故选C． 【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题． 6. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　） A．方程x2+ax+b=0没有实根 B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根 参考答案： A 【分析】直接利用命题的否定写出假设即可． 【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定， ∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根． 故选：A． 7. 不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|＜x＜2}，则关于x的不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞） B．（﹣，1） C．（﹣∞,﹣3）∪（，+∞） D．（﹣3，） 参考答案： D 【考点】74：一元二次不等式的解法． 【分析】由不等式的解集与方程的关系，可知，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值，再代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集． 【解答】解：由已知条件可知a＜0，且，2是方程ax2+5x﹣2=0的两个根， 由根与系数的关系得：×2=﹣解得a=﹣2 所以ax2﹣5x+a2﹣1＞0化为2x2+5x﹣3＜0， 化为：（2x﹣1）（x+3）＜0 解得﹣3＜x＜， 所以不等式解集为：（﹣3，） 故选：D． 8. 椭圆上一点P到左焦点的距离为8，则它到右准线的距离为 A．6          B．8            C．10           D．15 参考答案： D 9. 在等比数列中，已知，，那么前项和等于 A．           B．             C．             D． 参考答案： D 10. 函数f（x）在定义域（0，+∞）内恒满足：①f（x）＞0；②2f（x）＜xf′（x）＜3f（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，则（　　） A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 参考答案： D 【考点】6A：函数的单调性与导数的关系． 【分析】分别构造函数g（x）=，x∈（0，+∞），h（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性即可得出． 【解答】解：令g（x）=，x∈（0，+∞）， g′（x）=， ∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立， ∴f（x）＞0， 0＜， ∴g′（x）＞0， ∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增， ∴g（1）＜g（2），即4f（1）＜f（2），＜； 令h（x）=，x∈（0，+∞）， h′（x）=， ∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立， ∴h′（x）=＜0， ∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减， ∴h（1）＞h（2），即f（1）＞，＞， 故选：D． 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，设是抛物线上一点，且在第一象限. 过点作抛物线的切线，交轴于点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，此时就称确定了.依此类推，可由确定，.记，。 给出下列三个结论： ①； ②数列是公比为的等比数列； ③当时，. 其中所有正确结论的序号为___________. 参考答案： ①、③ 12. 给出下列四个命题 ①平行于同一平面的两条直线平行； ②垂直于同一平面的两条直线平行； ③如果一条直线和一个平面平行，那么它和这个平面内的任何直线都平行； ④如果一条直线和一个平面垂直，那么它和这个平面内的任何直线都垂直． 其中正确命题的序号是         （写出所有正确命题的序号）． 参考答案： ②④ 13. 已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，点A在x轴上的射影为A′，点B在z轴上的射影为B′，则线段A′B′的长为____   ___． 参考答案： 3 14. 若实数a，b满足a+b=2，则2a+2b的最小值是　   　． 参考答案： 4 【考点】基本不等式． 【分析】直接利用a+b即可求出最小值． 【解答】解：∵a+b=2 ∴2a+2b≥2=2=4 当且仅当a=b=1时等式成立． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用以及指数幂运算知识点，属基础题． 15. 直线: 绕着它与x轴的交点逆时针旋转所得直线的方程为        ． 参考答案： 16. 将石子摆成如下图的梯形形状．称数列为“梯形数”．根据图形的构成, 判断数列的第项______________;   参考答案： 略 17. 已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为_   ▲   ． 参考答案： x－2y－1＝0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 求椭圆+=1的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标和顶点坐标． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据椭圆的性质及有关公式得出结论． 【解答】解：∵椭圆的方程为， ∴a=5，b=3， ∴c==4． ∴椭圆的长轴长为2a=10，短轴长为2b=6，离心率e=， 焦点坐标为（±4，0），顶点坐标为（±5，0），（0，±3）． 【点评】本题考查了椭圆的简单性质，属于基础题． 19. 在如图所示的四棱锥中，已知 PA⊥平面ABCD， ，，， 为的中点． （1）求证：MC∥平面PAD； （2）求二面角的平面角的正切值 ． 参考答案： 解：（Ⅰ ）如图，取PA的中点E，连接        ME，DE，∵M为PB的中点， ∴EM//AB,且EM= AB.  又∵，且， ∴EM//DC，且EM=DC ∴四边形DCME为平行四边形, 则MC∥DE，又平面PAD, 平面PAD 所以MC∥平面PAD --------------------------5分 (Ⅱ)取AB的中点H，连接CH，则由题意得 又PA⊥平面ABCD，所以，则平面PAB. 所以,过H作于G,连接CG，则平面CGH,所以 则为二面角的平面角. 则， 故二面角的平面角的正切值为----------------------------------------12分   略 20. 已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{}的前n项和． 参考答案： 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【专题】综合题；等差数列与等比数列． 【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项； （2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和． 【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列， 故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=， 故an=2+（n﹣2）×=n+1， （2）设数列{}的前n项和为Sn， Sn=，① Sn=，② ①﹣②得Sn==， 解得Sn==2﹣． 【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式． 21. 如图，底面为正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，D为线段B1C1中点． （Ⅰ） 证明：AC1∥平面A1BD； （Ⅱ） 在棱CC1上是否存在一点E，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1？若存在，请找出点E所在位置，并给出证明；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点F，连接DF，由DF∥AC1，能证明A