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山西省太原市小店区西温庄乡第二中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)(2015?枣庄校级模拟)已知f(x)=,则f()+f(﹣)的值为( )
A. B. ﹣ C. ﹣1 D. 1
参考答案:
C
【考点】: 分段函数的应用.
【专题】: 函数的性质及应用.
【分析】: 直接利用分段函数的解析式,求解函数值即可.
解:f(x)=,
则f()+f(﹣)=f(﹣1)+cos(﹣)=f()+cos=f(﹣1)﹣cos=f(﹣)﹣=cos(﹣)﹣==﹣1.
故选:C.
【点评】: 本题考查分段函数的解析式的应用,函数值的求法,考查计算能力.
2. 已知二次函数y= f(x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为
A. B. C. D.
参考答案:
3. 已知等比数列的前项和,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 如图,双曲线的中心在坐标原点, 分别是双曲线虚轴的上、下顶点,是双曲线的左顶点,为双曲线的左焦点,直线与相交于点.若双曲线的离心率为2,则的余弦值是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
略
5. 将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是( ).
A. B.
C. D
参考答案:
C
解:.
故选.
6. 如右图所示,是圆上的三点,的延长线与线段交于圆内一点,若,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
7. 等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=﹣18,S13=﹣52,等比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,则b6的值( )
A.
B.
2
C.
或
D.
2或﹣2
参考答案:
C
考点:
等比数列的前n项和;等差数列的前n项和.
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
由等差数列的前n项和公式和性质可得S9=9a5=﹣18,S13=13a7=﹣52,故可求得a5、a7,即求出b5、b7,由等比数列的通项公式即可求出q,进而求出b6.
解答:
解:∵S9=(a1+a9)=9a5=﹣18,S13=(a1+a13)=13a7=﹣52,
∴a5=﹣2,a7=﹣4,
又∵b5=a5,b7=a7,
∴b5=﹣2,b7=﹣4,
∴q2=2,即q=±,
则b6=b5?q=﹣2×(±)=2或﹣2.
故选C
点评:
本题考查了等差数列的前n项和公式、性质和等比数列的通项公式,熟练记忆及灵活运用公式是正确解题的关键.
8. 已知是定义在上的奇函数,当时, ,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 如图1,正四棱锥 (底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心) 的底面边长为6cm,侧棱长为5cm,则它的正视图的面积等于( )
A. B. C.12 D.24
参考答案:
A
略
10. (5分)(2015?杨浦区二模)设反比例函数f(x)=与二次函数g(x)=ax2+bx的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2,则=( )
A. 2或 B. ﹣2或 C. 2或 D. ﹣2或
参考答案:
B
【考点】: 二次函数的性质.
【专题】: 函数的性质及应用.
【分析】: 根据已知条件可以画出f(x),g(x)的图象,由图象可得到方程,即方程ax3+bx2﹣1=0有两个二重根,和一个一重根,所以可设二重根为c,另一根为d.所以上面方程又可表示成:a(x﹣c)2(x﹣d)=ax3﹣(ad+2ac)x2+(2acd+ac2)x﹣ac2d=0,所以便得到2acd+ac2=0,所以c=﹣2d.所以再根据图象可得.
解:根据题意可画出f(x),g(x)可能的图象:
A,B两点的横坐标便是方程即ax3+bx2﹣1=0的解;
由上面图象知道A,B两点中有一个点是f(x),g(x)图象的切点,反应在方程上是方程的二重根;
所以可设二重根为c,另一根为d,则上面方程可变成:
a(x﹣c)2(x﹣d)=0;
将方程展开:ax3﹣(ad+2ac)x2+(2acd+ac2)x﹣ac2d=0;
∴2acd+ac2=0;
由图象知a,c≠0;
∴由上面式子得:c=﹣2d;
;
∴;
∴由图象知x1=c,x2=d,或x1=d,x2=c;
∴.
故选:B.
【点评】: 考查曲线的公共点和两曲线方程形成方程组的解的关系,以及方程二重根的概念,知道了方程的根会把方程表示成因式乘积的形式,两多项式相等时对应系数相等.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如题图所示,过外一点作一条直线与交
于两点,切于,弦过的中点。已
知,则 。
参考答案:
略
12. 设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值范围为_____________
参考答案:
13. 设、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任一点,点的坐标为,则的最大值为 .
参考答案:
15
14. 已知双曲线的一条渐近线为,则双曲线的离心率为________.
参考答案:
略
15. (04年全国卷III)用平面截半径为R的球,如果球心到截面的距离为,那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为__________
参考答案:
答案:3:16
16. 从集合{1,2,3,…,10}中选出4个数组成的子集,使得这4个数中的任何两个数的和不等于11,则这样的子集个数是 .
参考答案:
80
【考点】子集与真子集.
【分析】为了满足和不等于11,先将和等于11放在一组,后在每一组中各抽取一个,利用乘法原理即可求得.
【解答】解:将和等于11放在一组:
1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.
从每一小组中取一个,
共有????=5×2×2×2×2=80,
故答案为:80.
17. 已知椭圆C1: +=1(a>0,b>0),双曲线C2:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程x±y=0,则C1与C2的离心率之积为 .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质.
【分析】利用双曲线的渐近线推出a、b关系式,然后求解椭圆以及双曲线的离心率,即可得到结果.
【解答】解:双曲线C2:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程x±y=0,
可得:,即,∴双曲线的离心率为:e=,
椭圆中,∴,可得椭圆的离心率为:e=,
则C1与C2的离心率之积: =.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试,在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次,若考核为不优秀,则授予0分加分资格;若考核优秀,授予20分加分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、,他们考核所得的等次相互独立.
(1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率;
(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).
参考答案:
考点:离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式.
专题:概率与统计.
分析:(1)先求都没有得优秀的概率,再利用对立事件求出至少有一名考核为优秀的概率;(2)先求出随机变量ξ的值为0,20,40,60,根据概率公式求出P(ξ=0),
P(ξ=20),P(ξ=40),P(ξ=60),的概率数值,列出分布列,求出数学期望.
解答: 解:∵甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、,
∴甲、乙、丙考核为不优秀的概率分别为、、,
(1)根据独立事件同时发生的概率求解方法得出:
在这次考核中,甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率:
1﹣=
(2)∵随机变量ξ的值为0,20,40,60
∴P(ξ=0)=,
P(ξ=20)=×=,
P(ξ=40)=××××+×===,
P(ξ=60)=××==,
分布列为:
ξ
0
20
40
60
P
数学期望为:==
点评:本题考查了离散型的概率分布,数学期望,分布列,对立事件,相互独立事件发生的概率,属于中档题.
19. 某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况(单位:万元),将所得数据绘制成频率分布直方图(如图),年上缴税收范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].
(I)求直方图中x的值;
(Ⅱ)如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠,若共抽取企业1200个,试估计有多少企业可以申请政策优惠;
(Ⅲ)从企业中任选4个,这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)
参考答案:
考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.
专题: 概率与统计.
分析: (I)由直方图可得:20×(x+0.025+0.0065+0.003×2)=1,解得x即可.
(II)企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12,即可得出1200个企业中有1200×0.12个企业可以申请政策优惠.
(III)X的可能取值为0,1,2,3,4.由(I)可得:某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=.因此X~B(4,),可得分布列为P(X=k)=,(k=0,1,2,3,4),再利用E(X)=4×即可得出.
解答: 解:(I)由直方图可得:20×(x+0.025+0.0065+0.003×2)=1,
解得x=0.0125.
(II)企业缴税收不少于60万元的频率=0.003×2×20=0.12,
∴1200×0.12=144.
∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠.
(III)X的可能取值为0,1,2,3,4.
由(I)可得:某个企业缴税少于20万元的概率=0.0125×20=0.25=.
因此X~B(4,),
∴分布列为P(X=k)=,(k=0,1,2,3,4),
∴E(X)=4×=1.
点评: 本题考查了频率分布直方图的有关性质、随机变量服从二项分布的分布列与数学期望计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
20. 设函数f(x)= ex-ax-2
(1)求f(x)的单调区间
(2)若a =1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f′(x)+x+1>0,求k的最大值
参考答案:
(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=ex-a.
若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.
若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,
所以,f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.
(2)由于a=1,所以(x-k)f′(x)+x+1=
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