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河南省安阳市县第一职业高级中学2022-2023学年高三数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,圆柱的轴截面为正方形ABCD,E为弧的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
取的中点,连接,,,
设,则,,所以,
连接,,
因为,所以异面直线与所成角即为,
在中,,故选D.
2. 若的展开式中常数项为14,则实数的值为( )
A. B.±1 C. D.
参考答案:
C
3. 若复数()为纯虚数,则等于( )
A.0 B.1 C.-1 D.0或1
参考答案:
B
4. 已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
参考答案:
B
【考点】二倍角的余弦;直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值,由已知直线的斜率得到tanθ的值,然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方,然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后,把cosθ的平方代入即可求出值.
【解答】解:根据题意可知:tanθ=2,
所以cos2θ===,
则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=﹣.
故选:B.
5. 已知全集,则
A、{3} B、{4,5} C、{1,2,4,5} D、{1,2,3,4}
参考答案:
C
6. 已知点P(x,y)满足为坐标原点,则使的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】CF:几何概型.
【分析】作出图形,求出相应区域的面积,即可求出概率.
【解答】解:如图所示,点P(x,y)满足的区域面积为=,使成立的区域如图中阴影部分,面积为﹣=1,
∴所求概率为=,
故选:D.
7. 设集合,,全集,若,则有( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
8. 设、是非空集合,定义,己知,
,则等于 ( )
、 、 、 、
参考答案:
A
9. 在复平面内,复数对应的点位于
(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限
参考答案:
B
,,对应的点的坐标为,所以在第二象限,选B.
10. 已知命题P是:“对任意的,”,那么是 ( )
A.不存在, B.存在,
C.存在, D.对任意的,
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量,若且方向相反,则 .
参考答案:
-5
12. 已知等差数列的前项和为,若,则 ____.
参考答案:
7
略
13. 设P为有公共焦点F1,F2的椭圆C1与双曲线C2的一个交点,且PF1⊥PF2,椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2,若3e1=e2,则e1= .
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】根据椭圆的几何性质可得, =b12tanθ,根据双曲线的几何性质可得, =以及离心率以及a,b,c的关系即可求出答案.
【解答】解:设∠F1AF2=2θ
根据椭圆的几何性质可得, =b12tanθ=b12,
∵e1=,
∴a1=,
∴b12=a12﹣c2=c2(﹣1)
根据双曲线的几何性质可得, ==b22,
∵e2=
a2=
∴b22=c2﹣a22=c2(1﹣),
∴c2(﹣1)=c2(1﹣),
即+=2,
∵3e1=e2,
∴e1=
故答案为:
【点评】本题考查了圆锥曲线的几何性质,以及椭圆和双曲线的简单性质,属于中档题.
14. 若实数x,y满足不等式组,则的取值范围是_____________.
参考答案:
[-5,-2]
由不等式组画成的平面区域如下:
其中,可以看作是过两点,直线的斜率,当经过点时,取最小值,当经过点时,取最大值.
故答案为.
15. 从一堆苹果中任取了20只,并得到它们的质量(单位:克)数据分布表如下:
分组
频数
1
2
3
10
1
则这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数约占苹果总数的 %.
参考答案:
答案:70
解析:由表中可知这堆苹果中,质量不小于120克的苹果数为:
故约占苹果总数的.
16. 数列是公差不为0的等差数列,且,则
参考答案:
在等差数列中,由得,即,所以。
17. 设等差数列的前n项和为,若,则数列的通项公式 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=x2﹣x﹣2lnx.
①求函数f(x)在点(1,﹣)处的切线方程.
②求函数f(x)的极值.
参考答案:
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.
专题: 导数的综合应用.
分析: ①求函数的导数即可求出求函数f(x)在点(1,﹣)处的切线方程.
②求函数的导数,根据函数f(x)的极值和导数之间的关系即可得到结论..
解答: 解:①,
∴k=f'(1)=﹣2,
∴所求切线方程为.
②函数的导数且x>0,
∴0<x<2时,f'(x)<0,
当x>2时,f'(x)>0,
∴函数f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞),单调递增.
故当x=2时,函数取得极小值f(2)=﹣2ln2.
点评: 本题主要考查导数的几何意义的应用,以及函数极值和导数之间的关系.考查学生的综合应用能力.
19. 某商场举行优惠促销活动,顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种,
方案一:每满200元减50元;
方案二:每满200元可抽奖一次.具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱,装有2个红球、2个白球的乙箱,以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球,所得结果和享受的优惠如下表:(注:所有小球仅颜色有区别)
红球个数
3
2
1
0
实际付款
半价
7折
8折
原价
(1)若两个顾客都选择方案二,各抽奖一次,求至少一个人获得半价优惠的概率;
(2)若某顾客购物金额为320元,用所学概率知识比较哪一种方案更划算?
参考答案:
(1)(2)方案二更为划算
【分析】
(1)设事件为“顾客获得半价”,可以求出,然后求出两位顾客都没有获得半价优惠的概率,然后利用对立事件的概率公式,求出两位顾客至少一人获得半价的概率;
(2)先计算出方案一,顾客付款金额,再求出方案二付款金额元的可能取值,求出,最后进行比较得出结论.
【详解】(1)设事件为“顾客获得半价”,则,
所以两位顾客至少一人获得半价的概率为:.
(2)若选择方案一,则付款金额为.
若选择方案二,记付款金额为元,则可取的值为.
,
,
,
,
∴.
所以方案二更为划算.
【点睛】本题考查了对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、期望.考查了应用数学知识解决现实生活中实际问题的能力.
20. 已知曲线C: ,直线: (t为参数, ).
(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线C交于A、B两点(A在第一象限),当时,求的值.
参考答案:
(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
试题分析:
(Ⅰ)利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转化公式可得曲线C的直角坐标方程为;
(Ⅱ)【方法一】:联立直线的参数方程与二次方程,结合直线参数的几何意义计算可得.
【方法二】:设,则,利用结合三角函数的性质计算可得.
试题解析:
(Ⅰ)由,得,所以曲线C的直角坐标方程为;
(Ⅱ)【方法一】:将直线l的参数方程代入,得,设两点对应的参数分别为,由韦达定理及得,故.
【方法二】:设,则, , ,
,∴
21. 已知c>0,且c≠1,设p:函数y=cx在R上单调递减;q:函数f(x)=x2-2cx+1在上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数c的取值范围.
参考答案:
略
22. (本小题满分12分)已知函数,.
(Ⅰ)设是函数图象的一条对称轴,求的值;
(Ⅱ)求函数的值域.
参考答案:
(Ⅰ)由题知,因为是函数图象的一条对称轴,
所以,即, ……………………3分
故,当为偶数时,,
当为奇数时,; ……………………6分
(Ⅱ)由题知
,……………10分
所以的值域为. ……………………12分
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