河北省廊坊市三河埝头中学高二数学理期末试卷含解析

河北省廊坊市三河埝头中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设点P对应的复数为－3+3i，以原点为极点，实轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ） A. B. C. D. 参考答案： A 分析：先求出点P的直角坐标，P到原点的距离r，根据点P的位置和极角的定义求出极角，从而得到点P的极坐标． 详解：点P对应的复数为，则点P的直角坐标为，点P到原点的距离， 且点P第二象限的平分线上，故极角等于，故点P的极坐标为， 故选：A． 点睛：本题考查把直角坐标化为极坐标的方法，复数与复平面内对应点间的关系，求点P的极角是解题的难点． 2. 用一个平面去截正方体，所得截面不可能是  （  ） A.平面六边形      B.菱形         C.梯形         D.直角三角形 参考答案： D 3. 若为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是(     ) A.    B.     C. D. 参考答案： A 4. 已知，，则的最小值为（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 5. 过点A（2，1），且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程为（　　） A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣5=0 参考答案： C 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】设要求的直线方程为：2x﹣y+m=0，把点A（2，1）代入解得m即可得出． 【解答】解：设要求的直线方程为：2x﹣y+m=0， 把点A（2，1）代入可得：4﹣1+m=0，解得m=﹣3． 可得要求的直线方程为：2x﹣y﹣3=0， 故选：C． 【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6. 过点的直线交椭圆于，两点,且的中点坐标为，则（ ） A． 1        B．       C. 3        D．4 参考答案： C 7. 平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|+|PB|是定值”， 命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件 C．充要条件                       D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 8. 函数的图象如右图所示，下列说法正确的是（    ） ①函数满足 ②函数满足 ③函数满足 ④函数满足 A.①③      B.②④      C.①②      D.③④ 参考答案： C 9. 定义一种新运算：，已知函数， 若函数恰有两个零点，则的取值范围是 A.         B.           C.         D. 参考答案： C 略 10. 已知a，b为非零实数，若a＞b且ab＞0，则下列不等式成立的是（　　） A．a2＞b2 B．＞ C．ab2＞a2b D．＜ 参考答案： D 考点： 不等式的基本性质． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： A．取a=1，b=﹣2，即可判断出； B．取a=1，b=﹣2，即可判断出； C．取a=2，b=1，即可判断出； D．由于a，b为非零实数，a＞b，可得，化简即可得出． 解答： 解：A．取a=1，b=﹣2，不成立； B．取a=1，b=﹣2，不成立； C．取a=2，b=1，不成立； D．∵a，b为非零实数，a＞b，∴，化为， 故选：D． 点评： 本题考查了不等式的基本性质，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系中，动点P(x，y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W，给出下列四个结论： ①曲线W关于原点对称； ②曲线W关于直线y＝x对称； ③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于； ④曲线W上的点到原点距离的最小值为 其中，所有正确结论的序号是________； 参考答案： ②③④ 12. 函数f（x）=2x2﹣lnx的单调递减区间是　     　． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出原函数的导函数，由导函数小于0求出自变量x在定义域内的取值范围，则原函数的单调减区间可求． 【解答】解：由f（x）=2x2﹣lnx，得：f′（x）=（2x2﹣lnx）′=． 因为函数f（x）=2x2﹣lnx的定义域为（0，+∞）， 由f′（x）＜0，得：，即（2x+1）（2x﹣1）＜0， 解得：0＜x＜． 所以函数f（x）=2x2﹣lnx的单调递减区间是． 13. 已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为  ▲   ． 参考答案： 略 14. 已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为60°，这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为45°，则斜线与平面所成的角为　　． 参考答案： 45° 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】由已知中直线a是平面α的斜线，b?α，a与b成60°的角，且b与a在α内的射影成45°的角，利用“三余弦定理”，即求出a与平面α所成的角的余弦值，进而得到答案． 【解答】解：题目转化为：直线a是平面α的斜线，b?α，a与b成60°的角，且b与a在α内的射影成45°的角，求斜线与平面所成的角． 设斜线与平面α所成的角为θ， 根据三余弦定理可得： cos60°=cos45°×cosθ 即=×cosθ 则cosθ= 则θ=45° 故答案为：45°． 15. 已知函数f(x)＝xex，则函数f(x)的图像在点(0，f(0))处的切线方程为_______； 参考答案： 略 16. 函数，若＜2恒成立的充分条件是，则实数的取值范围是　　　　　　． 参考答案： 1＜＜4 17. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24，则a9=　 　． 参考答案： 15 【考点】等差数列的前n项和． 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】利用等差数列的前n项和公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出a9． 【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3=3，S6=24， ∴， 解得a1=﹣1，d=2， ∴a9=﹣1+8×2=15． 故答案为：15． 【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 给定数字0、1、2、3、5、9,每个数字最多用一次(14分) （1）可能组成多少个四位数？（2）可能组成多少个四位奇数？ （3）可能组成多少个四位偶数？（4）可能组成多少个自然数？ 参考答案： (1)300  (2)192   (3) 108  (4) 1631 略 19. 已知椭圆的离心率为，直线与圆相切． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆的交点为，求弦长．       参考答案： 解：（1）又由直线与圆相切得，…2分 由得，………………………………… 4分 ∴椭圆方程为…………………………………………………6分 （2）…………8分 ，设交点坐标分别为………9分 则…………………………………………………11分 从而 所以弦长…………………………………………………………14分.   略 20. （本小题满分12分） 大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关.为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表所示：   喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 22   ▲  30 女   ▲  12 ▲ 总计   ▲    ▲  50 表1 并邀请这30名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表所示： 成功完成时间（分钟） [0，10) [10，20) [20，30) [30，40] 人数 10 10 5 5 表2 （1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关？ （2）根据表2中的数据，求这30名男生成功完成盲拧的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （3）现从表2中成功完成时间在[0，10)内的10名男生中任意抽取3人对他们的盲拧情况进行视频记录，记成功完成时间在[0，10)内的甲、乙、丙3人中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X). 附参考公式及数据：，其中. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828     参考答案： 解：（1）依题意，补充完整的表1如下：   喜欢盲拧 不喜欢盲拧 总计 男 22 8 30 女 8 12 20 总计 30 20 50 ………………（2分） 由表中数据计算得的观测值为 所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关。…（4分） （2）依题意，所求平均时间为（分钟） …（6分） （3）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，故            ………………（10分） 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 故         ………………（12分）   21. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，动点P在椭圆上运动，|PF1|?|PF2|的最大值为25，且点P到F1的距离的最小值为1． （1）求椭圆T的方程； （2）直线l与椭圆T有且仅有一个交点A，且l切圆M：x2+y2=R2（其中（3＜R＜5））于点B，求A、B两点间的距离|AB|的最大值； （3）当过点C（10，1）的动直线与椭圆T相交于两不同点G、H时，在线段GH上取一点D，满足，求证：点D在定直线上． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由于，则|PF1|?|PF2|的最大值为a2，a2=25，a﹣c=1，c=4，即可求得b的值，求得椭圆T的方程； （2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由直线与圆相切代入即可求得A，B坐标，由两点之间的距离公式，利用韦达定理即可求得A、B两点间的距离|AB|的最大值； （3）设G、H、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x，y），由题设知，于是且．从而．又G、H在椭圆上，则，化简整理得点D在定直线18x+5y﹣45=0上． 【解答】解：（1）由于， 所以|PF1|?|PF2|的最大值为a2， 当|PF1|=|PF2|时取等号，由已知可得a2=25，即a=5，又a﹣c=1，c=4， 所以b2=a2﹣c2=9， 故椭圆的方程为． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，设直线AB的方程为y=kx+m． 因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有，消y得（25k2+9）x2+50kmx+25（m2﹣9）=0． 由于直线与椭圆相切，故，△=（50km）2﹣4（25k2+9）×25（m2﹣9）=0， 从而可得m2=9+25k2①，且②． 由，消y得（