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河南省周口市高级中学校2022年高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设全集,则右图中阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
,
,图中阴影部分为集合,所以,所以,选B.
2.
某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与19秒之间,将测试结果按如下方式分成六组:第一组,成绩大于等于13秒且小于14秒;第二组,成绩大于等于14秒且小于15秒;……;第六组,成绩大于等于18秒且小于19秒。右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y,则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为( )
A.0.9,35 B.0.9,45
C.0.1,35 D.0.1,45
参考答案:
答案:A
3. 如图是某几何体的三视图,则过该几何体顶点的所有截面中,最大截面的面积是( )
A. 2 B. C. D. 1
参考答案:
A
【分析】
首先确定几何体的空间结构特征,然后结合面积公式求解面积的最大值即可.
【详解】由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥,且圆锥的底面半径为,高,
故俯视图是一个腰长为2,顶角为120°的等腰三角形,
易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形,且腰长为2,顶角的范围为,
设顶角为,则截面的面积:,
当时,面积取得最大值.
故选:A.
【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法,三角形面积公式及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4. 若函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为,则为( )
A. B.1 C.2 D.4
参考答案:
B
略
5. 对于函数,下列命题正确的是( )
A.函数f(x)的图象恒过点(1,1) B.∈R,使得
C.函数f(x)在R上单调递增 D.函数f(x)在R上单调递减
参考答案:
A
6. 已知全集为R,集合A={x|2x≥1},B={x|x2﹣3x+2≤0},则A∩?RB=( )
A.{x|x≤0} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤1或x>2} D.{x|0≤x<1或x≥2}
参考答案:
C
考点: 交、并、补集的混合运算.
专题: 集合.
分析: 先求出集合AB,再求出B的补集,根据交集的定义即可求出.
解答: 解:∵全集为R,集合A={x|2x≥1}={x|x≥0},B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2},
∴?RB={x|x<1或x>2},
∴A∩?RB={x|0≤x≤1或x>2}
故选:C
点评: 本题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.
7. 已知曲线C的参数方程为,且点在曲线C上,则的取值范围是
A B C D
参考答案:
D
8. 若函数在上既是奇函数又是增函数,则的图象是( )
A B C D
参考答案:
C
9. 设i是虚数单位,若复数是纯虚数,则m的值为( )
A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3
参考答案:
A
【考点】复数的基本概念.
【专题】数系的扩充和复数.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部等于0求得m的值.
【解答】解:∵为纯虚数,
∴m+3=0,即m=﹣3.
故选:A.
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
10. 执行如图所示的程序框图,输出的M的值为( )
A.17 B.53 C.161 D.485
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知实数满足约束条件,则的取值范围是
参考答案:
[-1,1]
12. (坐标系与参数方程选做题)已知直线的参数方程为(为参数),圆的极坐标方程为,则直线与圆的位置关系为___________.
参考答案:
相交
13. 函数的图象如图所示,它在R上单调递减,现有如下结论:
⑴;⑵;⑶;⑷。
其中正确的命题序号为______________.(写出所有正确命题序号)
参考答案:
⑵,⑶,⑷
14. 已知
参考答案:
.
因为则。
15. 若,则
参考答案:
16. 在等比数列中,存在正整数则= 。
参考答案:
1536
17. 已知中,AB=5,BC=7,∠BAC=,则的面积为______________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=sin2wx﹣sin2(wx﹣)(x∈R,w为常数且<w<1),函数f(x)的图象关于直线x=π对称.
(I)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,f(A)=.求△ABC面积的最大值.
参考答案:
【考点】正弦函数的图象;三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(1)化简f(x),根据对称轴求出ω,得出f(x)的解析式,利用周期公式计算周期;
(2)由f(A)=解出A,利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值,代入面积公式得出面积的最大值.
【解答】解:(I)f(x)=cos2ωx﹣[﹣cos(2ωx﹣)]= cos(2ωx﹣)﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin(2ωx﹣).
令2ωx﹣=+kπ,解得x=.∴f(x)的对称轴为x=,
令=π解得ω=.∵<w<1,∴当k=1时,ω=.
∴f(x)=sin(x﹣).
∴f(x)的最小正周期T=.
(2)∵f()=sin(A﹣)=,∴sin(A﹣)=.∴A=.
由余弦定理得cosA===.∴b2+c2=bc+1≥2bc,∴bc≤1.
∴S△ABC==≤.
∴△ABC面积的最大值是.
19. 已知函数f(x)=x3-(2m+1)x2+3m(m+2)x+1,其中m为实数.
(Ⅰ)当m=-1时,求函数f(x)在[-4,4]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间.
参考答案:
(Ⅱ),……………………6分
当即时,,所以单调递增;………………7分
当即时,由可得或;
所以此时的增区间为,………………………………9分
当即时,由可得或;
所以此时的增区间为,………………………………11分
综上所述:当时,的增区间为;
当时,的增区间为,;
当时,的增区间为,.…………………………12分
20. (16分)
已知直线,⊙ 上的任意一点P到直线的距离为。
当取得最大时对应P的坐标,设。
(1) 求证:当,恒成立;
(2) 讨论关于的方程:根的个数。
参考答案:
解析:(1)由题意得, ……2分
∴, ∴ ……3分
∴,∴在是
单调增函数, ……5分
∴对于恒成立。 ……6分
(2)方程; ∴ ……7分
∵,∴方程为 ……9分
令,,
∵,当时,,∴在上为增函数;
时,, ∴在上为减函数, ……12分
当时, ……13分
,
∴函数、在同一坐标系的大致图象如图所示,
∴①当,即时,方程无解。
②当,即时,方程有一个根。
③当,即时,方程有两个根。 ……16分
21. 已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点,椭圆的右顶点为,点是椭圆上位于
轴上方的动点,直线,与直线分别
交于两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ)(ⅰ) 设直线,的斜率分别为,求证为定值;
(ⅱ)求线段的长度的最小值.
参考答案:
解:(Ⅰ).椭圆 的方程为. ………3分
(Ⅱ)(ⅰ)设点的坐标为,
∴ ………5分
∵点在椭圆上,∴,∴
∴ ………7分
(ⅱ) 设直线的方程为,
则 且 ………9分
∵
∴ 直线的方程为 ………10分
∴, ………11分
故, ………12分
∴, …………13分
当且仅当,即时等号成立,
∴时,线段的长度取得最小值为. …………14分
略
22. (本小题共13分)
如图,矩形ABCD中,平面ABE,BE=BC,F为CE上的点,且平面ACE。
(1)求证:平面BCE;
(2)求证:AE//平面BFD。
参考答案:
(Ⅰ)证明:平面,∥
平面,则 ……………………………………………2分
又平面,则
平面 ……………………………………………5分
(Ⅱ)证明:依题意可知:是中点 ……………………………………6分
平面,则,
而是中点 ……………………………………9分
在△中,∥
又∥ ……………………………………13分
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