广东省汕头市莲东中学高二数学理期末试卷含解析

广东省汕头市莲东中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在各项均为正数的等比数列中，，则 （    ） A.4 B.6 C.8 D.8－ 参考答案： C 2. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（ ▲ ）   A.(1,2)      B.(2,3)      C.(－∞,1)     D.(3,+∞) 参考答案： B 方程，化为表示焦点在y轴上的椭圆，可得，解得，实数m的取值范围为，故选B. 3. 已知单调函数的定义域为，当时，，且对任意的实数,等式成立。若数列中，，=（），则的值为（       ） 4020                       参考答案： D 略 4. 设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 A.1                     B.2                         C.±2                          D.4 参考答案： B 解：设等差数列的前三项为a，a－d，a+d，由题设知，，得，得， 又数列{an}是单调递增的等差数列，∴d>0，故a=4，d=2，则它的首项是2. 5. 已知等比数列中有，数列是等差数列，且，则 A.2             B.4       　  C.8       　  D. 16 参考答案： C 略 6. 曲线y＝x3－2在点(1，－)处切线的倾斜角为(　 　) A．30°          B．45°         C．135°          D．150° 参考答案： B 7. 已知双曲线的中心在原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且中点为，则的方程为                  （    ） A. B. C.   D. 参考答案： B 略 8. 命题：，，则 A．：，       B．：， C．：，      D．：， 参考答案： A 略 9. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（    ）． A．17π B．18π C．20π D．28π 参考答案： A 三视图复原该几何体是一个球去掉自身的后的几何体， ∴，， ∴表面积． 故选． 10. 命题“”的否定是（     ） A、      B、 C、      D、 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 有一个奇数组成的数阵排列如下： 则第30行从左到右第3个数是           参考答案： 1051 12. 函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为______________. 参考答案： 1 ∵ 函数的图象恒过定点A ∴ ∵点在直线上 ∴ ∵， ∴，当且仅当即时，取等号 ∴的最小值为1 故答案为1 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 13. 已知函数f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），若对于任意x∈[2，4]，不等式f（x）+t≤2恒成立，则t的取值范围为　    　． 参考答案： （﹣∞，10]． 【分析】由一元二次不等式的解集，可得0，5为二次方程的两个根，代入可得b，c，函数解析式可得； 对于任意x∈[2，4]，不等式f（x）+t≤2恒成立可等价转化为最值问题，即；2x2﹣10x+t﹣2≤0恒成立，再利用函数g（x）=2x2﹣10x+t﹣2，求它的最大值可得t的取值范围． 【解答】解：∵f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）， ∴2x2+bx+c＜0的解集是（0，5），所以0和5是方程2x2+bx+c=0的两个根， 由韦达定理知，﹣ =5， =0，∴b=﹣10，c=0，∴f（x）=2x2﹣10x． f（x）+t≤2 恒成立等价于2x2﹣10x+t﹣2≤0恒成立， ∴2x2﹣10x+t﹣2的最大值小于或等于0． 设g（x）=2x2﹣10x+t﹣2≤0， 则由二次函数的图象可知g（x）=2x2﹣10x+t﹣2在区间[2，2.5]为减函数，在区间[2.5，4]为增函数． ∴g（x）max=g（4）=﹣10+t≤0，∴t≤10． 故答案为（﹣∞，10]． 14. 某单位200名职工的年龄分布情况如下图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是        ；若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取        人。 参考答案：   15. 观察下列不等式：，，，按此规律，第个不等式为__________． 参考答案： 【分析】 直接利用归纳推理求解。 【详解】第一个不等式左边有两项，第二个不等式左边有3项，第三个不等式左边有4项，依此类推：第个不等式左边有项， 又每个不等式的左边最后一项的分母都是右边分母的平方， 每一个不等式的右边的分子都是分母的2倍减去1， 所以第个不等式为：. 【点睛】本题主要考查了归纳推理及考查观察能力，属于基础题。 16. 若，则的值为   ▲   ． 参考答案： 17. 已知平面α∥β，，有下列说法： ① a与β内的所有直线平行； ② a与β内无数条直线平行； ③ a与β内的任意一条直线都不垂直. 其中正确的序号为            参考答案： ② 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题12分） 已知函数 （1）当求的单调区间； （2）时，求在区间上的最小值； （3）若使得成立，求的范围。 参考答案： （1）当定义域                                （2） 当时， - 0 + 极小值 当时，在 综上          （3）由题意不等式在区间上有解，即在上有解 当时，，当时， 在区间上有解 令            时，       时，          的取值范围为     19. （本小题满分12）已知函数 （1）求的定义域;       （2）证明函数是奇函数。 参考答案： （1）由得 所以的定义域为（-1,1）. …………………………………………………4分     （2）因为        所以         故函数是奇函数。………………………………………………… 20. 如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM． （1）求证：平面ADM⊥平面ABCM； （2）是否存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出BM⊥AM，AD⊥BM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明平面ADM⊥平面ABCM． （2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为，并能求出相应的实数t的值． 【解答】证明：（1）∵长方形ABCD中，AB=2AD=2，M为DC的中点， ∴AM=BM=2，AM2+BM2=AB2，∴BM⊥AM， ∵AD⊥BM，AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM， 又BM?平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM． 解：（2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，0，1），M（0，0，0）， =（0，2，0），=（1，﹣2，1），==（t，2﹣2t，1）， 设平面AME的一个法向量为=（x，y，z）， 则， 取y=t，得=（0，t，2t﹣2）， 由（1）知平面AMD的一个法向量=（0，1，0）， ∵二面角E﹣AM﹣D为大小为， ∴cos===， 解得t=或t=2（舍）， ∴存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为，相应的实数t的值为． 21. “双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额t（百元）的频率分布直方图如图所示： （1）求网民消费金额t的平均值和中位数； （2）把下表中空格里的数填上，能否有90%的把握认为网购消费与性别有关.   男 女 合计         30   合计 45       附表： 0.150 0.100 0.050 k0 2.072 2.706 3.841   . 参考答案： (1)平均值为11.5，中位数为10；(2)答案见解析. 试题分析: (1)以每组的中间值代表本组的消费金额,计算网民消费金额的平均值;利用中位数两边频率相等求出中位数的值;(2)填写列联表,计算,对照临界值得出结论. 试题解析: （1）以每组的中间值代表本组的消费金额，则网民消费金额的平均值 ， 直方图中第一组，第二组的频率之和为， ∴的中位数. （2）   男 女   25 25 50 20 30 50   45 55 100   . 没有的把握认为网购消费与性别有关. 22. （本小题满分8分）如图，长方体中，，，是中点，是中点． (Ⅰ)  求证：； （Ⅱ）求证：平面⊥平面． 参考答案： 证明：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz (Ⅰ) . …………4分 （Ⅱ）证法一：. ， ，又，…………6分 ⊥平面，又平面，（注条件少一个扣1分） 平面⊥平面.…………8分 证法二：. 设平面的法向量为， ，取    …………6分 设平面的法向量为,，取…………7分 ， ， 平面⊥平面.…………8分