河北省保定市蠡县第一中学高三数学理联考试卷含解析

河北省保定市蠡县第一中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对于指数函数,“”是“在R上单调”的 (     ) A．充分而不必要条件            B．必要而不充分条件 C．充分必要条件          D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 2. 由曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为（　　） A． B．4 C．2 D． 参考答案： D 【考点】定积分． 【分析】联立方程组求出积分的上限和下限，结合定积分的几何意义即可得出结果． 【解答】解：作出两条曲线对应的封闭区域，如右图： 再联立方程，解得x=﹣1或x=2， 所以，A（﹣1，1），B（2，4）， 根据定积分的几何意义，所求阴影部分的面积： S阴影==（﹣x3+x2+2x）=， 故选：D． 3. 已知函数是R上的偶函数，对都有成立,当，且时，都有＜0，给出下列命题： （1）；（2）直线是函数图象的一条对称轴；（3）函数在上有四个零点；（4）其中所有正确的命题为（   ） A.(2)(3)(4)       B. (1)(2)(3)       C. (1)(2)(4)      D. (1)(2)(3)(4) 参考答案： C 4. 若函数，则的最大值为（ ） A．1                   B．2                      C． D． 参考答案： C 5. 如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（　　） A．3 B．2 C． D． 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|=2，结合|F1F2|=4，即可得出结论． 【解答】解：由题意，∵|PQ|=1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q， ∴根据切线长定理可得AM=AN，F1M=F1Q，PN=PQ， ∵|AF1|=|AF2|， ∴AM+F1M=AN+PN+NF2， ∴F1M=PN+NF2=PQ+PF2 ∴|PF1|﹣|PF2|=F1Q+PQ﹣PF2=F1M+PQ﹣PF2=PQ+PF2+PQ﹣PF2=2PQ=2， ∵|F1F2|=4， ∴双曲线的离心率是e==2． 故选：B． 6. 扇形AOB的半径为1，圆心角为90°，点C、D、E将弧AB分成四等分，连结OC、OD、OE，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰好为的概率是(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题：概率与统计． 分析：图中共有10个不同的扇形，其中面积为的扇形（即相应圆心角恰为的扇形）共有3个，故选A． 解答： 解：依题意得知，图中共有10个不同的扇形，分别为扇形AOB，AOC，AOD，AOE，EOB，EOC，EOD，DOC，DOB，COB， ∵，R=1 ∴ ∴其中面积为的扇形（即相应圆心角恰为的扇形）共有3个：AOD，EOC，BOD， 即扇形因此所求的概率等于， 故选：A． 点评：本题考查了几何概型，确定基本事件个数和事件发生个数是关键． 7. 函数的周期为2,当时,,，则函数的所有零点之和为(　 　　) A．2           B．8              C．6           D．4 参考答案： B 8. 下列函数中既是偶函数又在上单调递增的函数是（  ） A．         B． C.         D． 参考答案： B 9. 已知为第二象限角,,则 （　　） A． B． C． D． 参考答案： A 略 10. 《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第n天所织布的尺数为，则的值为 A．56                          B．52    C．28                      D．26 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为　　． 参考答案： 12π 【考点】球的体积和表面积． 【专题】计算题；数形结合法；空间位置关系与距离；球． 【分析】证明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积． 【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC=2， ∴△PAB≌△PAC≌△PBC． ∵PA⊥PB， ∴PA⊥PC，PB⊥PC． 以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图： 则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球． ∵长方体的对角线长为， ∴球直径为2，半径R=， 因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×=12π． 故答案为：12π． 【点评】本题考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题． 12. 定义：表示不超过实数的最大整数，如，，并定义 .如，，有以下命题： ①函数的定义域为值域为； ②方程有无数多个解； ③函数为周期函数； ④关于实数的方程的解有3个. 其中你认为正确的所有命题的序号为         ． 参考答案： ②③④ 13. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且，a2=5，则S6=　   　． 参考答案： 722 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】=，可得an+1+1=3（an+1），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：∵=，∴an+1+1=3（an+1）， ∴5+1=3（a1+1），解得a1=1． ∴数列{an+1}是等比数列，公比为3，首项为2． ∴an+1=2×3n﹣1，解得an=2×3n﹣1﹣1， 则S6=﹣6=722． 故答案为：722． 　 14. 已知满足，则的最大值为____________。 参考答案： 略 15. 在边长为2的正方形ABCD内任取一点P，则使点P到四个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 参考答案： 略 16. 定义:如果函数在区间上存在,满足,则称是函数在区间上的一个均值点.已知函数在区间上存在均值点,则实数的取值范围是________. 参考答案： 略 17. 在的棋盘中停放着3个相同的红色車和3个相同的黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有________种停放方法. 参考答案： 14400 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知 (Ⅰ) 求角A的度数； (Ⅱ) 若,求△ABC的面积S。 参考答案：     略 19. （本小题满分12分）    设函数，且，求函数的单调区间及其极大值。 参考答案：           3分 当时，，在上单增，此时无极大值；    5分 当时，或， 在和上单调递增，在上单调递减。………8分[K] 此时极大值为          9分 当时，或，  在和上单调递增，在上单调递减。………11分[K] 此时极大值为        12分 20. （本小题满分12分)平行四边形中，，，且，以BD为折线，把△ABD 折起，，连接AC. （Ⅰ）求证：；       （Ⅱ）求二面角B-AC-D的大小. 参考答案： （Ⅰ）在中，, 易得． 面面 面 …………………………4分 （Ⅱ）法一：在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的直线为轴，建立如图空间直角坐标系. 则D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，0，1）.……………………………………………………………6分 设平面ABC的法向量为，而， 由得：， 取 ……………………………………………………………………………8分 再设平面DAC的法向量为，而， 由得：，取.  ...... ................ ...... .......10分 所以，所以二面角B-AC-D的大小是60°.…………12分 法二：取BC的中点E,连DE,过D作DFAC于F,连EF,则是二面角B-AC-D的平面角. ...... ............ ................ ...... ...... .........8分 , ∴. ...... . ...... ................ ...... .............. ...... ................... .12分 法三：补成正方体． 21. (12分)   在中，已知对应的边分别为，且 （1）求和的值； （2）当时，求的值。 参考答案： 解析：（1）∵  ∴               2分                                                      4分 ∴       6分 （2）∵，又 ∴， 又∵  ∴                                                 8分 ∵由正弦定理有 ∴ 解得：                                                         10分 ∴  ∴               12分 22. （13分）某银行招聘，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择．现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试．若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功．假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题． （Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率． （Ⅱ）记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【专题】概率与统计． 【分析】（I） 设丁竞聘成功为M事件，戊竞聘成功为N事件，则事件的总数，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，再利用概率计算公式即可得出． （Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．ξ=0表示甲乙丙三人都没有通过；ξ=1表示三人中只有一人通过；ξ=3表示由3人都通过，利用分类讨论和独立事件的概率计算公式及其互斥事件的概率计算公式及其对立事件的概率，列出分布列，求出期望． 【解答】解：（I） 设“丁竞聘成功”为M事件，戊竞聘成功为N事件，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，基本事件的总数为． ∴P（M）