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2022-2023学年湖北省黄冈市英山县红山中学高一数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等于( )
A. B. C. D.1
参考答案:
A
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】利用两角和的正弦函数公式,两角和的正切函数公式,特殊角的三角函数值即可化简求值得解.
【解答】解:原式==×=×=.
故选:A.
2. 已知向量=(2,2),=(4,1),O为坐标原点,在x轴上求一点P,使·取最小值,则P点的坐标是
A.(3,0) B.(-3,0)
C.(2,0) D.(4, 0)
参考答案:
A
3. 正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 在△ABC中,,则△ABC为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法判定
参考答案:
C
为钝角
5. 已知,,则cosα=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 设映射是集合到集合的映射。若对于实数,在中不存在对应的元素,则实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
A
7. 已知关于某设各的使用年限x(单位:年)和所支出的维修费用y(单位:万元)有如下的统计资料,
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
由上表可得线性回归方程,若规定当维修费用y>12时该设各必须报废,据此模型预报该设各使用年限的最大值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
参考答案:
C
【考点】线性回归方程.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】求出,代入回归方程求出,令≤12解出x,
【解答】解:=(2+3+4+5+6)=4,=(2.2+3.8+5.5+6.5+7)=5.∴5=4+0.08,解得=1.23,∴=1.23x+0.08,
令1.23x+0.08≤12解得x≤≈9.7.∴该设备的使用年限最大为9年.
故选C.
【点评】本题考查了线性回归方程的求解及数值估计,属于基础题.
8. 已知函数f(x)对任意实数x,y恒有且当,.
给出下列四个结论:
①f(0)=0; ②f(x)为偶函数;
③f(x)为R上减函数; ④f(x)为R上增函数.
其中正确的结论是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
参考答案:
A
9. .函数的对称中心为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
令,得出的表达式,然后对赋值,可得出函数的一个对称中心坐标。
【详解】令,得,令,则,且,
因此,函数的一个对称中心坐标为,故选:A。
【点睛】本题考查正弦型函数对称中心的求解,对于函数的对称中心,令
,可得出对称中心的横坐标,纵坐标为,从而可得出函数的对称中心坐标,意在考查学生对正弦函数对称性的理解,属于中等题。
10. 为测量某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角
为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是( )
A. m B. m C. m D.30 m
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知关于方程在区间上有实数根,那么的取值范围是__________.
参考答案:
令,易知该函数为增函数,方程在区间上有实数根等价于函数在区间内有零点,则得,故答案为.
12. 在△ABC中,a=7,b=5,c=3,则A= .
参考答案:
120°
【考点】HR:余弦定理.
【分析】在△ABC中,由 a=7,b=5,c=3,利用余弦定理可得cosA= 的值,从而得到A的值.
【解答】解:在△ABC中,∵a=7,b=5,c=3,由余弦定理可得cosA==﹣,
∴A=120°,
故答案为120°.
13. 若为幂函数,且满足,则__ _.
参考答案:
64
14. 解方程:3×4x﹣2x﹣2=0.
参考答案:
【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算.
【专题】综合题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】原方程因式分解得:(3×2x+2)(2x﹣1)=0,进一步得到3×2x+2>0,所以2x﹣1=0,求解x即可得答案.
【解答】解:原方程3×4x﹣2x﹣2=0可化为:3×(2x)2﹣2x﹣2=0,
因式分解得:(3×2x+2)(2x﹣1)=0,
∵2x>0,∴3×2x+2>0.
∴2x﹣1=0,
解得:x=0.
∴原方程的解为:x=0.
【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算,本题的关键是会因式分解,是基础题.
15. 若,使不等式成立,则实数m的取值范围为________.
参考答案:
(-4,5)
【分析】
令,将问题转化为二次函数在区间上恒成立问题,即可求得参数范围.
【详解】令,由可得,
则问题等价于存在,,
分离参数可得
若满足题意,则只需,
令,令,
则,容易知,
则只需,整理得,
解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查由存在性问题求参数值,属中档题.
16. 函数在(0,+∞)上取最小值时的x的值为 .
参考答案:
1
【考点】基本不等式.
【专题】计算题;构造法;不等式的解法及应用.
【分析】在将函数式裂项,=2(x+)+1,再运用基本不等式求最值,最后确定取等条件.
【解答】解:
=2x++1=2(x+)+1,
∵x>0,∴x+≥2,
因此,f(x)≥2×2+1=5,
当且仅当:x=即x=1时,函数f(x)取得最小值5,
故答案为:1.
【点评】本题主要考查了运用基本不等式求函数的最小值,以及取等条件的分析,“一正,二定,三相等”是其前提条件,属于基础题.
17. 已知用表示 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,
已知
(1)求sinC的值;
(2)若,求三角形三边a,b,c的值.
参考答案:
19. 已知集合A={x|>1,x∈R},B={x|x2﹣2x﹣m<0}.
(Ⅰ)当m=3时,求;A∩(?RB);
(Ⅱ)若A∩B={x|﹣1<x<4},求实数m的值.
参考答案:
【考点】集合关系中的参数取值问题;交集及其运算.
【分析】(1)通过解一元二次不等式求得集合B;
(2)解分式不等式求得集合Q,根据A∩B=(﹣1,4),A=(﹣1,5)得4是方程x2﹣2x﹣m=0的一个根,求得m=8,再验证是否满足条件.
【解答】解:(1)当m=3时,由x2﹣2x﹣3<0?﹣1<x<3,
由>1?﹣1<x<5,
∴A∩B={x|﹣1<x<3};
(2)若A∩B={x|﹣1<x<4},
∵A=(﹣1,5),
∴4是方程x2﹣2x﹣m=0的一个根,
∴m=8,
此时B=(﹣2,4),满足A∩B=(﹣1,4).
∴m=8.
20. 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,.
(1)求A;
(2)点M在BC边上,且, ,求.
参考答案:
(1) .(2) .
【分析】
(1)本题首先可通过边角互换将转化为,然后将其化简为,即可计算出的值,最后得出结果;
(2)通过可以计算出的长度,然后借助余弦定理即可得出结果。
【详解】(1)因为,所以,
即,整理得,
因为,所以,解得.
(2)由题意得,,
因为,所以,即,
由余弦定理可知,即,
解得(舍去),即.
【点睛】本题考查三角函数的相关性质,主要考查解三角形的相关性质,考查了正弦定理以及余弦定理的灵活应用,考查了推理能力,是中档题。
21. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当,求f(x)的值域.
参考答案:
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域.
【分析】(1)根据最低点M可求得A;由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω;进而把点M代入f(x)即可求得φ,把A,ω,φ代入f(x)即可得到函数的解析式.
(2)根据x的范围进而可确定当的范围,根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值.确定函数的值域.
【解答】解:(1)由最低点为得A=2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,
即T=π,
由点在图象上的
故∴
又,∴
(2)∵,∴
当=,即时,f(x)取得最大值2;当
即时,f(x)取得最小值﹣1,
故f(x)的值域为[﹣1,2]
22. (13分) 如图,在四棱锥中,是正方形,平面,, 分别是的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)在线段上确定一点,使平面,并给出证明;
(3)证明平面平面,并求出到平面的距离.
参考答案:
(1)分别是线段的中点,所以,又为正方形,,
所以,
又平面,所以平面.
因为分别是线段的中点,所以,
又平面,所以,平面.
所以平面平面. -------------4分
(2)为线段中点时,平面.
取中点,连接,
由于,所以为平面四边形,
由平面,得,
又,,所以平面,
所以,
又三角形为等腰直角三角形,为斜边中点,所以,
,所以平面. ------------8分
(3)因为,,,所以平面,
又,所以平面,所以平面平面.
取中点,连接,则,平面即为平面,
在平面内,作,垂足为,则平面,
即为到平面的距离,
在三角形中,为中点,.
即到平面的距离为. -------------13分
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