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河北省保定市安国东河乡初级职业中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x+ex B. C. D.
参考答案:
A
【考点】函数奇偶性的判断.
【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】先求函数的定义域,看是否关于原点对称,再计算f(﹣x)与±f(x)的关系,即可判断出奇偶性.
【解答】解:A.其定义域为R,关于原点对称,但是f(﹣x)=﹣x+e﹣x≠±f(x),因此为非奇非偶函数;
B.定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(﹣x)=﹣x﹣=﹣f(x),因此为奇函数;
C.定义域为x∈R,关于原点对称,又f(﹣x)==﹣f(x),因此为奇函数;
D.定义域为x∈R,关于原点对称,又f(﹣x)==f(x),因此为偶函数;
故选:A.
【点评】本题考查了函数的定义域求法、函数奇偶性的判定,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2. 设函数的最小正周期为π,且则( ).
A. f(x)在单调递增 B. f(x)在单调递增
C. f(x)在单调递减 D. f(x)在单调递减
参考答案:
A
【分析】
三角函数 ,由周期为,可以得出;又,即,所以函数为偶函数,从而解得值,由此可以判断出函数的单调性。
【详解】解:因为且周期为,
所以, ;
又因为,即,
所以函数为偶函数,
所以,当时,
所以,
又因为,所以,
故,
所以在上单调递减,故选A。
【点睛】在解决三角函数解析式问题时,首先要将题目所提供的形式转化为标准形式,即的形式,然后再由题中的条件(周期,对称性等)解决三角函数中相关的参数,进而解决问题。
3. 函数的图象与直线的公共点数目是( )
A. B. C.或 D.或
参考答案:
C
4. 下列各式化简后的结果为cosx的是( )
A B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
利用诱导公式化简判断即得解.
【详解】A. ,所以选项A错误;
B. ,所以选项B错误;
C. ,所以选项C正确;
D. ,所以选项D错误.
故选:
【点睛】本题主要考查诱导公式的化简,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
5. (5分)在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,点O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任一点,则异面直线OP与AM所成的角的大小为()
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
参考答案:
C
考点: 异面直线及其所成的角.
专题: 空间角.
分析: 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线OP与AM所成的角的大小.
解答: 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,
建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,A1P=t(0≤t≤1),
A(2,0,0),M(0,0,1)
O(1,1,0),P(2,t,2),
=(﹣2,0,1),=(1,t﹣1,2),
∴=﹣2+0+2=0,
∴异面直线OP与AM所成的角的大小为90°.
故选:C.
点评: 本题考查异面直线OP与AM所成的角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量法合理运用.
6. 已知函数,则f(1)- f(9)=( )
A. ﹣1 B. ﹣2 C. 6 D. 7
参考答案:
A
【分析】
利用分段函数,分别求出和的值,然后作差得到结果.
【详解】依题意得,,所以,故选.
【点睛】本小题主要考查利用分段函数求函数值,只需要将自变量代入对应的函数段,来求得相应的函数值.属于基础题.
7. 已知集合,则等于
A.{1,2} B.{-1,0,3} C.{0,3} D.{-1,0,1}
参考答案:
B
8. 如果点位于第三象限,那么角所在象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
B
略
9. 已知函数f(x)=m+log2x2的定义域是[1,2],且f(x)≤4,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞,2] C.[2,+∞) D.(2,+∞)
参考答案:
B
【考点】对数函数的单调性与特殊点;函数的定义域及其求法.
【分析】先根据指数函数的单调性求出函数在[1,2]上的值域,然后根据f(x)≤4建立关于m的不等式,解之即可.
【解答】解:∵函数f(x)=m+log2x2在[1,2]单调递增,
∴函数f(x)的值域为[m,2+m],
∵f(x)≤4,
∴2+m≤4,解得m≤2,
∴实数m的取值范围是(﹣∞,2].
故选:B.
10. 若集合,且,则实数的集合( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知图象连续不断的函数在区间上有唯一零点,若用“二分法”求这个零点的近似值(精确度0.0001),那么将区间等分的次数至多是
参考答案:
10
12. 在△ABC中,cosA=﹣,sinB=,则cosC= .
参考答案:
【考点】两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数.
【分析】利用同角三角函数的基本关系,两角和的余弦公式、诱导公式,以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题.
【解答】解:△ABC中,∵cosA=﹣,∴A为钝角,故sinA==;
∵sinB=,∴cosB==,
则cosC=﹣cos(A+B)=﹣(cosAcosB﹣sinAsinB)=﹣(﹣?﹣?)=,
故答案为:.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的余弦公式、诱导公式,以及三角函数在各个象限中的符号,属于基础题.
13. 设,其中为非零常数.
若,则 .
参考答案:
略
14. 若幂函数f(x)=xα(α为常数)的图象恒过定点A,直线恒过定点B,则直线AB的倾斜角是 .
参考答案:
150°
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】求出A、B的坐标,从而求出直线AB的斜率即可.
【解答】解:幂函数f(x)=xα(α为常数)的图象恒过定点A,
则A(1,1),
直线恒过定点B,
则y﹣1﹣=k(x+2),故B(﹣2,1+),
故直线AB的斜率k==﹣,
故直线AB的倾斜角是150°,
故答案为:150°.
【点评】本题考查了幂函数的性质,考查直线方程问题,是一道基础题.
15. (5分)(1+tan1°)(1+tan44°)= .
参考答案:
2
考点: 两角和与差的正切函数.
专题: 三角函数的求值.
分析: 先利用两角和的正切公式求得(1+tan1°)(1+tan44°)=2.
解答: ∵(1+tan1°)(1+tan44°)=1+tan1°+tan44°+tan1°?tan44°
=1+tan(1°+44°)[1﹣tan1°?tan44°]+tan1°?tan44°=2.
故答案为:2.
点评: 本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于中档题.
16. 若,且,则_______________.
参考答案:
17. 已知数列的,则=_______
参考答案:
_100
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上, =(﹣2,m),=(n,1),=(5,﹣1),且⊥,其中O为坐标原点.
(1)求实数m,n的值;
(2)设△OAC的重心为G,若存在实数λ,使=λ,试求∠AOC的大小.
参考答案:
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.
【分析】(1)由已知向量的坐标求出的坐标,由∥列关于m,n的方程组,再由⊥得到关于m,n的另一方程组,联立后求得m,n的值;
(2)由△OAC的重心为G,结合=λ可知B为AC的中点,由中点坐标结合(1)中的结果得到m,n的值,得到的坐标,然后代入平面向量的数量积公式求得∠AOC的大小.
【解答】解:(1)由于A、B、C三点在一条直线上,则∥,
而,,
∴7(1﹣m)﹣(﹣1﹣m)(n+2)=0,即9﹣5m+mn+n=0,
又,∴﹣2n+m=0,
联立方程组,解得或;
(2)若存在实数λ,使=λ,则B为AC的中点,故.
∴,.
∴,
∴.
19. (本小题满分12分).
已知四边形是等腰梯形,(如图1)。现将沿折起,使得(如图2),连结。
(I)若为棱的中点,求四面体的体积;
(II)若为棱上的动点,确定的位置,使直线平行于平面,并证明。
参考答案:
20. 如图,在直角梯形中,,∥,,为线段的中点,将沿折起,使平面⊥平面,得到几何体.
(1)若,分别为线段,的中点,求证:∥平面;
(2)求证:⊥平面;
参考答案:
(1)主要证明∥ (2)主要证明⊥
∴⊥,
又平面⊥平面,平面平面=,平面,
∴⊥平面.10分
略
21. 在△ABC中,,,点M,N在线段BC上.
(Ⅰ)若,求BM的长;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)在中由余弦定理得,
即得
解得或5.
(Ⅱ)取的中点,连接,以分别为轴,建立直角坐标系,
则
设,,
当时,有最小值为,当时有最大值为9.
的范围.
22. 已知,函数,当时, 。
(1)求常数的值;
(2)设且,求的单调区间。
参考答案:
(1),
又
(2)由(1)得,
又由,得,,
其中当时,
单调递增,即
因此的单调增区间为。ks5u
又因为当时,ks5u
单调递减,即。
因此的单调减区间为。
略
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