湖北省恩施市鹤峰县第二高级中学2022年高二数学理月考试题含解析

湖北省恩施市鹤峰县第二高级中学2022年高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若a＞2，则方程x3﹣ax2+1=0在（0，2）上恰好有（　　） A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根 参考答案： B 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】令f（x）=x3﹣ax2+1，利用导数法，结合a＞2，可得f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）上为减函数，进而根据零点存在定理可得函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）上有且只有一个零点，即方程x3﹣ax2+1=0在（0，2）上恰好有1个根． 【解答】解：令f（x）=x3﹣ax2+1， 则f′（x）=x2﹣2ax， ∴a＞2，故当x∈（0，2）时，f′（x）＜0， 即f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）上为减函数， 又∵f（0）=1＞0，f（2）=﹣4a＜0， 故函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）上有且只有一个零点， 即方程x3﹣ax2+1=0在（0，2）上恰好有1个根， 故选：B 2. 设直线l1：与l2关于直线l：对称，则直线l2的方程是（    ） A．                                     B．   C．                                        D． 参考答案： B 3. AB为的直径，C为上一点，PA垂直于所在的平面，，下列命题中正确命题的序号为 ①是平面PAC的法向量；  ②的法向量； ③是平面PBC的法向量；  ④是平面ADF的法向量    　　　　　　　　　   （ 　） A．②　④         B．② ③        C．①　③    D．③　④ 参考答案： Ｃ 4. 不等式的解集是（　） (A)    B{}  (B){}  (D)R 参考答案： B 5. 若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点, 、分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若,则（    ）    A．1            B． 2            C．3                D．4   参考答案： B 6. 若平面a和的法向量分别为=(3，-4，-3)，（2，-3，6）则 (    )     A．a∥   B．a⊥    C．a、相交但不垂直    D．以上都不正确 参考答案： B 7. 函数的图像大致是 参考答案： A 8. 如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连起来，则不同的修筑方法共有(　　) A．8种 B．12种 C．16种 D．20种 参考答案： C 9. 图中阴影部分的面积用定积分可表示为（    ） A． B． C. D． 参考答案： B 10. 等于   （    ）    A. 1            B.  e - 1         C. e         D.  e + 1 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知是双曲线的左焦点，定点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为_______________. 参考答案： 9 略 12. 已知是的充分条件而不是必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件。现有下列命题：①是的充要条件；②是的充分条件而不是必要条件；③是的必要条件而不是充分条件；④的必要条件而不是充分条件；⑤是的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是_________。 参考答案： ①②④ 略 13. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式为           ． 参考答案： 略 14. 椭圆E： +=1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为　　． 参考答案： x+2y﹣4=0 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】设所求直线与椭圆相交的两点的坐标，然后利用点差法求得直线的斜率，最后代入直线方程的点斜式得答案． 【解答】解：设所求直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）， 则，． 两式相减得． 又x1+x2=4，y1+y2=2， ∴kAB=． 因此所求直线方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+2y﹣4=0． 故答案为：x+2y﹣4=0． 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了点差法求与中点弦有关的问题，是中档题． 15. 设幕是焦距等于6的双曲线 的两个焦点，P是C上一点，若 ，且 的最小内角为30，则c的方程为_________. 参考答案： 16. 定义在R上的函数满足：，且对于任意的,都有，则不等式的解集为 __________________ 参考答案： 略 17. 若P（m，n）为椭圆（θ为参数）上的点，则m+n的取值范围是        ． 参考答案： [-2,2] 【考点】椭圆的参数方程． 【专题】函数思想；参数法；三角函数的图像与性质；坐标系和参数方程． 【分析】由题意和三角函数可得m+n=cosθ+sinθ=2sin（θ+），由三角函数的值域可得． 【解答】解：∵P（m，n）为椭圆（θ为参数）上的点， ∴m+n=cosθ+sinθ=2（cosθ+sinθ）=2sin（θ+）， 由三角函数的知识可得m+n的取值范围为：[-2,2] 【点评】本题考查椭圆的参数方程，涉及三角函数的值域，属基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分50分）已知无穷数列满足，, . 1）对于怎样的实数与，总存在正整数，使当时恒为常数？    2）求通项   参考答案： 解析:1）我们有 ， （2.1） 所以，如果对某个正整数，有，则必有 , 且 . 如果该，我们得   且  .   ………………（10分）   （2.2） 如果该，我们有 ,          （2.3） 和 ,          （2.4） 将式（2.3）和（2.4）两端相乘，得 ,                 （2.5） 由（2.5）递推，必有（2.2）或   且  .                             （2.6） 反之，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当n≥2时，必有an=常数，且常数是1或－1. 2）由（2.3）和（2.4），我们得到 ,                     （2.7） 记, 则当时， 由此递推，我们得到 ,                 （2.8） 这里 ，,  .                  （2.9） 由（2.9）解得 .                 （2.10） 上式中的n还可以向负向延伸，例如 . 这样一来，式（2.8）对所有的都成立.由（2.8）解得 , .       （2.11） 式（2.11）中的由（2.10）确定.      19. 在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为，设过点的直线、与此椭圆分别交于点、，其中，， ⑴ 设动点满足，求点的轨迹方程； ⑵ 设，，求点的坐标； ⑶ 若点在点的轨迹上运动，问直线是否经过轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．       参考答案： 解：⑴　设，依题意知　代入化简得 故的轨迹方程为 ⑵　由及得，则点， 从而直线的方程为； 同理可以求得直线的方程为 联立两方程可解得 所以点的坐标为 ⑶　假设直线过定点，由在点的轨迹上， 直线的方程为，直线的方程为 点满足得 又，解得，从而得 点满足，解得 若，则由及解得， 此时直线的方程为，过点 若，则， 直线的斜率，直线的斜率， 得，所以直线过点， 因此，直线必过轴上的点   略 20. 已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数． （1）当a=﹣1时，求f（x）的极值； （2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，得到或f′（1）≤0，解出即可． 【解答】解：（1）当a=﹣1时， 所以f（x）在区间（0，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增 于是f（x）有极小值f（1）=0，无极大值 （2）易知在区间内单调递增， 所以由题意可得在内无解 即或f′（1）≤0 解得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 21. 已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求直线l的斜率． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】方程思想；分析法；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可． （Ⅱ）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可设椭圆方程为+=1（a＞b＞0）， 则e==，a2﹣b2=c2， +=1， 解得a=2，b=1， 可得椭圆方程为+y2=1； （Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0， 故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）， 由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0， 则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0， 且x1+x2=﹣，x1x2=． 故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2． 因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列， 所以?=k2，即k2+=k2， 即+m2=0，又m≠0， 所以k2=，即k=±． 即有直线l的斜率为±． 【点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在． 22. 实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1. 求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．       （12分） 参考答案： 略