山西省运城市西关中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

山西省运城市西关中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列四个结论中不正确的是（　　） A．若x＞0，则x＞sinx恒成立 B．命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为“若x﹣sinx≠0，则x≠0” C．“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件 D．命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“?x0∈R，x0﹣lnx0＜0” 参考答案： D 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】A构造函数y=x﹣sinx，利用导数判断y是单调增函数，从而判断A正确； B根据命题“若p则q”的否命题为“若￢p则￢q”，判断正误即可； C分别判断充分性和必要性是否成立即可； D根据全称命题的否定是特称命题，判断正误即可． 【解答】解：对于A，令y=x﹣sinx，求出导数y′=1﹣sinx≥0， ∴y是单调增函数，∴x＞0时，x＞sinx恒成立，A正确； 对于B，命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的否命题为 “若x﹣sinx≠0，则x≠0”，B正确； 对于C，“命题p∧q为真”，则命题p为真，q也为真， ∴“命题p∨q为真”，充分性成立， “命题p∨q为真”则命题p、q一真一假或同为真， 则“命题p∧q为真”不一定成立，即必要性不成立； ∴是充分不必要条件，C正确； 对于D，命题“?x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是 “?x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，∴D错误． 故选：D． 2. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A. (–1,3) B. (–1,) C. (0,3) D. (0,) 参考答案： A 由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A． 【考点】双曲线的性质 【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错. 3. 若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则x﹣y的取值范围是（　　） A．[﹣2，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，﹣2] D．[0，2] 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知，A（1，1），B（0，2）， 令z=x﹣y，化为y=x﹣z， 当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0； 直线y=x﹣z过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣2． ∴x﹣y的取值范围是[﹣2，0]． 故选：A． 4. 已知复合命题“p且q”为假命题，则可以肯定的是（    ）     A．p为假命题                         B．q为假命题     C．p、q中至少有一个为假命  D．p、q均为假命题 参考答案： C 5. 若tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sincoscosα=（　　） A．1 B． C． D． 参考答案： D 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得要求式子的值． 【解答】解：∵tanα=，则sin4α﹣cos4α+6sincoscosα=sin2α﹣cos2α+3sinαcosα ===， 故选：D． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题． 6. 函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】函数的图象． 【分析】求出函数的零点个数，图象所过象限及极限值，利用排除法，可得答案． 【解答】解：令函数=0，则x=0，或x=， 即函数有两个零点，故排除B； 当0＜x＜时，函数值为负，图象出现在第四象限，故排除C； 由=0，可排除D， 故选：A 7. 下列说法中，正确的是（  ） A．命题“若，则”的逆命题是真命题 B．命题“存在，”的否定是：“任意，” C．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D．已知，则“”是“”的充分不必要条件 参考答案： B 【知识点】命题 充分条件、必要条件 解析：对于A，当m=0时逆命题不成立；对于B，又特称命题与全称命题的关系知显然成立；因为只有一个选项正确，所以选B. 【思路点拨】判断命题的真假可用反例法进行排除，也可直接利用已知结论或性质进行判断. 8. 若球O的半径为1，点A、B、C在球面上，它们任意两点的球面距离都等于则过点 A、B、C的小圆面积与球表面积之比为         （    ）                                       A．                     B．                      C．                      D． 参考答案： C 9. 对于原命题：“已知，若 ，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为 A．0个　　     B．1个　　  C．2个　       D．4个 参考答案： C 当时，不成立，所以原命题错误，即逆否命题错误。原命题的逆命题为“已知，若 ，则”，所以逆命题正确，即否命题也正确，所以这4个命题中，真命题的个数为2个，选C. 10. 已知集合A＝{2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈B，且logxy∈N*}，则C中元素个数是(　　)  A．9          B．8           C．3                D．4 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测： 爸爸：冠军是乙或丁； 妈妈：冠军一定不是丙和丁； 孩子：冠军是甲或戊. 比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是______． 参考答案： 丁 若冠军是甲或戊，孩子与妈妈判断都正确，不合题意； 若冠军是乙，爸爸与妈妈判断都正确，不合题意； 若冠军是丙，三个人判断都不正确，不合题意； 若冠军是丁，只有爸爸判断正确，合题意，故答案为丁.   12. 若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为                ； 参考答案：     13. 已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a], 则a+b=_________ 参考答案： 略 14. 已知函数的图像恒过点,若角的终边经过点，      则 的值等于_______ 参考答案： 略 15. 已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝________．　 参考答案： 16. 已知变量，满足，则的最小值为          ． 参考答案： 0 画出 表示的可行域，如图，由，可得 平移直线 ，由图知，当直线经过点 ，直线在以y轴上截距最小，此时最小值为 ，故答案为0.   17. 已知实数x，y满足，则的取值范围为_____． 参考答案： 由题不等式组表示的可行域如图阴影所示 表示（x,y）与M（3,1）连线斜率, 当连线过A, 斜率k最小,联立得A(-1,8)，此时k= 当连线过B，斜率k最大，联立得B(-1,-1), 此时k= 的取值范围为 故答案为   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点， （ⅰ）设直线的斜率分别为、，求证：为定值； （ⅱ）当点运动时，以为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论． 参考答案： 略 19. 已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1，an2﹣（2an﹣1﹣1）an﹣2an﹣1=0（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足b1=1，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{an?bn}的前n项和为Tn． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式． 【分析】（Ⅰ）推出数列{an}是等比数列，然后求解通项公式，利用作差法，然后求解{bn}的通项公式； （Ⅱ）化简通项公式，利用错位相减法求和即可． 【解答】解：（Ⅰ）变形可得（an﹣2an﹣1）（an+1）=0， 即有an=2an﹣1或an=﹣1， 又由数列{an}各项都为正数，则有an=2an﹣1， 故数列{an}是首项为a1=1，公比为2的等比数列，则… 由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2， 当n≥2时，， 和b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*） 作差得，，整理得：，∴ =1，∴bn=n ∴；bn=n，n∈N*… （Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 因此， ∴， 两式作差得：…． 20. (本小题13分) 已知是数列的前项和,且 (1)求的值，并求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为， 求证：为定值。 参考答案： (1); (2) (定值) 21. （本小题满分12分）（如图1）在平面四边形中，为中点，，，且，现沿折起使，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）在线段PC上是否存在一点M，使直线与直线所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 参考答案： 以D为坐标原点，DA,DC,DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为，   22. 如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，，AB=AD=2CD，侧面底面ABCD，且为等腰直角三角形，，M为AP的中点. （I）求证：       （II）求证：DM//平面PCB； （III）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值. 参考答案： （I）取的中点，连结． ，     …………2分 ，且， 是正三角形，, 又, 平面． ．           …………………4分    （II）取的中点，连结． 分别为的中点， ，且． ∵四边形是直角梯形，且， 且．                 …………………………6分 ∴四边形是平行四边形． ． 平面，平面 平面．                      …………………………8分    （II） ∵侧面底面， 又，      底面． ． ∴直线两两互相垂直， 故以为原点,直线所在直线为轴、轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则可求得 ， ． ． 设是平面的法向量，则且． 取，得．      …………6分 是的中点， ． ． ． ． 平面， 平面． ………………………8分    （III）又平面的法向量， 设平面与平面所成锐二面角为, 则,…………10分 平面与平面所成锐二面角的余