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2022年江西省赣州市东江中学高二数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设p:在内单调递增,,则是的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
2. 抛物线的焦点恰好与椭圆的一个焦点重合,则=( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
参考答案:
C
3. 设表示三条不同的直线,表示三个不同的平面,给出下列三个命题:
①若,则;②若,是在内的射影,,则;③若则.
其中真命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
由表示三条不同的直线,表示三个不同的平面知:在①中,若,则平面成90°角,所以,故①正确;在 ②中,若是在 内的射影,,则由三垂线定理得,故②正确; 对于③,,则错误,如墙角的三个面的关系, 故③错误,真命题的个数为2,故选C.
4. A=,B={(x,y)|x+y≥2},则A∩B所对应区域面积为( )
A.2π B.π﹣2 C.π D.π+2
参考答案:
B
【考点】交集及其运算.
【分析】由题意作出图象,然根据面积公式计算即可得答案.
【解答】解:由A=,B={(x,y)|x+y≥2},则A∩B所对应区域面积为如图阴影部分的面积,
则为π×4﹣=π﹣2,
故选:B
5. 已知奇函数在区间[0,+∞)上单调递增,则满足以<0的菇的取值范围是
A.(,+∞) B.(,+∞) C.(-∞,) D.(-∞,)
参考答案:
C
6. 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数可以是( )
A.1或2或3或4 B.0或2或4 C.1或3 D.0
参考答案:
B
【考点】四种命题.
【分析】根据逆否命题的等价性进行判断即可.
【解答】解:∵原命题和逆否命题互为等价命题,
逆命题和否命题互为等价命题,
∴四种命题真命题的个数为0或2或4个,
故选:B.
7. 如图,四边形中,, ,.将四边形沿对角线折成四面体,使平面平面,则下列结论正确的是 ( ).
A.
B.
C.与平面所成的角为
D.四面体的体积为
参考答案:
B
略
8. 四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
9. 设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
10. 如右图,是一程序框图,则输出结果为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知a∈R,若f(x)=(x+﹣1)ex在区间(1,3)上有极值点,则a的取值范围是 .
参考答案:
(﹣27,0)
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间,从而求出满足条件的a范围即可.
【解答】解:∵f(x)=(x+﹣1)ex,
∴f′(x)=()ex,
设h(x)=x3+ax﹣a,
∴h′(x)=3x2+a,
a≥0时,h′(x)>0在(1,3)上恒成立,
即函数h(x)在(1,3)上为增函数,
∵h(1)=1>0,函数f(x)在(1,3)无极值点,
a<0时,h(x)=x3+a(x﹣1),
∵x∈(1,3),h′(x)=3x2+a,
令h′(x)=0,解得:a=﹣3x2,
若在区间(1,3)上有极值点,
只需a=﹣3x2有解,
而﹣27<﹣3x2<0,
故﹣27<a<0,
故答案为:(﹣27,0).
12. 点P(x,y)在线性约束条件表示的区域内运动,则|OP|的最小值为 .
参考答案:
考点:简单线性规划.
专题:数形结合.
分析:由约束条件作出可行域,由点到直线的距离公式求得答案.
解答: 解:由约束条件作出可行域如图,
由图可知,|OP|的最小值为原点O到直线x+y﹣1=0的距离,
即为.
故答案为:.
点评:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
13. 极坐标系中,曲线和曲线相交于点,则线段的长度为 .
参考答案:
略
14. 与圆外切且与圆内切的动圆圆心轨迹方程为
参考答案:
15. 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子,将向上一面的点数看作随机变量X,则X的方差是 .
参考答案:
16. 已知的取值如下表所示:
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
从散点图分析,与线性相关,且,则 .
参考答案:
2.6
略
17. 设集合A=,B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B≠,则实数m的取值范围是________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧.
(1)求的取值范围;
(2)对于(1)中的,设,不等式恒成立,求的取值
范围(表示不超过的最大整数).
参考答案:
(1);(2).
试题解析:(1)时,,解得;时,满足题意;
时,∵,∴满足题意综上所述,............. 4分
(2)由(1),,则,
时,;时,;
,当时,,,
由已知,则,
令,则,
∵,
∴时,;时,;时,,
∴,∴,
综上所述,..............................8分
考点:函数的综合问题.
【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题,其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、全称命题、函数的最值、不等式的恒成立问题等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,此类问题的解答中正确理解题意,合理转化,准确运算是解答的关键,试题有一定的难度,属于难题.
19. 已知点A,B的坐标分别为(0,﹣3),(0,3).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是﹣3.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)斜率为k的直线l过点E(0,1),且与点M的轨迹交于C,D两点,kAC,kAD分别为直线AC,AD的斜率,探索对任意的实数k,kAC?kAD是否为定值,若是,则求出该值,若不是,请说明理由.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.
【分析】(1)设M(x,y),由kAM?kBM=﹣3,(x≠0)利用斜率计算公式即可得出;
(2)kAC?kAD为定值﹣6.设C(x1,y1),D(x2,y2).直线l的方程为:y=kx+1.与椭圆方程联立化为(3+k2)x2+2kx﹣8=0,利用根与系数的关系可得(y1+3)(y2+3)=.代入kAC?kAD=?,即可证明.
【解答】解:(1)设M(x,y),∵kAM?kBM=﹣3,
∴=﹣3,(x≠0).
化为=1,
∴点M的轨迹方程为=1,(x≠0).
(2)kAC?kAD为定值﹣6.
设C(x1,y1),D(x2,y2).直线l的方程为:y=kx+1.
联立,化为(3+k2)x2+2kx﹣8=0,
∴x1+x2=﹣,x1x2=.
∴(y1+3)(y2+3)=y1y2+3(y1+y2)+9
=(kx1+1)(kx2+1)+3(kx1+kx2+2)+9
=k2x1x2+4k(x1+x2)+16
=﹣+16
=.
∴kAC?kAD=?==﹣6为定值.
20. 已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512,且这三项 分别减去1,3,9后成等差数列.
(1)求{an}的首项和公比;
(2)设Sn=a12+a22+…+an2,求Sn.
参考答案:
略
21. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,∠PAB=60°.
(1)求证:AD⊥平面PAB;
(2)求直线PC与平面ABCD所成的角的正切值;
(3)求二面角P-BD-A的正切值.
参考答案:
(1)证明:在△PAD中,∵PA=2,AD=2,PD=,
∴PA2+AD2=PD2,∴AD⊥PA.
在矩形ABCD中,AD⊥AB.
∵PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB. …..…………………………………2分
(2)过点P作PH⊥AB于点H,连结AC.
∵AD⊥平面PAB,PH?平面ABCD,∴AD⊥PH.
又∵AD∩AB=A,∴PH⊥平面ABCD.
∴∠PCH是直线PC与平面ABCD所成的角
由题设可得,PH=PA·sin60°=,
AH=PA·cos60°=1,BH=AB-AH=2,
∴CH=
∴在Rt△PHC中,tan∠PCH= ……………………………6分
(3)过点H作HE⊥BD于点E,连结PE.
由(2)知PH⊥平面ABCD.
又∵PH?平面PHE,∴平面PHE⊥平面ABCD.
又∵平面PHE∩平面ABCD=HE,BD⊥HE,
∴BD⊥平面PHE.
而PE?平面PHE,∴BD⊥PE,
故∠PEH是二面角P-BD-A的平面角.
22. 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用原料3吨、原料2吨;生产每吨乙产品要用原料1吨、原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗原料不超过13吨、原料不超过18吨.那么该企业分别生产多少吨的甲、乙两种产品,可获得最大利润,且最大利润是多少?
参考答案:
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