2022年江西省赣州市东江中学高二数学理联考试卷含解析

2022年江西省赣州市东江中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设p：在内单调递增，，则是的（    ） A．必要不充分条件   B．充分不必要条件 C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 2. 抛物线的焦点恰好与椭圆的一个焦点重合，则=（    ） A. 1       B. 2        C. 4               D. 8 参考答案： C 3. 设表示三条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列三个命题： ①若，则；②若，是在内的射影，，则；③若则.      其中真命题的个数为（     ） A．0               B．1              C．2               D．3 参考答案： C 由表示三条不同的直线，表示三个不同的平面知：在①中，若，则平面成90°角，所以，故①正确；在 ②中，若是在 内的射影，，则由三垂线定理得，故②正确； 对于③，，则错误，如墙角的三个面的关系， 故③错误，真命题的个数为2，故选C.   4. A=，B={（x，y）|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为（　　） A．2π B．π﹣2 C．π D．π+2 参考答案： B 【考点】交集及其运算． 【分析】由题意作出图象，然根据面积公式计算即可得答案． 【解答】解：由A=，B={（x，y）|x+y≥2}，则A∩B所对应区域面积为如图阴影部分的面积， 则为π×4﹣=π﹣2， 故选：B 5. 已知奇函数在区间[0，+∞)上单调递增，则满足以<0的菇的取值范围是 A．(，+∞)  B．(，+∞)  C．(-∞，)  D．(-∞，) 参考答案： C 6. 在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是（　　） A．1或2或3或4 B．0或2或4 C．1或3 D．0 参考答案： B 【考点】四种命题． 【分析】根据逆否命题的等价性进行判断即可． 【解答】解：∵原命题和逆否命题互为等价命题， 逆命题和否命题互为等价命题， ∴四种命题真命题的个数为0或2或4个， 故选：B． 7. 如图，四边形中，， ，.将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是     (   ). A.  B. C.与平面所成的角为     D.四面体的体积为 参考答案： B 略 8. 四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（    ） Ａ.                  B. C.                   D. 参考答案： A 9. 设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A.        B.        C.       D. 参考答案： C 略 10. 如右图，是一程序框图，则输出结果为(     )     A．               B．      C．              D．   参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知a∈R，若f（x）=（x+﹣1）ex在区间（1，3）上有极值点，则a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣27，0） 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a范围即可． 【解答】解：∵f（x）=（x+﹣1）ex， ∴f′（x）=（）ex， 设h（x）=x3+ax﹣a， ∴h′（x）=3x2+a， a≥0时，h′（x）＞0在（1，3）上恒成立， 即函数h（x）在（1，3）上为增函数， ∵h（1）=1＞0，函数f（x）在（1，3）无极值点， a＜0时，h（x）=x3+a（x﹣1）， ∵x∈（1，3），h′（x）=3x2+a， 令h′（x）=0，解得：a=﹣3x2， 若在区间（1，3）上有极值点， 只需a=﹣3x2有解， 而﹣27＜﹣3x2＜0， 故﹣27＜a＜0， 故答案为：（﹣27，0）． 12. 点P（x，y）在线性约束条件表示的区域内运动，则|OP|的最小值为       ． 参考答案： 考点：简单线性规划． 专题：数形结合． 分析：由约束条件作出可行域，由点到直线的距离公式求得答案． 解答： 解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知，|OP|的最小值为原点O到直线x+y﹣1=0的距离， 即为． 故答案为：． 点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 13. 极坐标系中，曲线和曲线相交于点，则线段的长度为        ． 参考答案： 略 14. 与圆外切且与圆内切的动圆圆心轨迹方程为                      参考答案： 15. 抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，将向上一面的点数看作随机变量X，则X的方差是        ． 参考答案： 16. 已知的取值如下表所示： x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 从散点图分析，与线性相关，且，则          ． 参考答案： 2.6 略 17. 设集合A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠，则实数m的取值范围是________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 函数的图像与轴的交点至少有一个在原点的右侧. （1）求的取值范围； （2）对于（1）中的，设，不等式恒成立，求的取值 范围（表示不超过的最大整数）. 参考答案： （1）；（2）． 试题解析：（1）时，，解得；时，满足题意； 时，∵，∴满足题意综上所述，．．．．．．．．．．．．．　4分 （2）由（1），，则， 时，；时，； ，当时，，， 由已知，则， 令，则， ∵， ∴时，；时，；时，， ∴，∴， 综上所述，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 考点：函数的综合问题. 【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、全称命题、函数的最值、不等式的恒成立问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，此类问题的解答中正确理解题意，合理转化，准确运算是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题. 19. 已知点A，B的坐标分别为（0，﹣3），（0，3）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是﹣3． （1）求点M的轨迹方程； （2）斜率为k的直线l过点E（0，1），且与点M的轨迹交于C，D两点，kAC，kAD分别为直线AC，AD的斜率，探索对任意的实数k，kAC?kAD是否为定值，若是，则求出该值，若不是，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程． 【分析】（1）设M（x，y），由kAM?kBM=﹣3，（x≠0）利用斜率计算公式即可得出； （2）kAC?kAD为定值﹣6．设C（x1，y1），D（x2，y2）．直线l的方程为：y=kx+1．与椭圆方程联立化为（3+k2）x2+2kx﹣8=0，利用根与系数的关系可得（y1+3）（y2+3）=．代入kAC?kAD=?，即可证明． 【解答】解：（1）设M（x，y），∵kAM?kBM=﹣3， ∴=﹣3，（x≠0）． 化为=1， ∴点M的轨迹方程为=1，（x≠0）． （2）kAC?kAD为定值﹣6． 设C（x1，y1），D（x2，y2）．直线l的方程为：y=kx+1． 联立，化为（3+k2）x2+2kx﹣8=0， ∴x1+x2=﹣，x1x2=． ∴（y1+3）（y2+3）=y1y2+3（y1+y2）+9 =（kx1+1）（kx2+1）+3（kx1+kx2+2）+9 =k2x1x2+4k（x1+x2）+16 =﹣+16 =． ∴kAC?kAD=?==﹣6为定值． 20. 已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项 分别减去1,3,9后成等差数列． (1)求{an}的首项和公比； (2)设Sn＝a12＋a22＋…＋an2，求Sn. 参考答案： 略 21. (本小题满分12分)     如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°. (1)求证：AD⊥平面PAB； (2)求直线PC与平面ABCD所成的角的正切值； (3)求二面角P－BD－A的正切值． 参考答案： 　(1)证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝， ∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PA. 在矩形ABCD中，AD⊥AB. ∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB. …..…………………………………2分 (2)过点P作PH⊥AB于点H，连结AC. ∵AD⊥平面PAB，PH?平面ABCD，∴AD⊥PH. 又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD. ∴∠PCH是直线PC与平面ABCD所成的角 由题设可得，PH＝PA·sin60°＝， AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2， ∴CH＝ ∴在Rt△PHC中，tan∠PCH＝    ……………………………6分     (3)过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.     由(2)知PH⊥平面ABCD. 又∵PH?平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD. 又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE， ∴BD⊥平面PHE. 而PE?平面PHE，∴BD⊥PE， 故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角． 22. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用原料3吨、原料2吨；生产每吨乙产品要用原料1吨、原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗原料不超过13吨、原料不超过18吨．那么该企业分别生产多少吨的甲、乙两种产品，可获得最大利润，且最大利润是多少？ 参考答案：