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广西壮族自治区南宁市示范性普通中学2022年高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如果A为锐角, =( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系.
【专题】计算题.
【分析】由于sin(π+A)=﹣sinA=﹣,cos(π﹣A)=﹣cosA,A为锐角,可求得其值,从而可求得cos(π﹣A).
【解答】解:∵sin(π+A)=﹣sinA=﹣,
∴sinA=,又A为锐角,
∴A=;
∴cos(π﹣A)=﹣cosA=﹣cos=﹣.
故选D.
【点评】本题考查诱导公式的作用,关键在于掌握诱导公式及其应用,属于基础题.
2. 若x>0,则函数与y2=logax(a>0,且a≠1)在同一坐标系上的部分图象只可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】函数的图象.
【分析】结合指数函数和对数函数的图象和性质,分析出当a>1时,两个函数的图象形状,可得答案.
【解答】解:当a>1时,
函数为增函数,且图象过(0,﹣1)点,向右和x轴无限接近,
函数y2=logax(a>0,且a≠1)为增函数,且图象过(1,0)点,向左和y轴无限接近,
此时答案B符合要求,
当0<a<1时,
函数为减函数,且图象过(0,﹣1)点,
函数y2=logax(a>0,且a≠1)为减函数,且图象过(1,0)点,向左和y轴无限接近,
此时无满足条件的图象.
故选:B
【点评】本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质,是解答的关键.
3. 在区间[0,π]上随机取一个数x,使得的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
则,故概率为.
4. (5分)已知α,β均为锐角,且3sinα=2sinβ,3cosα+2cosβ=3,则α+2β的值为()
A. B. C. D. π
参考答案:
D
考点: 同角三角函数基本关系的运用.
专题: 三角函数的求值.
分析: 将已知两等式分别平方,左右两边相加求出cos(α+β)的值,再由已知两等式表示出sinβ与cosβ,代入化简得到的式子中求出cosα与cosβ的值,得到cos(α+β)=﹣cosβ,根据α,β均为锐角,化简即可求出α+2β的值.
解答: 由3sinα=2sinβ,得sinβ=sinα,由3cosα+2cosβ=3,得cosβ=﹣cosα,
将3sinα﹣2sinβ=0,两边平方得:(3sinα﹣2sinβ)2=0,
整理得:9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β=0①,
同理,将3cosα+2cosβ=3,两边平方得:(3cosα+2cosβ)2=9,
整理得:9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9②,
两式相加得9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β+9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9
整理得:13+12(cosαcosβ﹣sinαsinβ)=9,
即cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣,即cos(α+β)=﹣,
将sinβ=sinα,cosβ=﹣cosα代入得:cosα(﹣cosα)﹣sin2α=﹣,
整理得:cosα﹣cos2α﹣(1﹣cos2α)=﹣,
解得:cosα=,cosβ=﹣cosα=,
即cos(α+β)=﹣cosβ,
∵α、β∈(0,),∴α+β∈(0,π),
∴cos(α+β)=cos(π﹣β),即α+β=π﹣β,
则α+2β=π.
故选:D.
点评: 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
5. 设函数f(x)=,则f()=( )
A. B.﹣ C. D.16
参考答案:
A
【考点】分段函数的应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】直接利用分段函数,逐步求解函数值即可.
【解答】解:函数f(x)=,则f(2)=4+2﹣2=4,
f()=f()=1﹣=.
故选:A.
【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.
6. 若,则与夹角的余弦值为()
A. B. C. D. 1
参考答案:
A
【分析】
根据向量的夹角公式,准确运算,即可求解,得到答案.
【详解】由向量,
则与夹角的余弦值为,故选A.
【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式的应用,其中解答中熟记向量的夹角公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
7. 已知直线与直线平行,则实数的值是( )
A.-1或2 B.0或1 C.-1 D.2
参考答案:
C
8. 已知集合A={x|x2﹣1=0},则下列式子表示正确的有( )
①1∈A②{﹣1}∈A③?∈A④{﹣1,1}?A.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【专题】集合思想;定义法;集合.
【分析】先表示出集合A={﹣1,1},再根据集合与元素,集合与集合间的关系对各式作出判断,其中①④是正确的.
【解答】解:因为A={x|x2﹣1=0}={﹣1,1},则:
1∈A,所以①正确;
{﹣1}?A,所以②不正确;
??A,所以③不正确;
{﹣1,1}?A,所以④正确;
因此,正确的式子有2个,
故答案为:B.
【点评】本题主要考查了集合的包含关系的判断和应用,涉及集合的表示,子集的概念和空集的应用,属于基础题.
9. 已知集合,其中,且,则中所有元素之和是().
A.120 B.112 C.92 D.84
参考答案:
C
解:根据集合的形式,可以把,,,看做四位二进制数,四位二进制共可以表示0至15,
∵,
∴可表示8至15的数字,由等差数列求和可得.
故选.
10. 函数的最小正周期是 ( )
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下图是一个物体的三视图,根据图中尺寸(单位:cm),计算它的体积为 cm3.
参考答案:
12. 关于函数有下列命题:① 的最大值为2;② x =是的一条对称轴;③(,0)是的一个对称中心;④ 将的图象向右平移个单位,可得到的图象,其中正确的命题序号是 Δ .(把你认为正确命题的序号都写上).
参考答案:
①,②,④
略
13. 某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:
(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;
(ⅱ)女学生人数多于教师人数;
(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为__________.
②该小组人数的最小值为__________.
参考答案:
①6 ②12
试题分析:设男生人数、女生人数、教师人数分别为,则.
①,
②
【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙,解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力,同时注意不等式关系以及正整数这个条件.
14. 化简(log43+log83)(log32+log92)= .
参考答案:
【考点】对数的运算性质.
【分析】根据对数的运算法则进行计算;
【解答】解:(log43+log83)(log32+log92)=()()
=()(+)=×=,
故答案为:.
15. 已知f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=x+1,则f(﹣1)= .
参考答案:
2
【考点】函数的值.
【分析】由题意得当x<0时,f(x)=﹣x+1,由此能求出f(﹣1).
【解答】解:∵f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=x+1,
∴当x<0时,f(x)=﹣x+1,
∴f(﹣1)=﹣(﹣1)+1=2.
故答案为:2.
16. 已知实数,函数,若,则实数的
值为 ▲ .
参考答案:
8或
17. 函数的值域为 .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分) 已知数列{an}各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值;
参考答案:
(1)因为(an+1)2=4Sn,所以Sn=,Sn+1=.
所以Sn+1-Sn=an+1=
即4an+1=an+12-an2+2an+1-2an,
∴2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).
因为an+1+an≠0,所以an+1-an=2,即{an}为公差等于2的等差数列.由(a1+1)2=4a1,解得a1=1,所以an=2n-1.
(2)由(1)知bn==,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=
∵Tn+1-Tn=
∴Tn+1>Tn.∴数列{Tn}为递增数列,
∴Tn的最小值为T1=.
19. 设函数f(x)=ax+(k﹣1)a﹣x+k2(a>0,a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)当f(1)>0时,求使不等式f(x2+x)+f(t﹣2x)>0恒成立的实数t的取值范围;
(3)若f(1)=,设函数g(x)=a2x+a﹣2x﹣2mf(x),若g(x)在区间[1,+∞)上的最小值为﹣1,求实数m的值.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质.
【分析】(1)根据题意,由函数奇偶性的性质可得f(0)=0,即1+k﹣1+k2=0,解得k=0或k=1,验证k=1和k=0时,f(x)是不是奇函数,即可得答案;
(2)根据题意,由于f(1)>0,可得a2﹣1>0,a>1,分析可得f(x)在R上为增函数,结合单调性的性质可得f(x2+x)>f(2x﹣t)恒成立,变形可得t>﹣x2+x恒成立,结合二次函数的性质,分析﹣x2+x的最大值,即可得实数t的取值范围;
(3)由f(1)=分析可得,结合a>0解得a的值,则g(x)的解析式,利用还原法分析可得答案.
【解答】解:(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(0)=0,即1+k﹣1+k2=0,解得k=0或k=1,
当k=1时,显然f(x)不是奇函数;
当k=0时,f(x)=ax﹣a﹣x,满足f(﹣x)+f(x)=0,
f(x)是奇函数,所以k=0.
(2)因为,a>0,所以a2﹣1>0,a>1,f(x)在R上为增函数,
由f(x2+x)+f(t﹣2x)>0,得f(x2+x)>f(2x﹣t),即x2+x>2x﹣t,即t>﹣x2+x恒成立,
又因为﹣x2+x的最大值为,所以.
所以实数t的取值范围是.
(3)由,解得a=2或,
又a>0,所以a=2,
则g(x)=22x+2﹣2x﹣2m(2x﹣2﹣x)=(2x﹣2﹣x)2﹣2m(2x﹣2﹣x)+2,
设u=2x﹣2﹣x,当x∈[1,+∞)时,,y=u2﹣2mu+2在上的最小值为﹣1.
所以或,解得.
20. 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C对应的边,已知:l0b2cosB=6abcosC+3(b2+c2-a2).
(1)求cosB;
(2)若AB=2,D为BC边上的点,且BD=2DC,∠ADC=,求△ADC的面积。
参考答案:
21. 已知函数f(x)=x
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