广西壮族自治区南宁市示范性普通中学2022年高一数学理月考试题含解析

广西壮族自治区南宁市示范性普通中学2022年高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果A为锐角， =（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系． 【专题】计算题． 【分析】由于sin（π+A）=﹣sinA=﹣，cos（π﹣A）=﹣cosA，A为锐角，可求得其值，从而可求得cos（π﹣A）． 【解答】解：∵sin（π+A）=﹣sinA=﹣， ∴sinA=，又A为锐角， ∴A=； ∴cos（π﹣A）=﹣cosA=﹣cos=﹣． 故选D． 【点评】本题考查诱导公式的作用，关键在于掌握诱导公式及其应用，属于基础题． 2. 若x＞0，则函数与y2=logax（a＞0，且a≠1）在同一坐标系上的部分图象只可能是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【分析】结合指数函数和对数函数的图象和性质，分析出当a＞1时，两个函数的图象形状，可得答案． 【解答】解：当a＞1时， 函数为增函数，且图象过（0，﹣1）点，向右和x轴无限接近， 函数y2=logax（a＞0，且a≠1）为增函数，且图象过（1，0）点，向左和y轴无限接近， 此时答案B符合要求， 当0＜a＜1时， 函数为减函数，且图象过（0，﹣1）点， 函数y2=logax（a＞0，且a≠1）为减函数，且图象过（1，0）点，向左和y轴无限接近， 此时无满足条件的图象． 故选：B 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质，是解答的关键． 3. 在区间[0,π]上随机取一个数x，使得的概率为（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 则，故概率为. 4. （5分）已知α，β均为锐角，且3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，则α+2β的值为（） A． B． C． D． π 参考答案： D 考点： 同角三角函数基本关系的运用． 专题： 三角函数的求值． 分析： 将已知两等式分别平方，左右两边相加求出cos（α+β）的值，再由已知两等式表示出sinβ与cosβ，代入化简得到的式子中求出cosα与cosβ的值，得到cos（α+β）=﹣cosβ，根据α，β均为锐角，化简即可求出α+2β的值． 解答： 由3sinα=2sinβ，得sinβ=sinα，由3cosα+2cosβ=3，得cosβ=﹣cosα， 将3sinα﹣2sinβ=0，两边平方得：（3sinα﹣2sinβ）2=0， 整理得：9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β=0①， 同理，将3cosα+2cosβ=3，两边平方得：（3cosα+2cosβ）2=9， 整理得：9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9②， 两式相加得9sin2α﹣12sinαsinβ+4sin2β+9cos2α+12cosαcosβ+4cos2β=9 整理得：13+12（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=9， 即cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣，即cos（α+β）=﹣， 将sinβ=sinα，cosβ=﹣cosα代入得：cosα（﹣cosα）﹣sin2α=﹣， 整理得：cosα﹣cos2α﹣（1﹣cos2α）=﹣， 解得：cosα=，cosβ=﹣cosα=， 即cos（α+β）=﹣cosβ， ∵α、β∈（0，），∴α+β∈（0，π）， ∴cos（α+β）=cos（π﹣β），即α+β=π﹣β， 则α+2β=π． 故选：D． 点评： 此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 5. 设函数f（x）=，则f（）=（　　） A． B．﹣ C． D．16 参考答案： A 【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】直接利用分段函数，逐步求解函数值即可． 【解答】解：函数f（x）=，则f（2）=4+2﹣2=4， f（）=f（）=1﹣=． 故选：A． 【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力． 6. 若，则与夹角的余弦值为（） A. B. C. D. 1 参考答案： A 【分析】 根据向量的夹角公式，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】由向量， 则与夹角的余弦值为,故选A. 【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7. 已知直线与直线平行，则实数的值是（  ） A．-1或2           B．0或1           C．-1           D．2 参考答案： C 8. 已知集合A={x|x2﹣1=0}，则下列式子表示正确的有（　　） ①1∈A②{﹣1}∈A③?∈A④{﹣1，1}?A． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： B 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】集合思想；定义法；集合． 【分析】先表示出集合A={﹣1，1}，再根据集合与元素，集合与集合间的关系对各式作出判断，其中①④是正确的． 【解答】解：因为A={x|x2﹣1=0}={﹣1，1}，则： 1∈A，所以①正确； {﹣1}?A，所以②不正确； ??A，所以③不正确； {﹣1，1}?A，所以④正确； 因此，正确的式子有2个， 故答案为：B． 【点评】本题主要考查了集合的包含关系的判断和应用，涉及集合的表示，子集的概念和空集的应用，属于基础题． 9. 已知集合，其中，且，则中所有元素之和是（）． A．120 B．112 C．92 D．84 参考答案： C 解：根据集合的形式，可以把，，，看做四位二进制数，四位二进制共可以表示0至15， ∵， ∴可表示8至15的数字，由等差数列求和可得． 故选． 10. 函数的最小正周期是                       （  ）                       参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），计算它的体积为       cm3. 参考答案： 12. 关于函数有下列命题：① 的最大值为2;② x =是的一条对称轴；③（,0）是的一个对称中心；④ 将的图象向右平移个单位，可得到的图象，其中正确的命题序号是   Δ　　.（把你认为正确命题的序号都写上）． 参考答案： ①,②,④ 略 13. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： （ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________． ②该小组人数的最小值为__________． 参考答案： ①6   ②12 试题分析：设男生人数、女生人数、教师人数分别为，则. ①， ② 【名师点睛】本题主要考查了命题的逻辑分析、简单的合情推理, 题目设计巧妙，解题时要抓住关键,逐步推断,本题主要考查考生分析问题、解决问题的能力，同时注意不等式关系以及正整数这个条件. 14. 化简（log43+log83）（log32+log92）=　　． 参考答案： 【考点】对数的运算性质． 【分析】根据对数的运算法则进行计算； 【解答】解：（log43+log83）（log32+log92）=（）（） =（）（+）=×=， 故答案为：． 15. 已知f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，则f（﹣1）=　　． 参考答案： 2 【考点】函数的值． 【分析】由题意得当x＜0时，f（x）=﹣x+1，由此能求出f（﹣1）． 【解答】解：∵f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1， ∴当x＜0时，f（x）=﹣x+1， ∴f（﹣1）=﹣（﹣1）+1=2． 故答案为：2． 16. 已知实数,函数，若，则实数的 值为   ▲   ． 参考答案： 8或 17. 函数的值域为        ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分) 已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn=(an+1)2. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值； 参考答案： (1)因为(an+1)2=4Sn,所以Sn=,Sn+1=. 所以Sn+1-Sn=an+1= 即4an+1=an+12-an2+2an+1-2an, ∴2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an). 因为an+1+an≠0,所以an+1-an=2,即{an}为公差等于2的等差数列.由(a1+1)2=4a1,解得a1=1,所以an=2n-1. (2)由(1)知bn==, ∴Tn=b1+b2+…+bn = ∵Tn+1-Tn= ∴Tn+1>Tn.∴数列{Tn}为递增数列， ∴Tn的最小值为T1=. 19. 设函数f（x）=ax+（k﹣1）a﹣x+k2（a＞0，a≠1）是定义域为R的奇函数． （1）求实数k的值； （2）当f（1）＞0时，求使不等式f（x2+x）+f（t﹣2x）＞0恒成立的实数t的取值范围； （3）若f（1）=，设函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x），若g（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣1，求实数m的值． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质． 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（0）=0，即1+k﹣1+k2=0，解得k=0或k=1，验证k=1和k=0时，f（x）是不是奇函数，即可得答案； （2）根据题意，由于f（1）＞0，可得a2﹣1＞0，a＞1，分析可得f（x）在R上为增函数，结合单调性的性质可得f（x2+x）＞f（2x﹣t）恒成立，变形可得t＞﹣x2+x恒成立，结合二次函数的性质，分析﹣x2+x的最大值，即可得实数t的取值范围； （3）由f（1）=分析可得，结合a＞0解得a的值，则g（x）的解析式，利用还原法分析可得答案． 【解答】解：（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数， 所以f（0）=0，即1+k﹣1+k2=0，解得k=0或k=1， 当k=1时，显然f（x）不是奇函数； 当k=0时，f（x）=ax﹣a﹣x，满足f（﹣x）+f（x）=0， f（x）是奇函数，所以k=0． （2）因为，a＞0，所以a2﹣1＞0，a＞1，f（x）在R上为增函数， 由f（x2+x）+f（t﹣2x）＞0，得f（x2+x）＞f（2x﹣t），即x2+x＞2x﹣t，即t＞﹣x2+x恒成立， 又因为﹣x2+x的最大值为，所以． 所以实数t的取值范围是． （3）由，解得a=2或， 又a＞0，所以a=2， 则g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2， 设u=2x﹣2﹣x，当x∈[1，+∞）时，，y=u2﹣2mu+2在上的最小值为﹣1． 所以或，解得． 20. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边，已知：l0b2cosB＝6abcosC＋3(b2＋c2－a2). (1)求cosB； (2)若AB＝2，D为BC边上的点，且BD＝2DC，∠ADC＝，求△ADC的面积。 参考答案： 21. 已知函数f（x）=x