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北京黄土岗中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若实数、、成等比数列,则函数与轴的交点的个数为( )
1 0 无法确定
参考答案:
B
略
2. 如图,已知两个正方形和不在同一平面内,平面平面,分别为的中点,若两个正方形的顶点都在球上,且球的表面积为,则的长为
A.1 B. C.2 D.
参考答案:
D
3. 在平行四边形ABCD中,++=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
考点: 向量的加法及其几何意义.
专题: 平面向量及应用.
分析: 根据题意,画出图形,结合图形,利用平面向量的加法运算法则进行运算即可.
解答: 解:画出图形,如图所示;
++=(+)+
=+
=+
=.
故选:D.
点评: 本题考查了平面向量的加减运算问题,解题时应画出图形,结合图形进行解答问题,是容易题.
4. 已知函数f(x)=的定义域是一切实数,则m的取值范围是( )
A.0<m≤4 B.0≤m≤1 C.m≥4 D.0≤m≤4
参考答案:
D
【考点】函数恒成立问题;函数的定义域及其求法.
【分析】根据函数的定义域是全体实数,得到mx2+mx+1≥0恒成立,即可得到结论.
【解答】解:若函数f(x)=的定义域是一切实数,
则等价为mx2+mx+1≥0恒成立,
若m=0,则不等式等价为1≥0,满足条件,
若m≠0,则满足,
即,
解得0<m≤4,
综上0≤m≤4,
故选:D
5. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
6. 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,,,且,则b=( )
A. B. 2 C. D. 3
参考答案:
B
由余弦定理得:,所以,即,解得:或,因为,所以,故选B.
考点:余弦定理.
7. 已知向量,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 设集合P={0,1},那么集合P的子集个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
【考点】子集与真子集.
【专题】集合.
【分析】本题考察集合子集的个数,集合中若有n个元素,则有2n个子集.
【解答】解:集合P={0,1},则有22=4个子集:?,{0},{1},{0,1}.
故选:D.
【点评】本题考查集合子集个数,属于基础题目,较简单.
9. 将转化为对数形式,其中错误的是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 若则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等比数列{an}满足其公比q=_________________
参考答案:
【分析】
观察式子,将两式相除即可得到答案.
【详解】根据题意,可知,于是.
【点睛】本题主要考查等比数列公比的相关计算,难度很小.
12. 已知集合A={x|x2+x-6=0},B={x|ax+1=0},满足AB,则a能取的一切值是________.
参考答案:
,-
13. 若2a=5b=10,则+=_______.
参考答案:
1
14. 已知y=f(x)是定义在(﹣2,2)上的增函数,若f(m﹣1)<f(1﹣2m),则m的取值范围是 .
参考答案:
【考点】函数单调性的性质.
【分析】在(﹣2,2)上的增函数,说明(﹣2,2)为定义域,且函数值小对应自变量也小,两个条件合着用即可
【解答】解:依题意,原不等式等价于??﹣
.
故答案为:
15. 已知f(x)=,g(x)=x2﹣4x﹣4,若f(a)+g(b)=0,则b的取值范围为 .
参考答案:
[﹣1,5]
【考点】分段函数的应用.
【分析】根据函数的单调性求出f(x)的值域,从而得到g(b)的取值范围,解一元二次不等式即可.
【解答】解:当x时,f(x)=ln(x+1)递增,可得f(x)≥﹣ln2;
当x<﹣,即﹣2<<0时,f(x)=+=(+1)2﹣1∈[﹣1,0),
则f(x) 的值域为[﹣1,+∞),
由f(a)+g(b)=0,
可得g(b)=﹣f(a),
即b2﹣4b﹣4≤1,
解得﹣1≤b≤5,
即b的取值范围为[﹣1,5].
故答案为[﹣1,5].
16. 函数的值域是 .
参考答案:
17. 已知集合,,且,则实数的值为 ;
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图, =(6,1), ,且 。
(1)求x与y间的关系; (2)若 ,求x与y的值及四边形ABCD的面积。
参考答案:
(1)∵ ,
∴ 由 ,得x(y-2)=y(4+x), x+2y=0.
(2) 由 =(6+x, 1+y), 。
∵ , ∴(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0,
又x+2y=0, ∴ 或
∴当 时, , 当 时, 。
故 同向,
略
19.
参考答案:
解:(Ⅰ)设圆心,则,解得,………………2分
则圆的方程为,将点的坐标代入得,
故圆的方程为. ………………4分
(Ⅱ)当切线的斜率存在时,设切线方程为,则
,解得,
所以切线方程为,………………7分
当切线的斜率不存在时,切线方程为,………………8分
所以切线的方程为或.………………9分
(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,
则直线的方程为:,直线的方程为:,
由, 得 ,……10分
因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得,
同理,, …………………12分
所以=,
所以,直线和一定平行.……………………………………14分
20. 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),的定义域为集合B;集合A={x|a﹣1<x<2a+1},若A∩B=?,求实数a的取值集合.
参考答案:
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【专题】计算题.
【分析】利用复合函数定义域列出关于x的不等式求出集合B是解决该问题的关键.集合A中两个端点含有字母,对字母的讨论又是解决该题的另一个关键,对集合A分是否为空集进行讨论.
【解答】解:由得出B={x|0<x<1},
∵A∩B=?
①当A=?时,有2a+1≤a﹣1?a≤﹣2
②当A≠?时,有2a+1>a﹣1?a>﹣2[来源:学科网]
又∵A∩B=?,则有2a+1≤0或a﹣1≥1
∴
由①②可知a的取值集合为.
【点评】本题考查复合函数求定义域的思想,考查分类讨论思想,考查求取值范围的列不等式求解的思想,注意数轴分析法在求解中的运用.
21. 在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知,.
(1)若△ABC的面积等于,求a,c;
(2)若,求角A.
参考答案:
(1)可知, ∴ ,
∵ ,即,
∴ ,得.
(2)由,可得,∴ ,
代入,得,,
∴ ,∴ .
22. 已知几何体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形.
(Ⅰ)求此几何体的体积的大小;
(Ⅱ)求异面直线DE与AB所成角的余弦值;
(Ⅲ)求二面角A-ED-B的正弦值.
参考答案:
(Ⅰ)AC⊥平面BCE, 则
∴几何体的体积V为16.
(Ⅱ)取EC的中点是F,连结BF,
则BF//DE,∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角.
在△BAF中,AB=,BF=AF=.∴.
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为
(2)AC⊥平面BCE,过C作CG⊥DE交DE于G,连AG.可得DE⊥平面ACG,
从而AG⊥DE,∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角.
在△ACG中,∠ACG=90°,AC=4,CG=,∴.∴.
∴二面角A-ED-B的的正弦值为.
略
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