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山西省运城市河津城北中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知正项数列{an}满足,则a6=( )
A.2 B.±2 C.±4 D.4
参考答案:
D
【考点】数列递推式.
【专题】计算题;函数思想;数学模型法;等差数列与等比数列.
【分析】由题设知an+12﹣an2=an2﹣an﹣12,推出数列{an2}为等差数列,首项为1,求出公差d,由此能求出a6.
【解答】解:∵正项数列{an}中,a1=1,a2=2,2an2=an+12+an﹣12(n≥2),
∴an+12﹣an2=an2﹣an﹣12,
∴数列{an2}为等差数列,首项为1,公差d=a22﹣a12=3,
∴an2=1+3(n﹣1)=3n﹣2,
∴a62=3×6﹣2=16,
∴a6=4,
故选:D.
【点评】本题考查数列的递推式的应用,是基础题.解题时要认真审题,注意等差数列的性质和应用.
2. 天气预报说,在今后三天中,每天下雨的概率均为0.4,有人用计算机产生0到9之间取整数值的随机数,他用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,产生3个随机数作为一组,产生20组随机数如下:027 556 488 730 113 537 989 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393,以此预测这三天中至少有两天下雨的概率大约是( )
A.0.30 B.0.33 C.0.35 D.0.375
参考答案:
C
【考点】模拟方法估计概率.
【分析】由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数,在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有可以通过列举得到共7组随机数,根据概率公式,得到结果.
【解答】解:由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果,
经随机模拟产生了如下20组随机数,
在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有:
113,191,271,932,812,431,393共7组随机数,
∴所求概率为0.35.
故选C.
3. 抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点,则P处的瞬时变化率为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.
参考答案:
B
5. 右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,
P表示估计结果,则图中空白框内应填入
参考答案:
D
略
6. 复数的共轭复数是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
∵,∴复数的共轭复数是,故选C.
8. 在△ABC中,若a、b、c分别为角A,B,C的对边,且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则有
A.a、c、b成等比数列 B.a、c、b成等差数列
C.a、b、c成等差数列 D.a、b、c成等比数列
参考答案:
D
9. 已知平面和直线m,则在平面内至少有一条直线与直线m( )
A.垂直 B.平行 C.相交 D.以上都有可能
参考答案:
A
10. 已知空间四边形ABCD中,G为CD的中点,则等于
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. ,在上有最大值,则m最大值为__________.
参考答案:
3
【分析】
先对函数求导,求出,再由导数的方法研究函数单调性,进而可求出结果.
【详解】因为,所以,因此,
解得,所以,
由得或;由得,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;
所以当时,取极大值,由得或;
又在上有最大值,
所以只需.
故答案3
【点睛】本题主要考查导数的应用,由函数在给定区间有最大值求参数,只需利用导数的方法研究函数单调性,即可求解,属于常考题型.
12. 已知幂函数的图象过(4,2)点,则__________
参考答案:
13. 已知是两条异面直线,,那么与的位置关系____________________.
参考答案:
14. 已知某随机变量X的分布列如下():
X
1
2
3
P
则随机变量X的数学期望=_______,方差=____________.
参考答案:
15. 已知△ABC的三边a,b,c既成等差数列,又成等比数列,则△ABC的形状是_______.
参考答案:
等边三角形
16. 下列说法:
①函数f(x)=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间(1,2);
②若关于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立,则a∈(0,1);
③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点;
④已知函数f(x)=log2为奇函数,则实数a的值为1.
正确的有 .(请将你认为正确的说法的序号都写上).
参考答案:
①④
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】函数的性质及应用;简易逻辑.
【分析】对于①:结合函数的单调性,利用零点存在性定理判断;
对于②:分a=0和a≠0进行讨论,a≠0时结合二次函数的图象求解;
对于③:结合图象及导数进行判断;
对于④:利用奇函数定义式,f(﹣x)+f(x)=0恒成立求a,注意定义域.
【解答】解:对于①:函数f(x)=lnx+3x﹣6[m,n]在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=ln1+3×1﹣6=﹣3<0,f(2)=ln2+3×2﹣6=ln2>0.所以①正确;
对于②:当a=0时原不等式变形为1>0,恒成立;当a≠0时,要使关于x的不等式ax2+2ax+1>0恒成立,则a>0且△=(2a)2﹣4a×1<0?0<a<1,综上可得a的范围是[0,1),故②不正确;
对于③:令函数y=x﹣sinx,则y′=1﹣cosx,所以该函数在[0,+∞)上是增函数,且x=0时最小,且该函数是奇函数,所以函数y=x﹣sinx只有x=0一个零点,即函数y=x的图象与函数y=sinx的图象只有一个交点,故③不正确;
④由奇函数得:,,a2=1,因为a≠﹣1,所以a=1.故④正确.
故答案为:①④.
【点评】该题目考查了函数的奇偶性的定义、零点定理、等基础知识,在应用过程中要注意准确把握定理应用的要素与条件,切不可想当然.
17. 与椭圆+=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆标准方程为 .
参考答案:
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】由已知得所求椭圆的焦点坐标为(±,0),离心率为,由此能求出椭圆方程.
【解答】解:由椭圆+=1,
得a2=9,b2=4,
∴c2=a2﹣b2=5,
∴该椭圆的焦点坐标为(±,0).
设所求椭圆方程为,a>b>0,
则,又,解得a=5.
∴b2=25﹣5=20.
∴所求椭圆方程为:.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西45°,相距10海里C处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援
参考答案:
解析:本题主要考查正、余弦定理的应用。
设C船运动到B处的距离为t海里。
则
……6分
又设
则 ∴乙船应朝北偏东75°的方向沿直线前往B处求援. ……12分
19. 在△ABC中,三个角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知三个角A、B、C满足关系式.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△ABC的面积为,求边a的最小值.
参考答案:
(I);……7分
(II)……14分
20. 设是两个不共线的向量,,若A、B、D三点共线,求k的值.
参考答案:
即
由于可得:
故
21. 已知是正数组成的数列,,且点在函数 的图象上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足,,求证:;
参考答案:
(Ⅰ)将点代入,
得,即 (2分)
又∵,所以数列是以为首项,公差为的等差数列.
故. (5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:,又,从而,
∴
. (8分)
因为
,
所以. (12分)
【解析】略
22. 在平面直角坐标系中,点P到两点,的距离之和等于4,设点P的轨迹为.
(1)写出C的方程;
(2)设直线与C交于A,B两点.k为何值时?此时的值是多少?
参考答案:
解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,
长半轴为2的椭圆.它的短半轴,故曲线C的方程为.
(2)设,其坐标满足
消去y并整理得,
故.
,即.而,
于是.
所以时,,故.
当时,,.
,
而,
所以.
略
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