山西省运城市河津城北中学高二数学理期末试卷含解析

山西省运城市河津城北中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知正项数列{an}满足，则a6=(     ) A．2 B．±2 C．±4 D．4 参考答案： D 【考点】数列递推式． 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列． 【分析】由题设知an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，推出数列{an2}为等差数列，首项为1，求出公差d，由此能求出a6． 【解答】解：∵正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2）， ∴an+12﹣an2=an2﹣an﹣12， ∴数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3， ∴an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2， ∴a62=3×6﹣2=16， ∴a6=4， 故选：D． 【点评】本题考查数列的递推式的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意等差数列的性质和应用． 2. 天气预报说，在今后三天中，每天下雨的概率均为0.4，有人用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，他用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，产生3个随机数作为一组，产生20组随机数如下：027   556   488   730   113   537   989   907   966   191   925   271   932   812   458   569   683   431   257   393，以此预测这三天中至少有两天下雨的概率大约是（　　） A．0.30 B．0.33 C．0.35 D．0.375 参考答案： C 【考点】模拟方法估计概率． 【分析】由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有可以通过列举得到共7组随机数，根据概率公式，得到结果． 【解答】解：由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果， 经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有： 113，191，271，932，812，431，393共7组随机数， ∴所求概率为0.35． 故选C． 3. 抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 参考答案： D 4. 已知点P(1,2)是曲线y=2x2上一点，则P处的瞬时变化率为    （    ） A．2      B．4        C．6        D． 参考答案： B 5. 右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图， P表示估计结果，则图中空白框内应填入   参考答案： D 略 6. 复数的共轭复数是 A.  B. C.  D. 参考答案： D 略 7. 复数的共轭复数是(    ) A．          B．       C．         D． 参考答案： C ∵，∴复数的共轭复数是，故选C. 8. 在△ABC中，若a、b、c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（A－C）＝1，则有 A．a、c、b成等比数列                B．a、c、b成等差数列 C．a、b、c成等差数列 D．a、b、c成等比数列 参考答案： D 9. 已知平面和直线m，则在平面内至少有一条直线与直线m（     ） A．垂直 B．平行 C．相交      D．以上都有可能 参考答案： A 10. 已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则等于 （A）       （B）        （C）        （D） 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. ，在上有最大值，则m最大值为__________． 参考答案： 3 【分析】 先对函数求导，求出，再由导数的方法研究函数单调性，进而可求出结果. 【详解】因为，所以，因此， 解得，所以， 由得或；由得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，取极大值，由得或； 又在上有最大值， 所以只需. 故答案3 【点睛】本题主要考查导数的应用，由函数在给定区间有最大值求参数，只需利用导数的方法研究函数单调性，即可求解，属于常考题型. 12. 已知幂函数的图象过（4，2）点，则__________ 参考答案： 13. 已知是两条异面直线，，那么与的位置关系____________________. 参考答案： 14. 已知某随机变量X的分布列如下（）： X 1 2 3 P     则随机变量X的数学期望=_______，方差=____________. 参考答案： 15. 已知△ABC的三边a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则△ABC的形状是_______. 参考答案： 等边三角形  16. 下列说法： ①函数f（x）=lnx+3x﹣6的零点只有1个且属于区间（1，2）； ②若关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）； ③函数y=x的图象与函数y=sinx的图象有3个不同的交点； ④已知函数f（x）=log2为奇函数，则实数a的值为1． 正确的有     ．（请将你认为正确的说法的序号都写上）． 参考答案： ①④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】函数的性质及应用；简易逻辑． 【分析】对于①：结合函数的单调性，利用零点存在性定理判断； 对于②：分a=0和a≠0进行讨论，a≠0时结合二次函数的图象求解； 对于③：结合图象及导数进行判断； 对于④：利用奇函数定义式，f（﹣x）+f（x）=0恒成立求a，注意定义域． 【解答】解：对于①：函数f（x）=lnx+3x﹣6[m，n]在（0，+∞）上是增函数，且f（1）=ln1+3×1﹣6=﹣3＜0，f（2）=ln2+3×2﹣6=ln2＞0．所以①正确； 对于②：当a=0时原不等式变形为1＞0，恒成立；当a≠0时，要使关于x的不等式ax2+2ax+1＞0恒成立，则a＞0且△=（2a）2﹣4a×1＜0?0＜a＜1，综上可得a的范围是[0，1），故②不正确； 对于③：令函数y=x﹣sinx，则y′=1﹣cosx，所以该函数在[0，+∞）上是增函数，且x=0时最小，且该函数是奇函数，所以函数y=x﹣sinx只有x=0一个零点，即函数y=x的图象与函数y=sinx的图象只有一个交点，故③不正确； ④由奇函数得：，，a2=1，因为a≠﹣1，所以a=1．故④正确． 故答案为：①④． 【点评】该题目考查了函数的奇偶性的定义、零点定理、等基础知识，在应用过程中要注意准确把握定理应用的要素与条件，切不可想当然． 17. 与椭圆+=1有相同的焦点，且离心率为的椭圆标准方程为　　． 参考答案： 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】由已知得所求椭圆的焦点坐标为（±，0），离心率为，由此能求出椭圆方程． 【解答】解：由椭圆+=1， 得a2=9，b2=4， ∴c2=a2﹣b2=5， ∴该椭圆的焦点坐标为（±，0）． 设所求椭圆方程为，a＞b＞0， 则，又，解得a=5． ∴b2=25﹣5=20． ∴所求椭圆方程为：． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西45°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援 参考答案： 解析：本题主要考查正、余弦定理的应用。                     设C船运动到B处的距离为t海里。     则          ……6分 又设    则   ∴乙船应朝北偏东75°的方向沿直线前往B处求援. ……12分 19. 在△ABC中，三个角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知三个角A、B、C满足关系式． （Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积为，求边a的最小值．   参考答案： （I）；……7分 （II）……14分   20. 设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值. 参考答案： 即 由于可得：   故 21. 已知是正数组成的数列，，且点在函数 的图象上． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，，求证：； 参考答案： （Ⅰ）将点代入， 得，即                            （2分） 又∵，所以数列是以为首项，公差为的等差数列． 故．                                （5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知：，又，从而， ∴ ．                                     （8分） 因为 ， 所以．                                      （12分）   【解析】略 22. 在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为． （1）写出C的方程； （2）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？ 参考答案： 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点， 长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．  （2）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． ，即．而，  于是． 所以时，，故． 当时，，． ， 而， 所以．   略