2022-2023学年山西省晋中市介休第六中学高一数学理模拟试题含解析

2022-2023学年山西省晋中市介休第六中学高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域为，则的定义域为（    ） A.   B.     C.     D.   参考答案： B 2. 设函数f（x）=，已知f（a）＞1，则a的取值范围是（   ） A. （－∞，－2）∪（－，+∞） B.（－，） C. （－∞，－2）∪（－，1） D.（－2，－）∪（1，+∞） 参考答案： C 3. 从一副扑克牌（54张）中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是（　　） 　 A． B． C． D． 参考答案： D 考点： 等可能事件的概率． 专题： 概率与统计． 分析： 用K的扑克张数除以一副扑克的总张数即可求得概率． 解答： 解：∵一副扑克共54张，有4张K， ∴正好为K的概率为=， 故选D． 点评： 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 4. 设向量若，则的最小值为（    ） A、   B、1   C、   D、 参考答案： C 略 5. （5分）如图所示，一个四棱锥的主视图和侧视图均为直角三角形，俯视图为矩形，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 参考答案： D 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形ABCD，进而可得可得△PAB 和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了两个直角三角形△PCB 和△PCD，由此可得直角三角形的个数． 解答： 满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直， 画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示， 不妨令PA⊥矩形ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD， 故△PAB 和△PAD都是直角三角形． 又矩形中 CB⊥AB，CD⊥AD． 这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB， CD垂直于平面PAD内的两条相交直线 PA、AD， 由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD， ∴CB⊥PB， CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形． 故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个． 故选D． 点评： 本题主要考查证明线线垂直、线面垂直的方法，以及棱锥的结构特征，属于基础题． 6. 函数的值域为(     ) A.       B.       C.         D.                 参考答案： A 7. 设常数,集合,.若,则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 略 8. 函数f（x）=lnx+2x﹣6，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x1＜x0，则f（x1）的值（　　） A．恒为正 B．等于零 C．恒为负 D．不小于零 参考答案： C 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理． 【分析】判断函数的单调性，利用函数的零点，推出结果即可． 【解答】解：函数f（x）=lnx+2x﹣6，函数的定义域x＞0； f′（x）=+2＞0，函数f（x）是增函数， 实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x1＜x0， 则f（x1）＜0． 故选：C． 9. 如右图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2， E是B1B的中点，则点E的坐标为(　　) A．(2,2,1)              B．(2,2，) C．(2,2，)      D．(2,2，) 参考答案： A 略 10. 化简的结果是      (     ) A.              B.             C.                D. 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 集合，若，则       ． 参考答案： {1,2,3} 12. 函数的部分图象如图所示，则=　   　． 参考答案： 6 【考点】正切函数的图象；平面向量数量积的运算． 【分析】根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标，再求出向量、和的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果． 【解答】解：由图象得，令=0，即，k=0时解得x=2， 令=1，即，解得x=3， ∴A（2，0），B（3，1）， ∴=（2，0），=（3，1），=（1，1）， ∴=（5，1）?（1，1）=5+1=6． 故答案为：6． 13. （5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是     ． 参考答案： 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 如图所示，设球心为O，上下底面的中心分别为O1，O2，球O与三个侧面相切的切点分别A，B，C．设球的半径为R，由球的表面积是4π，可得4πR2=4π，R=1．可得O1O2=2，为三棱柱的高．在等边三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB，可得三棱柱的底面边长=2AB．利用等边三角形的面积计算公式可得三棱柱的底面面积S，即可得出三棱柱的体积． 解答： 如图所示， 设球心为O，上下底面的中心分别为O1，O2，球O与三个侧面相切的切点分别A，B，C． 设球的半径为R，∵球的表面积是4π，∴4πR2=4π， 解得R=1．∴O1O2=2，为三棱柱的高． 在等边三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB==， 可得三棱柱的底面边长=． ∴三棱柱的底面面积S==3． ∴这个三棱柱的体积=S?O1O2=6． 故答案为：6． 点评： 本题考查了正三棱柱及其内切球的性质、体积计算公式、等边三角形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题． 14. 函数的图像与直线在轴右侧的交点横坐标从小到大依次为且，则函数的递增区间为 ____ 参考答案： 略 15. 设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于?x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=21﹣x则 （1）f（x）的周期是2； （2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增； （3）f（x）的最大值是2，最小值是1； （4）当x∈（3，4）时，f（x）=2x﹣3 其中正确的命题的序号是　　． 参考答案： （1）、（3）、（4） 【考点】抽象函数及其应用． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】由f（x+1）=f（x﹣1）可知函数的周期为2， 由f（x）在[0，1]上是减函数知f（x）在（2，3）上递减， 由函数的周期性知求f（x）在[0，1]上的最值即可， 由函数的周期性求x∈（3，4）时的解析式即可． 【解答】解：∵对于?x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1）， ∴f（x）的周期是2；故（1）正确； ∵当x∈[0，1]时，f（x）=21﹣x， ∴f（x）在[0，1]上是减函数， ∴f（x）在（2，3）上递减，故（2）不正确； ∵当x∈[0，1]时，f（x）=21﹣x，且f（x）的周期是2，是定义在R上的偶函数； ∴fmax（x）=f（0）=2，fmin（x）=f（1）=1；故（3）正确； ∵当x∈[0，1]时，f（x）=21﹣x，又∵f（﹣x）=f（x）， ∴当x∈（﹣1，0）时，f（x）=f（﹣x）=21+x， ∴当x∈（3，4）时，f（x）=21+（x﹣4）2x﹣3，故（4）正确； 故答案为：（1）、（3）、（4）． 【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了抽象函数的应用，属于中档题． 16. 已知，且是第二象限角，那么          参考答案： 17. 已知角α的终边经过点P（﹣5，12），则sinα+2cosα的值为　　． 参考答案： 【考点】任意角的三角函数的定义． 【分析】根据角α的终边经过点P（﹣5，12），可得sinα 和 cosα 的值，从而求得sinα+2cosα的值． 【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣5，12），则sinα=，cosα=， ∴sinα+2cosα=﹣=， 故答案为． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知二次函数f(x) 的对称轴方程为：x=1，设向量a=(sinx,2), b=(2sinx,),c=( ,1),d=(2,1)。 （1）分别求a·b和c·d的取值范围； （2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集。   参考答案： 解：(1）a·b=2sin2x+11    c·d=2cos2x+11   （2.f(x)图象关于x=1对称   当二次项系数m>0时, f(x)在（1，）内单调递增，     由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1>2cos2x+1       又∵x∈[0,π]  ∴x∈   当二次项系数m<0时,f(x)在（1，）内单调递减，     由f(a·b)>f(c·d) a·b > c·d, 即2sin2x+1<2cos2x+1     又∵x∈[0,π]  ∴x∈         综上,当m>0时不等式的解集为;当m<0时不等式的解集为   略 19. （本题12分） 对于函数 (1) 判断函数的单调性并给出证明； (2) 若存在实数使函数是奇函数，求； (3）对于（2）中的，若，当恒成立，求m的最大值. 参考答案： 20. （本小题满分8分）在中，设，，且为直角三角形，求实数的值． 参考答案： 若，由，得，解得；      ………… 2分 若，，由， 得，解得；        ………… 5分 若，由，得，即，． 综上，的值为或．      ………… 8分 21. 已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*，点(n，Sn)都在函数f(x)＝2x2－x的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，且数列{bn}是等差数列，求非零常数p的值； (3)设cn＝，Tn是数列{cn}的前n项和，求使得Tn<对所有n∈N*都成立的最小正整数m. 参考答案： 解：(1)由已知，对所有n∈N*，Sn＝2n2－n， 所以当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3， 因为a1也满足上式， 所以数列{an}的通项公式为an＝4n－3(n∈N*)． (2)由已知bn＝， 因为{bn}是等差数列，可设bn＝an＋b(a、b为常数)， 所以＝an＋b，于是2n2－n＝an2＋(ap＋b)n＋bp， 所以因为p≠0，所以b＝0，p＝－. (3)cn＝＝(－)， 所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(1－＋－＋…＋－) ＝(1－)． 由Tn<，得m>10(1－)．因为1－<1， 所以m≥10. 所以，所求的最小正整数m的值为10. 22. 已知，，，，求的值.  参考答案： 解：∵   ∴ 又        ∴   ………3分 ∵     ∴ 又     ∴                         ………………6分 ∴sin(a + b) = -sin[p + (a + b)] =    ……………9分            ……ks5u……12分