江西省景德镇市乐平第二中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

江西省景德镇市乐平第二中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是(     ) A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞） 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得． 【解答】解：∵f（x）=﹣log2x， ∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0， 满足f（2）f（4）＜0， ∴f（x）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C 【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题． 2. 复数z= 的模是(    ) A．-1+i       B．-1-i         C．2          D． 参考答案： D 3. 若，是任意实数，且，则（   ） A． B．        C． D． 参考答案： D 略 4. 已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零点个数为(      )     A.1 B.2 C.3 D.与a有关 参考答案： B 5. 函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（　　） A．（1，2） B．（，1） C．（2，3） D．（e，+∞） 参考答案： C 【分析】利用函数的零点判定定理，化简求解即可． 【解答】解：函数f（x）=lnx﹣的定义域为：x＞0，函数是连续函数， f（2）=ln2﹣1=ln2﹣lne＜0． f（3）=ln3﹣＞1﹣=0． f（2）f（3）＜0， 由函数零点判定定理可知，函数的零点所在的大致区间是（2，3）． 故选：C． 【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，考查转化思想以及计算能力． 6. 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为 （　　） A .        B.       C.   D.  参考答案： B 略 7. 已知定义在Ｒ上的函数的导函数是，且 则不等式的解集为（　　　　　） A.         B.      C.        D. 参考答案： A 8. 在中，内角的对边分别是若，则=(   ) A.         B.           C.           D. 参考答案： A 略 9. 等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=4，则公差d等于(     ) A．1 B． C．2 D．3 参考答案： C 考点：等差数列的前n项和． 专题：计算题． 分析：用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可． 解答： 解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得 ，解得， 故选C． 点评：本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键． 10. 已知函数f(x)=sin(2x+)(x∈R)，为了得到函数g(x)=cos2x的图象，只需将y=f(x)的图象 A.向左平移个单位   B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 参考答案： A ，故选A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为   ▲   ． 参考答案： 　 12. 不等式的解集是，则＝     。 参考答案： 7 13. 已知，，且，则与夹角的余弦值为___________. 参考答案： ，，． 14. 已知m∈R，向量=（m，1），=（﹣12，4），=（2，﹣4）且∥，则向量在向量方向上的投影为          ． 参考答案： 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：运用向量共线的坐标表示，求得m=﹣3，再由数量积公式求得向量a，c的数量积，及向量a的模，再由向量在向量方向上的投影为，代入数据即可得到． 解答： 解：由于向量=（m，1），=（﹣12，4），且∥， 则4m=﹣12，解得，m=﹣3． 则=（﹣3，1），=﹣3×2﹣4=﹣10， 则向量在向量方向上的投影为==﹣． 故答案为：﹣ 点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，考查向量共线和投影的概念，考查运算能力，属于基础题． 15. 若复数的实部与虚部相等，则实数a=__________. 参考答案： -1 16. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.3，18.7，20．且总体的中位数为10.5，则总体的平均数为　　． 参考答案： 10 略 17. 设，对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为             . 参考答案： 根据定积分的几何意义知，所以不等式可以化为，即恒成立，所以恒成立，又因为，所以的最小值为所以的取值范围为 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）． （Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围． （Ⅲ）求证：（其中n∈N*，e是自然对数的底数）． 参考答案： 考点： 不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．343780 专题： 综合题． 分析： （Ⅰ）把a=﹣代入函数f（x），再对其进行求导利用导数研究函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，将问题转化为当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，只要求出ax2+ln（x+1）﹣x的最小值即可，令新的函数，利用导数研究其最值问题； （Ⅲ）由题设（Ⅱ）可知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用此不等式对所要证明的不等式进行放缩，从而进行证明； 解答： 解：（Ⅰ）当时，（x＞﹣1）， （x＞﹣1）， 由f'（x）＞0解得﹣1＜x＜1，由f'（x）＜0， 解得x＞1． 故函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分） （Ⅱ）因函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内， 则当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立， 设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x（x≥0）， 只需g（x）max≤0即可．（5分） 由=， （ⅰ）当a=0时，，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减， 故g（x）≤g（0）=0成立．（6分） （ⅱ）当a＞0时，由，因x∈[0，+∞），所以， ①若，即时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0， 则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件； ②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增， 同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．（8分） （ⅲ）当a＜0时，由， ∵x∈[0，+∞）， ∴2ax+（2a﹣1）＜0， ∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减， 故g（x）≤g（0）=0成立． 综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（10分） （Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立 （或另证ln（x+1）≤x在区间（﹣1，+∞）上恒成立），（11分） 又， ∵ = = =， ∴．（14分） 点评： 此题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，解题过程中多次用到了转化的思想，第二题实质还是函数的恒成立问题，第三问不等式的证明仍然离不开前面两问所证明的不等式，利用它们进行放缩证明，本题难度比较大，是一道综合题； 19. （本小题满分14分）已知函数的最大值为2. （Ⅰ）求函数在上的单调递减区间； （Ⅱ）中,,角所对的边分别是，且，求的面积． 参考答案： （1）由题意，的最大值为，所以． 而，于是，． 为递减函数，则满足 ， 即． 所以在上的单调递减区间为． （2）设△ABC的外接圆半径为，由题意，得． 化简，得 ． 由正弦定理，得，．       ① 由余弦定理，得，即． ② 将①式代入②，得． 解得，或 （舍去）． ． 20. 已知函数，其中x>0,a∈R (I)若函数f(x)无极值,求a的取值范围； (II)当a取（I)中的最大值时，求函数g(x)的最小值； (III)证明不等式. 参考答案： 略 21. （本小题满分14分）已知焦点为，的椭圆经过点，直线过点与椭圆交于、两点，其中为坐标原点。       （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的范围； （III）若直线的斜率存在且不为零，向量与向量平行，求的值及的外接圆的方程。 参考答案： （1）设椭圆方程为，点在椭圆上，， 所以 所以，又，所以，于是，椭圆方程为 （2）①若直线的斜率不存在，即直线与轴垂直，此时、两点的坐标分别为，，则= ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，此时，满足，消去，得，易知，                          而， 则 == （） 令，故，易知（否则不存在）， 于是，由，得，即 综合①②， （3）=== 由与向量平行，得 解得（舍去），，此时由（）得 所以⊥，此时的外接圆的圆心为线段的中点，即，半径，此时，的外接圆的方程 22. （14分）如图，F1，F2是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M在直线l：x=﹣上． （1）若B的坐标为（0，1），求点M的坐标； （2）求?的取值范围． 参考答案： 【考点】： 椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算． 【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】： （1）先求得A点的横坐标为﹣1，代入椭圆方程+y2=1，解得y的值，可得A的纵坐标，再根据中点公式求得M的坐标． （2）当AB垂直于x轴时，易得?的值．当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，M（﹣，m），由可得 k=，可得AB的方程为y=x+ ①．把①代入椭圆方程化简利用韦达定理，由判别式大于零，求得m2的范围，化简 ? 为 ．令t=1+8m2，则1＜t＜8，再根据函数的单调性求得 ?=[3t+]的范围． 解：（1）∵B的坐标为（0，1），且线段AB的中点M在直线l：x=﹣上， ∴A点的横坐标为﹣1， 代入椭圆方程+y2=1，解得y=±，故点A（﹣1，）或点A（﹣1，﹣）． ∴线段AB的中点M（﹣，+）或（﹣，﹣）． （2）由于F1（﹣1，0），F2（1，0），当AB垂直于x轴时，AB的方程为x=﹣，点A（﹣，﹣）、B（﹣，）， 求得?=． 当AB不垂直于x轴时，设AB的斜率为k，M（﹣，m），A（x1，y1 ），B （x2，y2）， 由可得 （x1+x2）?2（y1+y2）?=0，∴﹣1=4mk=0，即 k=， 故AB的方程为 y﹣m=（x+），即 y=x+ ①． 再把①代入椭圆方程+y2=1，可得x2+x+?=0． 由判别式△=1﹣＞0，可得0＜m2＜． ∴x1+x2=﹣1，x1?x2=，y1?y2=（?x1