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江西省景德镇市乐平第二中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)=﹣log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)
参考答案:
C
【考点】函数零点的判定定理.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】可得f(2)=2>0,f(4)=﹣<0,由零点的判定定理可得.
【解答】解:∵f(x)=﹣log2x,
∴f(2)=2>0,f(4)=﹣<0,
满足f(2)f(4)<0,
∴f(x)在区间(2,4)内必有零点,
故选:C
【点评】本题考查还是零点的判断,属基础题.
2. 复数z= 的模是( )
A.-1+i B.-1-i C.2 D.
参考答案:
D
3. 若,是任意实数,且,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
4. 已知a>0,且a≠1,则函数f(x)=ax+(x-1)2-2a的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.与a有关
参考答案:
B
5. 函数f(x)=lnx﹣的零点所在的大致区间是( )
A.(1,2) B.(,1) C.(2,3) D.(e,+∞)
参考答案:
C
【分析】利用函数的零点判定定理,化简求解即可.
【解答】解:函数f(x)=lnx﹣的定义域为:x>0,函数是连续函数,
f(2)=ln2﹣1=ln2﹣lne<0.
f(3)=ln3﹣>1﹣=0.
f(2)f(3)<0,
由函数零点判定定理可知,函数的零点所在的大致区间是(2,3).
故选:C.
【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用,考查转化思想以及计算能力.
6. 如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2,AD=1,DC=2x(x∈(0,1)).以A,B为焦点,且过点D的双曲线的离心率为e1;以C,D为焦点,且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1+e2的取值范围为 ( )
A . B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 已知定义在R上的函数的导函数是,且
则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 在中,内角的对边分别是若,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d等于( )
A.1 B. C.2 D.3
参考答案:
C
考点:等差数列的前n项和.
专题:计算题.
分析:用等差数列的通项公式和前n项和公式,结合已知条件列出关于a1,d的方程组,解方程即可.
解答: 解:设{an}的公差为d,首项为a1,由题意得
,解得,
故选C.
点评:本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式,熟练应用公式是解题的关键.
10. 已知函数f(x)=sin(2x+)(x∈R),为了得到函数g(x)=cos2x的图象,只需将y=f(x)的图象
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
参考答案:
A
,故选A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为,则方程有实根的概率为 ▲ .
参考答案:
12. 不等式的解集是,则= 。
参考答案:
7
13. 已知,,且,则与夹角的余弦值为___________.
参考答案:
,,.
14. 已知m∈R,向量=(m,1),=(﹣12,4),=(2,﹣4)且∥,则向量在向量方向上的投影为 .
参考答案:
考点:平面向量数量积的运算.
专题:计算题;平面向量及应用.
分析:运用向量共线的坐标表示,求得m=﹣3,再由数量积公式求得向量a,c的数量积,及向量a的模,再由向量在向量方向上的投影为,代入数据即可得到.
解答: 解:由于向量=(m,1),=(﹣12,4),且∥,
则4m=﹣12,解得,m=﹣3.
则=(﹣3,1),=﹣3×2﹣4=﹣10,
则向量在向量方向上的投影为==﹣.
故答案为:﹣
点评:本题考查平面向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式,考查向量共线和投影的概念,考查运算能力,属于基础题.
15. 若复数的实部与虚部相等,则实数a=__________.
参考答案:
-1
16. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.3,18.7,20.且总体的中位数为10.5,则总体的平均数为 .
参考答案:
10
略
17. 设,对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围为 .
参考答案:
根据定积分的几何意义知,所以不等式可以化为,即恒成立,所以恒成立,又因为,所以的最小值为所以的取值范围为
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=ax2+ln(x+1).
(Ⅰ)当时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当x∈[0,+∞)时,函数y=f(x)图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数a的取值范围.
(Ⅲ)求证:(其中n∈N*,e是自然对数的底数).
参考答案:
考点:
不等式的证明;利用导数研究函数的单调性.343780
专题:
综合题.
分析:
(Ⅰ)把a=﹣代入函数f(x),再对其进行求导利用导数研究函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知当x∈[0,+∞)时,函数y=f(x)图象上的点都在所表示的平面区域内,将问题转化为当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,即ax2+ln(x+1)﹣x≤0恒成立,只要求出ax2+ln(x+1)﹣x的最小值即可,令新的函数,利用导数研究其最值问题;
(Ⅲ)由题设(Ⅱ)可知当a=0时,ln(x+1)≤x在[0,+∞)上恒成立,利用此不等式对所要证明的不等式进行放缩,从而进行证明;
解答:
解:(Ⅰ)当时,(x>﹣1),
(x>﹣1),
由f'(x)>0解得﹣1<x<1,由f'(x)<0,
解得x>1.
故函数f(x)的单调递增区间为(﹣1,1),单调递减区间为(1,+∞).(4分)
(Ⅱ)因函数f(x)图象上的点都在所表示的平面区域内,
则当x∈[0,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,即ax2+ln(x+1)﹣x≤0恒成立,
设g(x)=ax2+ln(x+1)﹣x(x≥0),
只需g(x)max≤0即可.(5分)
由=,
(ⅰ)当a=0时,,当x>0时,g'(x)<0,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,
故g(x)≤g(0)=0成立.(6分)
(ⅱ)当a>0时,由,因x∈[0,+∞),所以,
①若,即时,在区间(0,+∞)上,g'(x)>0,
则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,g(x)在[0,+∞)上无最大值(或:当x→+∞时,g(x)→+∞),此时不满足条件;
②若,即时,函数g(x)在上单调递减,在区间上单调递增,
同样g(x)在[0,+∞)上无最大值,不满足条件.(8分)
(ⅲ)当a<0时,由,
∵x∈[0,+∞),
∴2ax+(2a﹣1)<0,
∴g'(x)<0,故函数g(x)在[0,+∞)上单调递减,
故g(x)≤g(0)=0成立.
综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞,0].(10分)
(Ⅲ)据(Ⅱ)知当a=0时,ln(x+1)≤x在[0,+∞)上恒成立
(或另证ln(x+1)≤x在区间(﹣1,+∞)上恒成立),(11分)
又,
∵
=
=
=,
∴.(14分)
点评:
此题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题,解题过程中多次用到了转化的思想,第二题实质还是函数的恒成立问题,第三问不等式的证明仍然离不开前面两问所证明的不等式,利用它们进行放缩证明,本题难度比较大,是一道综合题;
19. (本小题满分14分)已知函数的最大值为2.
(Ⅰ)求函数在上的单调递减区间;
(Ⅱ)中,,角所对的边分别是,且,求的面积.
参考答案:
(1)由题意,的最大值为,所以.
而,于是,.
为递减函数,则满足 ,
即.
所以在上的单调递减区间为.
(2)设△ABC的外接圆半径为,由题意,得.
化简,得
.
由正弦定理,得,. ①
由余弦定理,得,即. ②
将①式代入②,得.
解得,或 (舍去).
.
20. 已知函数,其中x>0,a∈R
(I)若函数f(x)无极值,求a的取值范围;
(II)当a取(I)中的最大值时,求函数g(x)的最小值;
(III)证明不等式.
参考答案:
略
21. (本小题满分14分)已知焦点为,的椭圆经过点,直线过点与椭圆交于、两点,其中为坐标原点。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的范围;
(III)若直线的斜率存在且不为零,向量与向量平行,求的值及的外接圆的方程。
参考答案:
(1)设椭圆方程为,点在椭圆上,,
所以
所以,又,所以,于是,椭圆方程为
(2)①若直线的斜率不存在,即直线与轴垂直,此时、两点的坐标分别为,,则=
②若直线的斜率存在,设直线的方程为,此时,满足,消去,得,易知,
而,
则 == ()
令,故,易知(否则不存在),
于是,由,得,即
综合①②,
(3)===
由与向量平行,得
解得(舍去),,此时由()得
所以⊥,此时的外接圆的圆心为线段的中点,即,半径,此时,的外接圆的方程
22. (14分)如图,F1,F2是椭圆C:+y2=1的左、右焦点,A,B是椭圆C上的两个动点,且线段AB的中点M在直线l:x=﹣上.
(1)若B的坐标为(0,1),求点M的坐标;
(2)求?的取值范围.
参考答案:
【考点】: 椭圆的简单性质;平面向量数量积的运算.
【专题】: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】: (1)先求得A点的横坐标为﹣1,代入椭圆方程+y2=1,解得y的值,可得A的纵坐标,再根据中点公式求得M的坐标.
(2)当AB垂直于x轴时,易得?的值.当AB不垂直于x轴时,设AB的斜率为k,M(﹣,m),由可得 k=,可得AB的方程为y=x+ ①.把①代入椭圆方程化简利用韦达定理,由判别式大于零,求得m2的范围,化简 ? 为 .令t=1+8m2,则1<t<8,再根据函数的单调性求得 ?=[3t+]的范围.
解:(1)∵B的坐标为(0,1),且线段AB的中点M在直线l:x=﹣上,
∴A点的横坐标为﹣1,
代入椭圆方程+y2=1,解得y=±,故点A(﹣1,)或点A(﹣1,﹣).
∴线段AB的中点M(﹣,+)或(﹣,﹣).
(2)由于F1(﹣1,0),F2(1,0),当AB垂直于x轴时,AB的方程为x=﹣,点A(﹣,﹣)、B(﹣,),
求得?=.
当AB不垂直于x轴时,设AB的斜率为k,M(﹣,m),A(x1,y1 ),B (x2,y2),
由可得 (x1+x2)?2(y1+y2)?=0,∴﹣1=4mk=0,即 k=,
故AB的方程为 y﹣m=(x+),即 y=x+ ①.
再把①代入椭圆方程+y2=1,可得x2+x+?=0.
由判别式△=1﹣>0,可得0<m2<.
∴x1+x2=﹣1,x1?x2=,y1?y2=(?x1
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