2022-2023学年安徽省铜陵市钟仓中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若，则下面一定成立的是( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
2. 已知函数的图象关于
A．原点对称 B．y轴对称
C．y＝x对称 D．y＝－x对称
参考答案：
A
3. 方程的解的个数为……………（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 0个或1个 D. 2个
参考答案：
D
略
4. 如右图程序，如果输入x的值是-2，则运行结果是 ( )
A．3+ B．3- C．-5 D．--5
参考答案：
B
略
5. 如图，三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是
A．CC1与B1E是异面直线 B．AC⊥平面A1B1BA
C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1 D．A1C1∥平面AB1E
参考答案：
C
略
6. 在△中，若，则△的形状是
A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定
参考答案：
A
略
7. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当，x∈（0，2）时，f（x）=2x，则f（2015）的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．
参考答案：
A
【考点】抽象函数及其应用；函数的值．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由于对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），则4为f（x）的周期，从而f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），再由已知解析式代入计算即可得到．
【解答】解：由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），
又x∈（0，2）时，f（x）=2x，
所以f（1）=2，
因为对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），
所以4为f（x）的周期，
所以f（2015）=f（4×504﹣1）
=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性及函数求值，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，属中档题．
8. 下列三角函数值大小比较正确的是（ ）
A．sin＜cos B．sin（﹣）＜sin（﹣）
C．tan（﹣）＞tan（﹣） D．tan138°＞tan143°
参考答案：
C
【考点】三角函数线；三角函数值的符号．
【分析】根据诱导公式，结合正弦函数和正切函数的单调性，可得答案．
【解答】解：sin=sin＞cos=cos=sin，故A错误；
sin（﹣）=sin＞sin（﹣）=sin，故B错误；
tan（﹣）=tan＞tan（﹣）=tan，故C正确；
tan138°＜tan143°，故D错误；
故选：C．
9. 若正数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
由已知可整理得：，解得，将所求式子转化后利用基本不等式即可计算得其最大值．
【详解】解：∵正数满足，
∴，解得，
∴，当且仅当时，等号成立，
∴的最大值为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
10. 已知函数 f(x)=，则f[f（﹣1）]的值是（ ）
A．40 B．42 C．44 D．45
参考答案：
D
【考点】函数的值．
【分析】由已知得f（﹣1）=（﹣1）（﹣1﹣4）=5，从而f[f（﹣1）]=f（5），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数，
∴f（﹣1）=（﹣1）（﹣1﹣4）=5，
f[f（﹣1）]=f（5）=5（5+4）=45．
故选：D．
【点评】本题考查函数值的求不地，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知幂函数的图象过点，则________
参考答案：
3
略
12. 已知函数是定义在上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是_____．
参考答案：
【知识点】函数的单调性与最值
【试题解析】因为在上恒成立，，函数是定义在上的减函数
所以，
故答案为：
13. 的最小正周期为，其中，则= ．
参考答案：
10
14. 设向量，若向量与向量共线，则 .
参考答案：
2
15. 已知幂函数在区间是减函数，则实数m的值是 ▲ ．
参考答案：
m=3
16. 已知，，则______.
参考答案：
或
【分析】
确定在第一和第二象限，再写出方程的解.
【详解】因为，，
所以在第一和第二象限，所以或.
故答案为：或
【点睛】本题主要考查三角函数的象限符号和特殊角的三角函数值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
17. 已知元素（x，y）在影射f下的象是（x+2y，2x﹣y），则（3，1）在f下的原象是 ．
参考答案：
（1，1）
【考点】映射．
【分析】（x，y）在映射f下的象是（x+2y，2x﹣y），由此运算规则求（3，1）在f下的原象即可，先设原象为（x，y），由映射规则建立方程求解即可．
【解答】解：设原象为（x，y），则有，解得，
则（3，1）在 f 下的原象是 （1，1）．
故答案为：（1，1）．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知是偶函数．（1）求k的值
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
参考答案：
解：（1）因为是偶函数，
即，解得．
（2）由（1）得，所以， 又
则，所以，记 ，则方程只有一个正实根．
1 当a = 1时，无正实根；
②当a≠1时，，解得或a =–3．
而时，t =–2；a =–3时，>0．
若，即或，则有，所以．
综上所述，当时，函数与的图象有且只有一个公共点．
略
19. 在数列中，，是给定的非零整数，．
（1）若，，求；
（2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．
参考答案：
解析：（1）∵，，，，，，，，，，，，，……
∴自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=1．……4分
（2）首先证明数列必在有限项后出现零项．假设中没有零项，
由于，所以.时，都有．……………………6分
当时，（）；
当时，（），
即的值要么比至少小1，要么比至少小1．…………………8分
令，，则．
由于是确定的正整数，这样下去，必然存在某项，这与矛盾，从而中必有零项．……………………………………………………….……10分
若第一次出现的零项为，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，即，
所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12分
20. 已知sinα+3cosα=0，求sinα，cosα的值．
参考答案：
【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos α=±，再根据sin α与cos α异号，可得α在第二、四象限，分类讨论求得sinα，cosα的值．
【解答】解∵sin α=﹣3cos α．
又sin2α+cos2α=1，得（﹣3cos α）2+cos2α=1，即10cos2α=1．∴cos α=±．
又由sin α=﹣3cos α，可知sin α与cos α异号，∴α在第二、四象限．
①当α是第二象限角时，sin α=，cos α=﹣．
②当α是第四象限角时，sin α=﹣，cos α=．
21. (本小题14分)已知函数定义在(―1，1)上，对于任意的，有
，且当时，。
（1）验证函数是否满足这些条件；
（2）判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性，并加以证明；
（3）若，求方程的解。
参考答案：
① ∴－1
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