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山东省济宁市嘉祥县马村镇中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,,则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
参考答案:
B
2. 已知定义在上的可导函数的导函数为,若对于任意实数,有,且为奇函数,则不等式的解集为
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 阅读右面的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为( )
A. 3 B . 4 C. 5 D. 6
参考答案:
B
略
4. 某程序框图如右图所示,则输出的n值是
A. 21 B 22 C.23 D.24
参考答案:
C
略
5. 设集合A=,则
A. B . C. D.
参考答案:
A
,故选A.
6. 当二项式展开式的第21项与第22项相等时,非零实数x的值是( )
A 1 B 2 C D
参考答案:
解析: ∵,有题意知,∴故选C
7. 已知一个球的表面上有A、B、C三点,且AB=AC=BC=2,若球心到平面ABC的距离为1,则该球的表面积为( )
A.20π B.15π C.10π D.2π
参考答案:
A
【考点】球的体积和表面积.
【分析】由正弦定理可得截面圆的半径,进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系,解方程代入球的表面积公式可得.
【解答】解:由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′,
设截面圆O′的半径为r,由正弦定理可得2r=,解得r=2,
设球O的半径为R,∵球心到平面ABC的距离为1,
∴由勾股定理可得r2+12=R2,解得R2=5,
∴球O的表面积S=4πR2=20π,
故选:A.
8. 在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知△ABC的面积为,,,则的值为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
通过三角形的面积以及已知条件求出,,利用正弦定理求解的值;再利用二倍角公式可求,的值,进而利用两角和的余弦化简得解.
【详解】在中,由,可得:,
由,可得:,
∵, ∴.
可得,
由余弦定理可得:,得,
由正弦定理,可得:.
所以,,
可得:.
故选:C
【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查三角形的面积公式、二倍角公式和和角的余弦公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
9. 下列函数中,在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是( )
A.y=cosx B. C.y=lgx D.y=ex﹣e﹣x
参考答案:
D
【考点】函数奇偶性的判断;函数零点的判定定理.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可.
【解答】解:A.y=cosx为偶函数,不满足条件.
B.为减函数,则不存在零点,不满足条件.
C.函数的定义域为(0,+∞),为非奇非偶函数,不满足条件.
D.y=ex﹣e﹣x为奇函数,由y=ex﹣e﹣x=0,解得x=0,存在零点,满足条件.
故选:D
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数零点的求解,要求熟练掌握常见函数的奇偶性的性质.
10. 四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,若AB=2,PA=1,则此四棱锥的外接球的体积为( )
A.36π B.16π C. D.
参考答案:
C
【考点】球内接多面体.
【分析】把四棱锥P﹣ABCD补成一个长方体,可知:此长方体的对角线为四棱锥P﹣ABCD的外接球的直径2R.利用勾股定理得出R,即可得出此四棱锥的外接球的体积.
【解答】解:把四棱锥P﹣ABCD补成一个长方体,可知:此长方体的对角线为四棱锥P﹣ABCD的外接球的直径2R.
∴(2R)2=22+22+12=9,
∴R=,
∴此四棱锥的外接球的体积为=.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若正方形边长为1,点在线段上运动, 则的最大值是 ;
参考答案:
略
12. 设,则 .
参考答案:
5
由题易知:
令,可得
∴=5
故答案为:5
13. 已知sinα=,则cos2α= .
参考答案:
考点:二倍角的余弦.
专题:三角函数的求值.
分析:由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值.
解答: 解:∵sinα=,
∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=.
故答案为:.
点评:本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用,属于基本知识的考查.
14. 某四面体的三视图如图所示,则该四面体的体积为 ;表面积为 .
参考答案:
,
15. 如图,在棱长为2的正四面体中,动点在侧面内,底面,垂足为, 若,则长度的最小值为 .
参考答案:
16. 函数f﹣1(x)是函数f(x)=2x﹣3+x,x∈[3,5]的反函数,则函数y=f(x)+f﹣1(x)的定义域为 .
参考答案:
[4,5]
【考点】反函数.
【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】先确定函数f(x)的单调性,由此确定其值域,该值域就是其反函数的定义域,最后再求y=f(x)+f﹣1(x)的定义域.
【解答】解:因为f(x)=2x﹣3+x是定义域上的增函数,
所以,当x∈[3,5]时,f(x)∈[f(3),f(5)],
即f(x)∈[4,9],
由于反函数f﹣1(x)的定义域是原函数f(x)的值域,
所以,f﹣1(x)的定义域为[4,9],
因此,函数y=f(x)+f﹣1(x)的定义域为:[3,5]∩[4,9],
即[4,5],
故答案为:[4,5].
【点评】本题主要考查了原函数与反函数定义域与值域之间的关系,涉及函数单调性的应用,属于中档题.
17. 已的夹角为30°,则的值为 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,an是Sn与2的等差中项,数列{bn}中,b1=1,点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上.
(Ⅰ)求数列{an}与{bn}的通项an,bn;
(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Bn,比较与2的大小;
参考答案:
(Ⅰ)∵ an是Sn与2的等差中项,∴2an=Sn+2 …①
当n=1时,a1=2;n≥2时,2an-1=Sn-1+2 …② ;∴由①-②得:
∴{an}是一个以2为首项,以为公比的等比数列,∴ ……3分
又∵点P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上,∴bn-bn+1+2=0即:bn+1-bn=2
又b1=1,∴{bn}是一个以1为首项,以2为公差的等差数列,∴ ……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:Bn=n2 …8分 …10分
∴==2-<2 …13分
19. 已知函数,函数的最小值为.
(1)求的解析式;
参考答案:
(1)由,知,令
记,则的对称轴为,故有:
①当时,的最小值
②当时,的最小值
③当时,的最小值
综述,
20. 在数列中,,
(1)求数列的通项;
(2)若存在,使得成立,求实数的最小值.
参考答案:
解:(1) ……………… 6分
(2)由(1)可知当时,
设 ……………… 8分
则又及,所以所求实数的最小值为 ---------------12分
略
21. 已知函数.
(1)求函数的最小值a;
(2)根据(1)中的结论,若,且,求证:.
参考答案:
(1)解:,当且仅当时取等号,
所以,即.
(2)证明:假设:,则.
所以. ①
由(1)知,所以. ②
①与②矛盾,所以.
22. 各项均为正数的数列{an}中,前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若恒成立,求k的取值范围;
(3)对任意m∈N*,将数列{an}中落入区间(2m,22m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm.
参考答案:
解:(1)∵,
∴,
两式相减得,
整理得(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,
∵数列{an}的各项均为正数,
∴an﹣an﹣1=2,n≥2,∴{an}是公差为2的等差数列,
又得a1=1,∴an=2n﹣1.
(2)由题意得,
∵,
∴
=…(8分)∴
(3)对任意m∈N+,2m<2n﹣1<22m,则,
而n∈N*,由题意可知,
于是
=,
即.
略
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