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2022年河南省安阳市相州中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设,集合,则 ( )
A.1 B. C.2 D.
参考答案:
C
2. 右图给出的是计算的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是
A.i≥10? B.i>11? C.i>10? D.i<11?
参考答案:
C
3. 在△ABC中,,那么A等于( )
A. 135° B. 105° C. 45° D. 75°
参考答案:
C
分析:由的度数求出的值,再由和的值,利用正弦定理求出的值,由大于,根据大边对大角,得到大于,得到的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出的度数.
详解:,
由正弦定理,
得,
又,得到,则,故选C.
点睛:本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下三种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.
4. 设a,b是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列四个命题:
①如果a∥α,b∥α,那么a∥b;
②如果a∥β,a?α,b?β,那么a∥b;
③如果 α⊥β,a?α,那么 a⊥β;
④如果a⊥β,a∥b,b?α,那么α⊥β
其中正确命题的序号是( )
A.① B.② C.③ D.④
参考答案:
D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.
【解答】解:①如果a∥α,b∥α,那么a与b相交、平行或异面,故①错误;
②如果a∥β,a?α,b?β,那么a与b平行或异面,故②错误;
③如果α⊥β,a?α,那么a与β相交、平行或a?β,故③错误;
④如果a⊥β,a∥b,b?α,那么由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β,故④正确.
故选:D.
【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要注意空间思维能力的培养.
5. 在
的面积等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 如图所示的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象.已知n分别取﹣1,l,,2四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4相应的n依次为( )
A.2,1,,﹣1 B.2,﹣1,1, C.,1,2,﹣1 D.﹣1,1,2,
参考答案:
A
【考点】幂函数的图像.
【专题】应用题.
【分析】在图象中,做出直线 x=2,根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小,可得曲线C1,C2,C3,C4相应的n应是从大到小排列.
【解答】解:在图象中,做出直线 x=2,根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小,
可得曲线C1,C2,C3,C4相 应的n依次为 2,1,,﹣1,
故选A.
【点评】本题考查幂函数的图形和性质的应用.
7. 已知向量,满足,,,则( )
A. 1 B. 2 C. D.
参考答案:
D
【分析】
由,代入数据,即可得出结果.
【详解】因为向量,满足,,,
所以.
故选D
【点睛】本题主要考查向量模的计算,熟记向量的数量积运算法则即可,属于基础题型.
8. 计算的结果是( )
A、 B、2 C、 D、
参考答案:
B
略
9. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍,同时将纵坐标缩小到原来的倍,得到函数y=g(x)的图象按向量平移,得到函数的图象,则可以是( )
A.(,1) B.(,-1) C.(,1) D.(,1)
参考答案:
C
10. 下列选项中,错误的是…………………………………………………………( )
(A)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位;
(B)一度的角是周角的,一弧度的角是周角的;
(C)根据弧度的定义,度一定等于弧度;
(D)不论是用角度制还是弧度制度量角,它们与圆的半径长短有关.
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 无穷数列:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…的首项为1,随后二项为2,接下来3项都是3,以此类推,记该数列为,若,,则= .
参考答案:
12. 函数的定义域是 .(用区间表示)
参考答案:
(1,2]
【考点】33:函数的定义域及其求法.
【分析】由根式内部的代数式大于等于0,求解分式不等式得答案.
【解答】解:由≥0,得,即,解得1<x≤2.
∴函数的定义域是(1,2].
故答案为:(1,2].
13. 已知一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣m=0的两根均大于0且小于2,则m的取值范围为 .
参考答案:
1<m<2
【考点】函数的零点与方程根的关系.
【专题】综合题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】设f(x)=x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣m,由题意可得:以,即可解得m的取值范围.
【解答】解:设f(x)=x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣m,
因为一元二次方程x2﹣(2m﹣1)x+m2﹣m=0的两根均大于0且小于2,
所以,解得1<m<2,
故答案为:1<m<2.
【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握实根分布问题解决的方法.
14. 以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是__________________
参考答案:
(x-1)2+(y-2)2=25
略
15. 已知圆锥的表面积等于12πcm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为__________cm.
参考答案:
2cm
【分析】
设出底面圆的半径,用半径表示出圆锥的母线,再利用表面积,解出半径。
【详解】设圆锥的底面圆的半径为,母线为,则底面圆面积为,周长为 ,
则 解得
故填2
【点睛】本题考查根据圆锥的表面积求底面圆半径,属于基础题。
16. 在等比数列中,若,,则__________.
参考答案:
解:设等比数列中公比为,
∵,
∴,
∴.
17. 平面直角坐标系中,不等式组 所表示的平面区域的面积为_________。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)已知,且;
(1)求的值;
(2)求的值.
参考答案:
∵ ∴=
∵ ∴=
(1)原式=
(2)原式=
19. 如图,以坐标原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边分别作角与(0<<<),它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q,已知点P的坐标为(-,).
( I )求的值;
(II)若,求的值.
参考答案:
20. 设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,,
(1)求,的通项公式.(2)求数列的前项和.
参考答案:
解:(1)设的公差为,的公比为,
依题意有且 解得
所以 ………6分
(2)依题意有
………12分
略
21. (本小题满分8分)向量
(1)当与平行时,求;
(2)当与垂直时,求.
参考答案:
;(1)与平行
……………………………………4分
(2)与垂直
……………………………………8分
22. 已知定义为R的函数f(x)满足下列条件:(1)对任意的实数x,y都有:f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,(2)当x>0时,f(x)>1.
(1)求f(0);
(2)求证:f(x)在R上为增函数;
(3)若f(6)=7,a≤﹣3,关于x的不等式f(ax﹣2)+f(x﹣x2)<3对任意的x∈[﹣1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】抽象函数及其应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)可在恒等式中令x=y=0,即可解出f(0)=0,
(2)由题设条件对任意x1、x2在所给区间内比较f(x2)﹣f(x1)与0的大小即可;
(3)由原不等式可化为:f(ax﹣2+x﹣x2)+1<3,化为f[﹣x2+(a+1)x﹣2]<f(1),对任意的x∈[﹣1,+∞)恒成立,然后构造函数g(x)=x2﹣(a+1)x+3,即g(x)min>0成立即可,利用二次函数的性质,通过分类讨论求解实数a的取值范围.
【解答】解:(1)由题设,令x=y=0,
恒等式可变为f(0+0)=f(0)+f(0)﹣1,
解得f(0)=1,
(2)任取x1<x2,则x2﹣x1>0,
由题设x>0时,f(x)>1,可得f(x2﹣x1)>1,
∵f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,
∴f(x2)=f[x1+(x2﹣x1)]=f(x1)+f(x2﹣x1)﹣1>f(x1),
所以 f(x)是R上增函数;
(3)由已知条件有:f(ax﹣2)+f(x﹣x2)=f(ax﹣2+x﹣x2)+1
故原不等式可化为:f(ax﹣2+x﹣x2)+1<3
即f[﹣x2+(a+1)x﹣2]<2
而当n∈N*时,f(n)=f(n﹣1)+f(1)﹣1=f(n﹣2)+2f(1)﹣2
=f(n﹣3)+3f(1)﹣3=…=nf(1)﹣(n﹣1)
所以f(6)=6f(1)﹣5,所以f(1)=2
故不等式可化为f[﹣x2+(a+1)x﹣2]<f(1);
由(2)可知f(x)在R上为增函数,所以﹣x2+(a+1)x﹣2<1.
即x2﹣(a+1)x+3>0在x∈[﹣1,+∞)上恒成立,
令g(x)=x2﹣(a+1)x+3,即g(x)min>0成立即可
(i)当<﹣1即a<﹣3时,g(x)在x∈[﹣1,+∞)上单调递增
则g(x)min=g(﹣1)=1+(a+1)+3>0解得a>﹣5,所以﹣5<a<﹣3,
(ii)当≥﹣1即a≥﹣3时
有g(x)min=g()=()2﹣(a+1)+3>0
解得﹣2﹣1<a<2﹣1
而﹣3>﹣2﹣1,所以﹣3≤a<2﹣1…
综上所述:实数a的取值范围是(﹣5,2﹣1).
【点评】本题考点是抽象函数及其应用,考查用赋值法求函数值,以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性,此类题要求答题者有较高的数学思辨能力,能从所给的条件中组织出证明问题的组合来.
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