江西省宜春市塔下中学高二数学理联考试卷含解析

江西省宜春市塔下中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列命题中，错误的是（ ▲ ） A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 B．平行于同一平面的两条直线不一定平行 C．如果平面垂直，则过内一点有无数条直线与垂直． D．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 参考答案： C 2. 如图是某四面体ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD外接球的表面积为（　　） A．20π B． C．25π D．100π 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】还原三视图成直观图，得到如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AB=BC=2且PA=3．利用线面垂直的判定与性质，证出PB是Rt△PAB与Rt△PBC公共的斜边，从而得到PB的中点O就是多面体的外接球的球心．再根据勾股定理和球的表面积公式加以计算，可得答案． 【解答】解：根据三视图的形状，将该多面体还原成直观图，得到如图所示的三棱锥P﹣ABC． 其中△ABC中，AC=4，AB=BC=2，PA⊥平面ABC，PA=3 ∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC， ∴PA⊥BC． ∵BC⊥AC，PA∩AC=C，∴BC⊥平面PAC 结合PC?平面PAC，得BC⊥PC 因此，PB是Rt△PAB与Rt△PBC公共的斜边，设PB的中点为0，则OA=OB=OC=OP=PB． ∴PB的中点O就是多面体的外接球的球心 ∵Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2， ∴AB=2． 又∵Rt△PAB中，PA=3， ∴PB==， 所以外接球表面积为S=4πR2=25π． 故选：C． 【点评】本题给出三视图，求多面体的外接球的表面积．着重考查了三视图的认识、线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题． 3. 在⊿ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 (　　) A．      B．        C．1   D． 参考答案： B 4. 已知抛物线上一点M (,4) 到焦点F 的距离|MF |＝，则直线 MF 的斜率   (       ) A．2　　　 　 B．　　　 C．　　 　 D． 参考答案： B 5. 对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是(　　) A．46,45,56        B．46,45,53 C．47,45,56       D．45,47,53 参考答案： A 6. 从装有个红球和个黒球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．至少有一个黒球与都是黒球         B．至少有一个红球与都是黒球    C．至少有一个黒球与至少有个红球    D．恰有个黒球与恰有个黒球 参考答案： D 7. 如图在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm，则这个二面角的度数为(     ) A．30° B．60° C．90° D．120° 参考答案： B 考点：二面角的平面角及求法． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：首先利用平行线做出二面角的平面角，进一步利用勾股定理和余弦定理解出二面角平面角的大小，最后确定结果． 解答：解：在平面α内做BE∥AC，BE=AC，连接DE，CE， 所以四边形ACEB是平行四边形． 由于线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB， 所以AB⊥平面BDE． CE∥AB CE⊥平面BDE． 所以△CDE是直角三角形． 又AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=2cm， 则：DE=2cm 进一步利用余弦定理：DE2=BE2+BD2﹣2BE?BDcos∠DBE 解得cos∠DBE= 所以∠DBE=60° 即二面角的度数为：60° 故选：B 点评：本题考查的知识要点：余弦定理的应用，勾股定理的应用，线面垂直的性质，二面角的应用．属于基础题型 8. 已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2，x)，且(a+b)⊥a，则x= (   ) A．                            B．                  C．                          D． 参考答案： A 略 9. 直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为    A．2      B．－1     C．1      D．－2 参考答案： C 略 10. 若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　) A．x＋4y＋3＝0  B．x＋4y－5＝0     C．4x－y＋3＝0  D．4x－y－3＝0 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__       __ 参考答案： 12. 为了得到函数y=cos3x的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移　　个单位． 参考答案： 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判断选项即可． 【解答】解：∵函数y=sin3x+cos3x=cos（3x﹣）=cos[3（x﹣）]， ∴只需将函数y=sin3x+cos3x的图象向左平移个单位，得到y=cos[3（x﹣+）]= cos3x的图象． 故答案为：． 13. 能说明命题“在△ABC中，若，则这个三角形一定是等腰三角形”为假命题的一组A、B的值为_____. 参考答案： 答案不唯一满足（）即可. 【分析】 由可得：或，所以当时，显然也满足条件，但三角形不是等腰三角形，从而得到原命题为假命题。 【详解】因为，所以， 所以或，所三角形为等腰三角形或直角三角形， 所以当时，原命题显然为假命题。 【点睛】本题以三角形知识为背景，考查解三角形与简易逻辑的交会，考查逻辑推理能力。 14. 如果△ABC内接于半径为R的圆，且，求△ABC的面积的最大值． 参考答案： 【分析】 利用正弦定理化简得：，再利用余弦定理求得，即可求得，利用余弦定理及基本不等式即可求得，再利用三角形面积格式即可得解 【详解】解：已知等式整理得：， 即， 利用正弦定理化简，即， ∴， ∵C为三角形的内角，∴， ∵，∴， ∴， ∴，即， 则，当且仅当取得等号． 所以△ABC的面积的最大值为. 【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题。 15. 甲，乙，丙三人独立破译同一份密码．已知甲乙丙各自独立破译出密码的概率分别为，，，且他们是否破译出密码互不影响，则至少有1人破译出密码的概率是______． 参考答案： 【分析】 设表示至少有1人破译出密码,可得，计算可得答案. 【详解】解：依题意，设表示至少有1人破译出密码， 则的对立事件表示三人都没有破译密码， 则. 故填：． 【点睛】本题主要考察对立事件的概率和独立事件的乘法公式，相对简单. 16. 已知命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0；命题q：若a＞b，则＜，给出下列四个命题：①p∧q；②p∨q；③￢p；④￢q． 其中真命题是　　． 参考答案： ②④ 【考点】2E：复合命题的真假． 【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【解答】解：命题p：若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0正确，则命题p为真命题， 命题q：若a＞b，则＜错误，当a＞0，b＜0时，不等式就不成立，则命题q为假命题， ∴p∨q与￢q为真命题，故正确的命题为②④． 故答案为：②④ 17. 设 (是两两不等的常数),则的值是 ______________.  参考答案： 0 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （Ⅰ）计算：；                  （Ⅱ）解方程：．                 参考答案： 解：（Ⅰ）=5×5×4×3＋4×4×3            ……… 4分 =348                          ……… 5分 （Ⅱ）               ……… 7分 ∴2 x=1   或  2 x +1=5                        ………9分 x=（舍） 或  x=2    故方程得解为x=2         ……… 10分 略 19.   参考答案： 解析：（1）当时，由框图可知依次执行循环体得到的结果如下： 第一次： 第二次： 第三次： ……… 第五次： 易知数列是公差为的等差数列． 由列项相消法得                又由已知可得=，于是．                        同理可得  联立解得．于是  ；                       因为，，      20. 在直角坐标系xOy中，直线l的方程为：（t为参数），曲线C的参数方程为 (α为参数)． (1) 已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极 点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线 l的位置关系； (2) 设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值以及取到 最小值时所对应的点Q的坐标． 参考答案： 略 21. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱中，分别是的中点．     (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)若，，且， 求平面与底面所成的锐二面角的大小． [注：侧棱垂直于底面的三棱柱叫直三棱柱]           参考答案： 解：（Ⅰ） （法一）取边的中点，连接           ……………1分 ∵为的中点，∴∥且=              同理可得：  ∥且=…………2分 又∵在直三棱柱中，∥且= ∴四边形为平行四边形                 …………1分 ∴∥                             ……………1分 又∵平面,且平面 ∴∥平面                           ………1分 （法二）取边的中点                     ………1分 ∵分别为,的中点 ∴∥,∥                    ………2分[ ∴平面∥平面                     ………2分 ∴∥平面                          ………1分 略 22. 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为，高，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大（高不变）；二是高度增加 (底面直径不变)。 （1）       分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2）       分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； 哪个方案更经济些？ 参考答案： 解析：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成,则仓库的体积 如果