江苏省镇江市蒋乔中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析

江苏省镇江市蒋乔中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（　　） A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞） 参考答案： C 【考点】并集及其运算． 【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案． 【解答】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞）， B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1）， ∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）． 故选：C． 2. 已知，则为（   ） A.2                 B.3                C.4                 D.5  参考答案： A 略 3. 参考答案： D 4. （5分）已知直线y=（2a﹣1）x+2的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（） A． a＜ B． a＞ C． a≤ D． a≥ 参考答案： A 考点： 直线的倾斜角． 专题： 直线与圆． 分析： 由直线的倾斜角为钝角，可得其斜率小于0，由此求得a的范围． 解答： 直线y=（2a﹣1）x+2斜率为2a﹣1， 由其倾斜角为钝角，可得2a﹣1＜0，即a＜． 故选：A． 点评： 本题考查了直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题． 5. 圆与直线没有公共点的充要条件是 A．            B． C．            D． 参考答案： D 略 6. 函数f（x）=的定义域为（　　） A．[1，2）∪（2，+∞） B．（1，+∞） C．[1，2） D．[1，+∞） 参考答案： A 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】计算题． 【分析】利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可． 【解答】解：由题意解得x∈[1，2）∪（2，+∝） 故选A 【点评】本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键． 7. 以两点A(－3,－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是（   ） A．         B．       C.         D． 参考答案： A 8. 已知则＝． A   2               B -2                C  3+1        D  -3+1 参考答案： A 9. 同时掷两个骰子，向上的点数之和是6的概率是（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 分别计算出所有可能的结果和点数之和为6的所有结果，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】同时掷两个骰子，共有种结果 其中点数之和是6的共有：，共5种结果 点数之和是6的概率为： 本题正确选项：C 【点睛】本题考查古典概型问题中的概率的计算，关键是能够准确计算出总体基本事件个数和符合题意的基本事件个数，属于基础题. 10. 在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（   ） A．8         B．±8          C．16            D．±16 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列{an}满足，若{an}为单调递增的等差数列，其前n项和为，则__________,若{an}为单调递减的等比数列，其前n项和为，则n=__________。 参考答案：    370， 6 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点分别为，则边上高所在的直线方程为　　▲　　． 参考答案： 13. 已知扇形的周长为，则该扇形的面积的最大值为      ▲      ． 参考答案： 4 14. 如果一个函数图象经过平移能另一个函数图象重合，我们说这两个函数是“伴生函数”。给出下列函数：①; ②； ③； ④ ， 其中与函数是伴生函数的是（只填序号）                    参考答案： ③④ 15. 化简：_______________． 参考答案： 16. 某学校有教师300人，其中高级教师90人，中级教师150人，初级教师60人，为了了解教师健康状况，从中抽取40人进行体检．用分层抽样方法抽取高级、中级、初级教师人数分别为_______、________、_________; 参考答案： 12.40.8 试题分析：抽取比例为，所以 考点：分层抽样 17. cos（﹣π）+sin（﹣π）的值是　 　． 参考答案： 0 【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 【解答】解：cos（﹣π）+sin（﹣π）=cos（﹣）+sin（﹣）=cos﹣sin=﹣=0， 故答案为：0． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题共8分） 已知全集， （1）求；  （2）若，求实数的取值范围.   参考答案： （1）解： --------2分，==------6分(2)a≥4------8分   略 19. 已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的范围； （Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数k的范围． 参考答案： 【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】综合题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）只需要利用好所给的在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数； （Ⅱ）要结合（Ⅰ）的结论将问题具体化，在通过游离参数化为求函数?（t）=t2﹣2t+1最小值问题即可获得问题的解答； （Ⅲ）可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答． 【解答】解：（Ⅰ）（1）g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a 当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数 故 当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数 故 ∵b＜1 ∴a=1，b=0 （Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）=x2﹣2x+1.． 方程f（2x）﹣k?2x≥0化为 ， 令，k≤t2﹣2t+1 ∵x∈[﹣1，1]∴记?（t）=t2﹣2t+1 ∴φ（t）min=0 ∴k≤0 （Ⅲ）方程 化为 |2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0 令|2x﹣1|=t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0） ∵方程有三个不同的实数解， ∴由t=|2x﹣1|的图象知， t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2， 且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1 记?（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k） 则或 ∴k＞0． 【点评】本题考查的是函数与方程以、恒成立问题以及解的个数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、恒成立的思想以及数形结合和问题转化的思想．值得同学们体会反思． 20. 已知锐角α，β满足cosα=，cos（α+β）=﹣，求cosβ． 参考答案： 【考点】GP：两角和与差的余弦函数． 【分析】由同角三角函数的基本关系和角的范围可得sinα和sin（α+β）的值，代入cosβ=cos=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα计算可得． 【解答】解：∵锐角α，β满足cosα=，cos（α+β）=﹣， ∴sinα==， 同理可得sin（α+β）==， ∴cosβ=cos=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα == 21. 在数列中，，，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的前项和. 参考答案： （1）；（2）. 【分析】 （1）由题意知，数列是等差数列，可设该数列的公差为，根据题中条件列方程解出的值，再利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，并将该数列的通项裂项，然后利用裂项法求出数列的前项和. 【详解】（1）对任意的，，则数列是等差数列，设该数列的公差为， 则，解得， ； （2）， 因此，. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，同时也考查了裂项求和法，解题时要熟悉等差数列的几种判断方法，同时也要熟悉裂项求和法对数列通项结构的要求，考查运算求解能力，属于中等题. 22. 求函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx. x∈﹝0, ﹞的最大值并求出相应的x值. 参考答案： 解：设t=sinx+cosx=sin(＋x),………(2分）    x∈﹝0, ﹞ ∴…………（5分） 则 ∴函数f(x)=sinx+cosx+sinxcosx=……（8分） ∴函数f(x)在（1，）单调递增， ∴当t=sinx+cosx=sin(＋x)时函数f(x)有最大值……（10分）     此时，t=sinx+cosx=sin(＋x)=，x=……………（12分）