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2022-2023学年安徽省宿州市渔沟中学高一数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 直线x+ay﹣7=0与直线(a+1)x+2y﹣14=0互相平行,则a的值是( )
A.1 B.﹣2 C.1或﹣2 D.﹣1或2
参考答案:
B
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】利用直线x+ay﹣7=0与直线(a+1)x+2y﹣14=0互相平行的充要条件,即可求得a的值.
【解答】解:∵直线x+ay﹣7=0与直线(a+1)x+2y﹣14=0互相平行
∴1×2﹣a(a+1)=0
∴a2+a﹣2=0
∴a=﹣2或a=1
当a=﹣2时,直线x﹣2y﹣7=0与直线﹣x+2y﹣14=0互相平行;
当a=1时,直线x+y﹣7=0与直线2x+2y﹣14=0重合,不满足题意;
故a=﹣2
故选B.
2. 若,则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
设,则,且,利用化简并求解即可
【详解】解:设,则,且,
则,
故选:A.
【点睛】本题考查三角函数的倍角公式,属于基础题
3. 在△ABC中,若△BCD为等边三角形(A,D两点在BC两侧),则当四边形ABDC的面积最大时,( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
求出三角形的面积,求出四边形的面积,运用三角函数的恒等变换和正弦函数的值域,求出满足条件的角的值即可.
【详解】设,,,
是正三角形,
,
由余弦定理得:,
,
时,四边形的面积最大,
此时.
故选:A.
【点睛】本题考查余弦定理和三角形的面积公式,考查两角的和差公式和正弦函数的值域,考查化简运算能力,属于中档题.
4. 已知角α的终边经过点P(﹣3,4),则sinα的值等于( )
A.﹣ B. C. D.﹣
参考答案:
C
【考点】任意角的三角函数的定义.
【专题】三角函数的求值.
【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3,y=4,r=5,由此求得sinα= 的值.
【解答】解:∵已知角α的终边经过点P(﹣3,4),由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3,y=4,r=5,
∴sinα==,
故选C.
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,
5. 与正弦曲线关于直线对称的曲线是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 已知函数,且.则
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 已知数列{an+81}是公比为3的等比数列,其中a1=﹣78,则数列{|an|}的前100项和为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】8E:数列的求和.
【分析】数列{an+81}是公比为3的等比数列,其中a1=﹣78,k可得an+81=3×3n﹣1,可得an=3n﹣81.n≤4时,an≤0,n≥5时,an>0.因此数列{|an|}的前100项和=81﹣3+81﹣9+81﹣27+0+(35﹣81)+(36﹣81)+…+,再利用等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:∵数列{an+81}是公比为3的等比数列,其中a1=﹣78,
∴an+81=3×3n﹣1,可得an=3n﹣81.
n≤4时,an≤0,n≥5时,an>0.
则数列{|an|}的前100项和=81﹣3+81﹣9+81﹣27+0+(35﹣81)+(36﹣81)+…+
=204+﹣81×
=.
故选:C.
8. 已知函数,若,则实数( )
A.或6 B.或 C.或2 D.2或
参考答案:
A
略
9. 条件,条件函数是偶函数,则是的( )
A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
参考答案:
C
10. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y= B.y=e﹣x C.y=﹣x2+1 D.y=lg|x|
参考答案:
C
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【分析】根据偶函数的定义,可得C,D是偶函数,其中C在区间(0,+∞)上单调递减,D在区间(0,+∞)上单调递增,可得结论.
【解答】解:根据偶函数的定义,可得C,D是偶函数,其中C在区间(0,+∞)上单调递减,D在区间(0,+∞)上单调递增,
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)已知f(x)是定义R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2﹣2x+3,则f(3)= .
参考答案:
-18
考点: 函数奇偶性的性质.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据当x<0时,f(x)=x2﹣2x+3,可得f(﹣3).利用f(x)是定义R上的奇函数,可得f(3)=﹣f(﹣3).
解答: ∵当x<0时,f(x)=x2﹣2x+3,
∴f(﹣3)=(﹣3)2﹣2×(﹣3)+3=18.
∵f(x)是定义R上的奇函数,
∴f(3)=﹣f(﹣3)=﹣18.
故答案为:﹣18.
点评: 本题考查了函数的奇偶性,属于基础题.
12. 已知函数f(x)=x2﹣2ax+b是定义在区间[﹣2b,3b﹣1]上的偶函数,则函数f(x)的值域为 .
参考答案:
[1,5]
∵函数在区间上的偶函数
∴
∴即[1,5].
13. (5分)若直线x﹣y=1与直线(m+3)x+my﹣8=0平行,则m= .
参考答案:
考点: 两条直线平行的判定.
专题: 计算题.
分析: 两直线平得,则其斜率相等,故应先解出两直线的斜率的表达式,令其斜率相等得到参数的方程求参数.
解答: 直线x﹣y=1的斜率为1,(m+3)x+my﹣8=0斜率为
两直线平行,则=1解得m=﹣.
故应填﹣.
点评: 本题考查直线平行的条件,利用直线平行两直线的斜率相等建立方程求参数,这是高考试题中考查直线平行条件的主要方式.
14. 若数列{an}是正项数列,且,则an=_______.
参考答案:
【分析】
有已知条件可得出,时,与题中的递推关系式相减即可得出,且当时也成立。
【详解】数列是正项数列,且
所以,即
时
两式相减得,
所以( )
当时,适合上式,所以
【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式,属于一般题。
15. 已知,若,则_____.
参考答案:
【分析】
利用倍角公式和同角的三角函数的基本关系式化简后即得.
【详解】因为,故,
因,故,故即.
【点睛】三角函数的化简求值问题,可以从四个角度去分析:(1)看函数名的差异;(2)看结构的差异;(3)看角的差异;(4)看次数的差异.对应的方法是:弦切互化法、辅助角公式(或公式的逆用)、角的分拆与整合(用已知的角表示未知的角)、升幂降幂法.
16. .函数在区间上的最大值是___________________
参考答案:
略
17. (5分)若方程2x+x﹣5=0在区间(n,n+1)上有实数根,其中n为正整数,则n的值为 .
参考答案:
1
考点: 函数零点的判定定理.
专题: 计算题;函数的性质及应用.
分析: 方程2x+x﹣5=0在区间(n,n+1)上有实数根可化为函数f(x)=2x+x﹣5在区间(n,n+1)上有零点,从而由零点的判定定理求解.
解答: 方程2x+x﹣5=0在区间(n,n+1)上有实数根可化为
函数f(x)=2x+x﹣5在区间(n,n+1)上有零点,
函数f(x)=2x+x﹣5在定义域上连续,
f(1)=2+1﹣5<0,f(2)=4+2﹣5>0;
故方程2x+x﹣5=0在区间(1,2)上有实数根,
故n的值为1;
故答案为:1.
点评: 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知,,,均为锐角.
(1)求值;(2)求的值.
参考答案:
答案:由题知:, ………………………4分
(1);
………………………9分
(2)
………………………14分
略
19. 在正方体中,棱长为2,是棱上中点,是棱中点,(1)求证:面;(2)求三棱锥的体积.
参考答案:
(1)取中点Q,连接PQ,
则PQ为中位线,,
而正方体,E是棱CD上中点,
故,
,所以四边形PQDE为平行四边形。
∴PD//QE, 而面,面,故面
(2)正方体中,面ABE,故为高,
∵CD//AB∴
故
略
20. 如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。
(1)证明PA//平面EDB;
(2)证明PB⊥平面EFD;
参考答案:
(1)证明:连结AC,AC交BD于O,连结EO。
∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点
在中,EO是中位线,∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB,
所以,PA // 平面EDB
(2)∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,
∴
∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴。 ①
同理由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC。
而平面PDC,∴。 ②
由①和②推得平面PBC。
而平面PBC,∴
又∵EF⊥PB,∴PB⊥平面EFD
21. 已知函数f(x)=2x+(a∈R).
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上是增函数,求a的取值范围.
参考答案:
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【分析】(1)根据函数奇偶性的定义进行判断即可.
(2)根据函数单调性的定义进行求解即可.
【解答】解:(1)函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
则f(﹣x)=﹣2x﹣=﹣(2x+)=﹣f(x),则函数f(x)是奇函数.
(2)设2≤x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=2x1﹣2x2+﹣=,
∵函数f(x)在[2,+∞)上是增函数,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∵x1﹣x2<0,x1x2>4,
∴2x1x2﹣a>0,
∴a<2x1x2,则a≤8.
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用,利用定义法是解决本题的关键.
22. 已知在⊿ABC中,A(3,2)、B(-1,5),C点在直线上,若⊿ABC的面积为10,求C点的坐标.
参考答案:
解:设点C到直线AB的距离为d
由题意知: ………………………………………2分
………………………
直线AB的方程为:,即……………………………6分
C点在直线3x-y+3=0上,设C
…………10分
C点的坐标为:或…………………12分
略
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