广东省阳江市海陵中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

广东省阳江市海陵中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中,若,,则△ABC的面积为（   ） A     B.1    C.     D. 2 参考答案： C 试题分析：由结合余弦定理，可得，则．故答案选C． 考点：余弦定理，同角间基本关系式，三角形面积公式． 2. （5分）（2015?天水校级模拟）已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且，则数列{|log2an|}前10项和为（　　） A．58 B．56 C．50 D．45 参考答案： A 【考点】等比数列的性质． 【专题】计算题；等差数列与等比数列． 【分析】由{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且，求出q，可得an==27﹣2n，再求数列{|log2an|}前10项和． 【解答】解：∵{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且， ∴=， ∴1+q3=， ∴q= ∴an==27﹣2n， ∴|log2an|=|7﹣2n|， ∴数列{|log2an|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58， 故选：A． 【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 3. 在的(      ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 4. “”是“表示焦点在y轴上的椭圆”的（   ）条件 A．充分而非必要    B．充要   C．必要而非充分   D．既不充分又非必要 参考答案： C 5. 设是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且， 则点的轨迹为                                              （     ） （A）圆或椭圆  （B）抛物线或双曲线 （C）椭圆或双曲线（D）以上均有可能 参考答案： D 略 6. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. B. C. D. 参考答案： B 设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算. 7. 是的（  ） A．充分不必要条件        B．必要不充分条件       C．充要条件                 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 略 8. 下列语句是命题的为(    ) A. x-1>0            B. 他还年青           C. 20-5×3=10      D. 在20020年前,将有人登上为火星 参考答案： C 略 9. 若方程C：（是常数）则下列结论正确的是（   ） A．，方程C表示椭圆 w. B．，方程C表示双曲线 C．，方程C表示椭圆    D．，方程C表示抛物线 参考答案： B 10. 一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是                   （     ）    （A）（0o，90o） （B）[0o，90o]     （C）[0o，180o]    （D）[0o，180o] 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是        ． 参考答案： l∥A1C1 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l，由线面平行的性质定理，得l∥A1C1． 【解答】解：因为A1C1∥AC， A1C1不包含于平面AB1C，AC?平面AB1C， 所以A1C1∥平面AB1C， 又因为A1C1在底面A1B1C1D1内， 平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直线l， 根据线面平行的性质定理， 得l∥A1C1． 故答案为：l∥A1C1． 【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 12. 曲线y=﹣5ex+3在点（0，﹣2）处的切线方程为　　． 参考答案： 5x+y+2=0． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可． 【解答】解：y′=﹣5ex， ∴y′|x=0=﹣5． 因此所求的切线方程为：y+2=﹣5x，即5x+y+2=0． 故答案为：5x+y+2=0． 13. 给出下列命题： ①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直； ②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α； ③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β； ④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1． 其中真命题的是　　．（把你认为正确命题的序号都填上） 参考答案： ①④ 【考点】平面的法向量． 【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m； ②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α； ③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β； ④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值． 【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣）， ∴?=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0， ∴⊥， ∴直线l与m垂直，①正确； 对于②， =（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1）， ∴?=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0， ∴⊥，∴l∥α或l?α，②错误； 对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2）， ∴与不共线， ∴α∥β不成立，③错误； 对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0）， ∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0）， 向量=（1，u，t）是平面α的法向量， ∴， 即； 则u+t=1，④正确． 综上，以上真命题的序号是①④． 故答案为：①④． 14. 给出平面区域如图所示，其中A（1，1），B（2，5），C（4，3），若使目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是______  参考答案： 略 15. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__       __ 参考答案： 16. 若空间向量满足 ， ，则 =_____________. 参考答案： 略 17. 已知函数在处有极大值,则常数 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=ex+ax，g（x）=ax﹣lnx，其中 a＜0． （1）若函数f（x）是（l，ln 5）上的单调函数，求a的取值范围； （2）若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出原函数的导函数，由导函数在区间（l，ln 5）上恒大于等于0或恒小于等于0，利用分离参数法求得a的取值范围； （2）求出函数f（x）的单调区间，求导可知，a＜0时g（x）在定义域内为减函数，再由f（x）的减区间非空求得a的范围． 【解答】解：（1）f′（x）=ex+a， ∵函数f（x）是（l，ln 5）上的单调函数， ∴f′（x）=ex+a在（l，ln 5）上恒大于等于0或恒小于等于0． 由f′（x）=ex+a≥0，得a≥﹣ex， ∵当x∈（l，ln 5）时，﹣ex∈（﹣5，﹣e）， ∴a∈[﹣e，0）； 由f′（x）=ex+a≤0，得a≤﹣ex， ∵当x∈（l，ln 5）时，﹣ex∈（﹣5，﹣e）， ∴a∈（﹣∞，﹣5]． 综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[﹣e，0）； （2）f′（x）=ex+a，令f′（x）=ex+a=0，得x=ln﹣a， 当x∈（﹣∞，ln（﹣a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（﹣a），+∞）时，f′（x）＞0． ∴f（x）的减区间为（﹣∞，ln（﹣a）），增区间为（ln（﹣a），+∞）； g′（x）=a﹣（x＞0）， ∵a＜0，∴g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减． 若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性， 则ln（﹣a）＞0，即﹣a＞1，得a＜﹣1． ∴a的取值范围是（﹣∞，﹣1）． 19. 已知二次函数=，且不等式的解集为。 （1）求的解析式； （2）若不等式对于恒成立，求实数m的取值范围。 参考答案： 解:     20. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c． （Ⅰ）求C； （Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长． 参考答案： 【考点】解三角形． 【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数； （2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长． 【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC， 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC， ∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC ∴cosC=， 又0＜C＜π， ∴C=； （Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?， ∴（a+b）2﹣3ab=7， ∵S=absinC=ab=， ∴ab=6， ∴（a+b）2﹣18=7， ∴a+b=5， ∴△ABC的周长为5+． 21. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为y=，以O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系， （1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程； （2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求+． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论； （2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+． 【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0 直线C2的方程为y=，极坐标方程为tanθ=； （2）直线C2与曲线C1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0， 设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7， ∴+==． 22. 如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD=2BE=4，∠CDE=60°，△ADE是边长为2的等边三角形，F为AC的中点．AC=4 （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCDE；