2022年广西壮族自治区柳州市白露中学高二数学理月考试卷含解析

2022年广西壮族自治区柳州市白露中学高二数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（    ） A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 参考答案： C 【分析】 根据正四棱柱的底面是正方形,高为4,体积为16,求得底面正方形的边长,再求出其对角线长,然后根据正四棱柱的体对角线是外接球的直径可得球的半径,再根据球的表面积公式可求得. 【详解】依题意正四棱柱的体对角线是其外接球的直径, 的中点是球心, 如图: 依题意设 ,则正四棱柱的体积为:,解得, 所以外接球的直径, 所以外接球的半径,则这个球的表面积是. 故选C. 【点睛】本题考查了球与正四棱柱的组合体,球的表面积公式,正四棱柱的体积公式,属中档题. 2. 如果实数x、y满足，目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值3，那么实数k的值为（　　） A．2 B．﹣2 C． D．不存在 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】先画出可行域，得到角点坐标．再通过对斜率的分类讨论得到最大最小值点，与原题相结合即可得到答案． 【解答】解：可行域如图：得：A（1，4.4），B（5，2），C（1，1）． 所以：l1：x﹣4y+3=0的斜率k1=；L2：3x+5y﹣25=0的斜率k2=﹣． ①当﹣k∈（0，）时，C为最小值点，A为最大值点； ②当﹣k＞时，C为最小值点，A为最大值点，； ③当﹣＜﹣k＜0时，C为最小值点，A为最大值点，； ④当﹣k＜﹣时，C为最小值点，B为最大值点， 由④得k=2，其它情况解得不符合要求． 故k=2． 故选：A． 3. 定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=3，f'（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+2（e其中为自然对数的底数）的解集是（　　） A．{x|x＞0} B．{x|x＜0} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} 参考答案： B 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】令F（x）=exf（x）﹣ex﹣2，从而求导F′（x）=ex（f（x）+f′（x）﹣1）＞0，从而由导数求解不等式． 【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f'（x）＞1﹣f（x），可得f（x）+f′（x）﹣1＞0， 令F（x）=exf（x）﹣ex﹣2， 则F′（x）=ex＞0， 故F（x）是R上的单调增函数， 而F（0）=e0f（0）﹣e0﹣2=0， 故不等式exf（x）＜ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（﹣∞，0）； 故选：B． 4. 集合，，若，则的值为（    ）              D. 参考答案： D 略 5. 设不等式组所表示的平面区域为S,若A,B为区域S内的两个动点，则的最大值为（    ） A.        B.          C.            D. 参考答案： B 6. 若a、b、c是不全相等的实数，求证：． 证明过程如下： ，，，， 又∵a、b、c不全相等， 以上三式至少有一个“”不成立， 将以上三式相加得， ． 此证法是（   ） A. 分析法 B. 综合法 C. 分析法与综合法并用 D. 反证法 参考答案： B 【详解】因为，综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，所以，本题用的是综合法，故选B.   7. 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直     (　　)   A．①③                B．①②           C．②④            D．①④ 参考答案： A 略 8. 在的展开式中不含的项的系数绝对值的和为243，不含的项的系数绝对值的和为32，则的值可能为（    ）      A．         B．       C．         D． 参考答案： D 试题分析：据展开式中不含的项是个都不出，即展开式中不含的项的系数绝对值的和就是展开式中系数绝对值的和，同样的道理能得不含的项的系数绝对值的和，列出方程解得．根据求解的二项式系数的特征，通过不同的赋值得出的关系式，然后加以整合. 由题意，令，不含的项的系数的绝对值为；令，不含的项的系数的绝对值为， ∴，，将各选项的参数取值代入验证知，. 故选D. 考点：二项式定理与性质. 9. 已知复数z满足，则z的虚部为（ ） A. －4 B. C. 4 D. 参考答案： D 试题解析：设 ∴，解得 考点：本题考查复数运算及复数的概念 点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念 10. 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是  (     ) A． 4        B. 6        C. 8         D. 12 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 当时，函数的值域是      ▲     ． 参考答案： 12. 已知点（x，y）在如图所示的阴影部分内运动，则z=2x+y的最大值是__________． 参考答案： 6 考点：简单线性规划． 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用． 分析：将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距，由几何意义可得． 解答： 解：将z=2x+y化为y=﹣2x+z，z相当于直线y=﹣2x+z的纵截距， 故由图可得， 当过点（3，0）时，有最大值， 即z=2x+y的最大值是6+0=6； 故答案为：6． 点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题． 13. 等差数列中，公差，,,成等比数列，则=   参考答案： 14. 过抛物线焦点的弦，过两点分别作其准线的垂线，垂足分别为，倾斜角为，若，则   ①；．②， ③，  ④  ⑤   其中结论正确的序号为                 参考答案： ①②③④⑤ 15. 若复数是纯虚数，则实数a= _________________ 。 参考答案： 2 【分析】 将复数化简为标准形式,取实部为0得到答案. 【详解】 【点睛】本题考查了复数的计算,属于简单题. 16. 如果p：x＞2，q：x＞3，那么p是q的     条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选出适当的一种填空） 参考答案： 必要不充分 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】直接利用充要条件的判断方法结合集合的包含关系判断即可． 【解答】解：因为p：x＞2，得不到q：x＞3； 但是x＞3；得到x＞2； 所以么p是q的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分． 17. 椭圆+=1的焦距为　    　． 参考答案： 4 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】直接利用椭圆的方程，求出长半轴，短半轴，然后求解焦距． 【解答】解：椭圆+=1的长半轴为3，短半轴为，则c=， 椭圆的焦距为：4． 故答案为：4． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某创业投资公司拟投资某种新能源产品，研发小组经过初步论证，估计能获得10万元到100万元的投资效益，现准备制定一个对研发小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过投资收益的20%且不超过9万元，设奖励y是投资收益x的模型为y=f（x）． （1）试验证函数y=+1是否符合函数x模型请说明理由； （2）若公司投资公司采用函数模型f（x）=，试确定最小的正整数a的值． 参考答案： （1）判断y=的单调性，求出函数的最大值与9的大小关系，判断﹣x≤0在[10，100]上是否恒成立； （2）令f（x）﹣≤0在[10，100]上恒成立，解出a的范围，再令f函数y=+1是增函数，当x=100时，y=＜9， ∴奖金y随投资收益x的增加而增加，且奖金不超过9万元， 令g（x）=≤0得x≥， ∴当10≤x≤100时，奖金不超过投资收益的20%， 综上，函数y=+1符合函数x模型． （2）f（x）==10﹣， 显然，当a＞0时，f（x）是增函数， 令f﹣x=﹣≤0在[10，100]上恒成立， 得15a≥﹣x2+48x， 令h（x）=﹣x2+48x，则h（x）在[10，24]上单调递增，在（24，100]上单调递减， ∴h（x）的最大值为h（24）=576， ∴15a≥576，即a≥ 综上，a≥， ∴最小的正整数a的值为38． 19. （本小题满分12 分） 已知函数是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的、∈R，都满足，若=1，. （1）求、、的值；（2）猜测数列通项公式，并用数学归纳法证明. 参考答案： （1）                           ----------------------3分   （2）由（1）可猜测： =n?--------------------------5分 下用数学归纳法证明： 当n=1时，左边=右式= 1? ? n=1时，命题成立。 假设n=k时，命题成立，即：=k?，---------------------7分 则n=k+1时，左边=                            --------------------------------------10分 ? n=k+1时，命题成立。  综上可知：对任意n∈都有=n?。-----------------11分 所以： =。-------------------------------------------12分 20. 设函数 （1）       解不等式； （2）       求函数的最小值。 参考答案： （1） 时， 时， 时， 综上， （2）时， 时， 时， 综上，          略 21. 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积． 参考答案： （1）；（2）． 试题分析：（1）根据正弦定理，，，代入原式，整理为，再公共辅助角公式化简，根据，计算角； （2）因为知道代入余弦定理，，得到，最后代入面积公式，计算面积． 试题解析：（1）在△ABC中，由正弦定理得， 即，又角为三角形内角， 所以，即， 又因为，所以． （2）在△ABC中，由余弦定理得： ，则 即，解得或， 又，所以． 考点：1．正弦定理；2．余弦定理；3．面积公式． 22. ( 本小题满分12分) 已知 （1）求的值；   （2）求的值。 参考答案： （1）    （2）