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2022-2023学年江西省吉安市敖城中学高一数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数f(x)= +1,则f(x-1)=
A. B. C. +1 D. +x
参考答案:
C
2. 函数f(x)=2x+3x的零点所在的区间是 ( )
A.(-2,-1) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2)
参考答案:
C
略
3. 已知集合,,则=( )
A.{2,4} B.{1,2,3,4,6} C.{3} D.{4,6}
参考答案:
A
4. (5分)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=﹣x+1,则当x<0时,f(x)=()
A. ﹣x﹣1 B. ﹣x+1 C. x+1 D. x﹣1
参考答案:
A
考点: 函数解析式的求解及常用方法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 根据题意,x<0时,﹣x>0,求出f(﹣x)的表达式,再利用奇函数求出f(x)的表达式.
解答: 解:∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,且x>0时,f(x)=﹣x+1,
∴当x<0时,﹣x>0,
∴f(﹣x)=﹣(﹣x)+1=x+1;
又f(﹣x)=﹣f(x),
∴﹣f(x)=x+1,
∴f(x)=﹣x﹣1.
故选:A.
点评: 本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的应用问题,是基础题目.
5. 函数在区间上的最大值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C 解析:是函数的递减区间,
6. 执行如图所示的程序框图,输出的s值为( )
参考答案:
D
略
7. ---------------( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 函数的大致图像是()
A B C D
参考答案:
C
9. 在等比数列{an}中,Tn表示前n项的积,若T5=1,则( )
A.a1=1 B.a3=1 C.a4=1 D.a5=1
参考答案:
B
略
10. 设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若AB,则a的取值范围是( )
A.a≥1 B.a≥2 C.a≤1 D.a≤2
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个长方体的长宽高分别为2cm,2cm, cm,它的顶点都在球面上,则球的体积是 .
参考答案:
cm3
【考点】球的体积和表面积.
【专题】计算题;方程思想;综合法;立体几何.
【分析】长方体的对角线就是外接球的直径,求出长方体的对角线长,即可求出球的半径.
【解答】解:由题意长方体的对角线就是球的直径,所以长方体的对角线长为: =4,
所以球的直径为:4;半径为:2,
所以球的体积是=cm3.
故答案为: cm3.
【点评】本题是基础题,考查长方体的外接球的半径的求法,考查计算能力,比较基础.
12. 定义符号函数,,若
设,则函数的最大值为 .
参考答案:
∵f1(x)=x(x)=2(1﹣x),
∴f(x)?f2(x)?f2(x),
当x≤1时,f(x)?(x)?(2﹣2x)=1﹣x,此时f(x)<f()=1,
当x时,f(x)?(x)(2﹣2x)(x),
当0≤x时,f(x)(x)(2﹣2x)x,此时f(x)<f()
综上所述:当x∈[0,1],则函数f(x)的最大值为,
故答案为:
13. 已知3x=2y=12,则+= .
参考答案:
1
【考点】对数的运算性质.
【分析】把指数式化为对数式,再利用对数的运算性质即可得出.
【解答】解:∵3x=2y=12,
∴x=,y=,
则+=+==1.
故答案为:1.
【点评】本题考查了指数与对数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
14. 若 则=
参考答案:
36
15. 函数的定义域为 .
参考答案:
略
16. 如果,且是第四象限的角,那么 。
参考答案:
如果,且是第四象限的角,
则,
再由诱导公式求得.
17. 已知函数f(x)=(x+1)2,若存在实数a,使得f(x+a)≤2x─4对任意的x∈[2,t]恒成立,则实数t的最大值为_________________.
参考答案:
4
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知函数(a>1),求证:
(1)函数f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数;
(2)方程f(x)=0没有负数根.
参考答案:
考点: 函数单调性的判断与证明;函数与方程的综合运用.
专题: 证明题.
分析: (1)证明函数的单调性,一个重要的基本的方法就是根据函数单调性的定义;
(2)对于否定性命题的证明,可用反证法,先假设方程f(x)=0有负数根,经过层层推理,最后推出一个矛盾的结论.
解答: 证明:(1)设﹣1<x1<x2,
则
=,
∵﹣1<x1<x2,∴x1+1>0,x2+1>0,x1﹣x2<0,
∴;
∵﹣1<x1<x2,且a>1,∴,∴,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在(﹣1,+∞)上为增函数;
(2)假设x0是方程f(x)=0的负数根,且x0≠﹣1,则,
即,①
当﹣1<x0<0时,0<x0+1<1,∴,
∴,而由a>1知.∴①式不成立;
当x0<﹣1时,x0+1<0,∴,∴,而.
∴①式不成立.综上所述,方程f(x)=0没有负数根.
点评: (1)函数的单调性就是随着x的变大,y在变大就是增函数,y变小就是减函数,具有这样的性质就说函数具有单调性,符号表示:就是定义域内的任意取x1,x2,且x1<x2,比较f(x1),f(x2)的大小 (当f(x1)<f(x2)则是增函数,当f(x1)>f(x2)则是减函数);
(2)方程的根,就是指使方程成立的未知数的值.对于结论是否定形式的命题,往往用反证法证明.
19. (本小题满分12分)
已知四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为直角梯形,CD⊥平面ABC,侧面ABCD是等腰直角三角形,∠EBC=∠ABC=90°,BC=CD=2BE,点M是棱AD的中点
(1)求异面直线ME与AB所成角的大小;
(Ⅱ)证明:平面AED⊥平面ACD.
参考答案:
(I)证明:取AC的中点F,连接BF,MF.
因为点是棱的中点,所以.
又因为底面为直角梯形,,
且,所以.
所以四边形BFME是平行四边形,所以.
所以就是异面直线与所成角,……………………………………………6分
而是等腰直角三角形,,所以.………………………8分
(II)因为,所以.因为平面,所以.
又所以平面.…………………………………………………10分
所以平面.
而平面,所以平面平面. ……………………………………12分
20. 已知向量,.
(Ⅰ)当,时,有,求实数的值;
(Ⅱ)对于任意的实数和任意的,均有,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)当,时,,,
∵∴∴
(Ⅱ)已知:任意与,有恒成立
令,,则
或
令且,
即:,,
则:或
法一:含参分类讨论(对称轴与定义域的位置关系)
法二:参分求最值(注意单调区间)
或
或
由单调性可得或
综上可得实数的取值范围为或.
21. (本题9分)
函数是定义在上的奇函数,当时且。
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的解析式。
参考答案:
略
22. (14分)写出与﹣终边相同的角的集合S,并把S中在﹣4π到4π之间的角写出来.
参考答案:
考点: 终边相同的角.
专题: 三角函数的求值.
分析: 根据题意写出S,根据β的范围,分别令k=﹣1,0,1,2即可求出相应元素β的值;
解答: 根据题意得:S={x|x=2kπ﹣,k∈Z},
又∵﹣4π≤β<4π,k=﹣1,0,1,2,
∴β=,,,.
点评: 此题考查终边相同的角,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
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