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2022-2023学年辽宁省辽阳市县穆家中学高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子里,有放回地取100次,每次取一张卡片,并记下号码,统计结果如下:
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37
参考答案:
A
取到号码为奇数的卡片共有13+5+6+18+11=53(次),所以取到号码为奇数的频率为=0.53.
2. 若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 已知集合M={x∈Z|x(x﹣3)≤0},N={x|lnx<1},则M∩N=( )
A.{1,2} B.{2,3} C.{0,1,2} D.{1,2,3}
参考答案:
A
【考点】交集及其运算.
【分析】解不等式化简集合M、N,根据交集的定义写出M∩N.
【解答】解:集合M={x∈Z|x(x﹣3)≤0}={x∈Z|0≤x≤3}={0,1,2,3},
N={x|lnx<1}={x|0<x<e},
则M∩N={1,2}.
故选:A.
4. 函数 的图象一定经过点( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
5. 已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
6. 如图,在等腰直角三角形ABO中,OA=OB=1,C为AB上靠近点A的四等分点,过点C作AB的垂线l,P为垂线上任一点,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
A
试题分析:,,
,故选A.
7. tan60°=( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】根据特殊角的三角函数值,可得答案.
【解答】解:tan60°=,
故选:D
【点评】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值,难度不大,属于基础题.
8. 下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 设函数f(x)=1﹣,g(x)=ln(ax2﹣3x+1),若对任意的x1∈[0,+∞),都存在x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的最大值为( )
A.2 B. C.4 D.
参考答案:
B
【考点】函数的值.
【分析】设g(x)=ln(ax2﹣3x+1)的值域为A,则(﹣∞,0]?A,从而h(x)=ax2﹣3x+1至少要取遍(0,1]中的每一个数,又h(0)=1,由此能求出实数a的最大值.
【解答】解:设g(x)=ln(ax2﹣3x+1)的值域为A,
∵f(x)=1﹣在[0,+∞)上的值域为(﹣∞,0],
∴(﹣∞,0]?A,
∴h(x)=ax2﹣3x+1至少要取遍(0,1]中的每一个数,
又h(0)=1,
∴实数a需要满足a≤0或,
解得a≤.
∴实数a的最大值为.
故选:B.
10. 函数的定义域为( )
A. [-3,+∞) B. (2,+∞) C. [-3,2)∪(2,+∞) D. (-∞,2)∪(2,+∞)
参考答案:
C
要使函数解析式 有意义,
,
且 ,
函数 的定义域为 ,故选C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,,,则a,b,c由小到大的顺序为 .
参考答案:
c<a<b
【考点】不等关系与不等式;指数函数的图象与性质;对数值大小的比较.
【分析】由0<sin,cos,tan<1及幂函数、指数函数、对数函数的图象或性质即可比较出a,b,c的大小.
【解答】解:∵,∴0,即c<0;
∵,∴0<<1,即0<a<1;
∵tan>0,∴,即b>1.
故c<a<b.
12. 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答)
参考答案:
1560
试题分析:通过题意,列出排列关系式,求解即可.
解:某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了=40×39=1560条.
故答案为:1560.
点评:本题考查排列数个数的应用,注意正确理解题意是解题的关键.
13. 已知为上的奇函数,则的值为
参考答案:
0
14. 若幂函数的图象过点,则__________.
参考答案:
略
15. 计算 .
参考答案:
16. 在锐角中,角的对边分别为.若,则角的大小为为____.
参考答案:
由,两边同除以得,由余弦定理可得是锐角,,故答案为.
17. 在△ABC中,已知A=45°,AB=,BC=2,则C=___________.
参考答案:
、30°
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)
已知,且是方程的两根.
(1)求的值. (2)求的值.
参考答案:
答案:(1)
(2) 由(1)得
由(2)得
略
19. 如图,已知AF⊥平面ABCD,四边形ABEF为矩形,四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,AB∥CD,AD=AF=CD=2,AB=4.
(Ⅰ)求证:AF∥平面BCE;
(II)求证:AC⊥平面BCE;
(Ⅲ)求二面角F﹣BC﹣D平面角的余弦值.
参考答案:
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
【分析】(I)由AF∥BE,BE?平面BCE,AF?平面BCE,得AF∥平面BCE.
(II)过C作CM⊥AB,垂足为M,由AC2+BC2=AB2,得AC⊥BC;再证BE⊥AC,即可得到AC⊥平面BCE.
(III∠FCA为二面角F﹣BC﹣D平面角的平面角,在Rt△AFC中,求得二面角F﹣BC﹣D平面角的余弦值
【解答】解:(I)因为四边形ABEF为矩形,所以AF∥BE,BE?平面BCE,AF?平面BCE,
所以AF∥平面BCE.
(II)过C作CM⊥AB,垂足为M,
因为AD⊥DC所以四边形ADCM为矩形.所以AM=MB=2,又因为AD=2,AB=4所以AC=2,CM=2,BC=2
所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC;
因为AF⊥平面ABCD,AF∥BE,所以BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC,
又因为BE?平面BCE,BC?平面BCE,BE∩BC=B所以AC⊥平面BCE.
(III)∵FA⊥面ABCD,AC⊥BC,∴∠FCA为二面角F﹣BC﹣D平面角的平面角,在Rt△AFC中,cos∠ACF=
二面角F﹣BC﹣D平面角的余弦值为
20. 在平面直角坐标系中,已知点和.
()若,是正方形一条边上的两个顶点,求这个正方形过顶点的两条边所在直线的方程.
()若,是正方形一条对角线上的两个顶点,求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及其端点的坐标.
参考答案:
()和.
()另外一条对角线为,端点为和.
()∵,,
,,
与直线垂直的直线斜率,,
整理得所求两条直线为和.
()∵直线方程为:,
另外一条对角线斜率,
设中点为,则另一条对角线过点,
∴,整理得,
设另外两个端点坐标分别为,,
∵在直线上,
∴,①
且,
∴,②
联立①②解出或,
即另外两个端点为与.
21. 设等差数列{an}的前n项和Sn,且.
(1)求的值;
(2)求Sn取得最小值时,求n的值.
参考答案:
解:(1)法一:设的公差为,
由题,,解得,∴.
法二:由题,,∴,于是.
(2)法一:,当或时,取得最小值.
法二:,∴,
故当或时,取得最小值.
22. 如图,三个同样大小的正方形并排一行.
(Ⅰ)求与夹角的余弦值.
(Ⅱ)求∠BOD+∠COD.
参考答案:
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【专题】计算题.
【分析】设正方形的边长为1,可得,,,的坐标,(1)cos<,>=代入数据计算可得;(2)同理可得cos∠BOD,cos∠COD的值,由平方关系可得sin∠BOD和sin∠COD的值,可得cos(∠BOD+∠COD)的值,结合角的范围可得答案.
【解答】解:设正方形的边长为1,则A(1,1),B(2,1),C(3,1),D(3,0),
故=(1,1),=(2,1),=(3,1),=(3,0)
(1)可得cos<,>===,
(2)同理可得cos∠BOD===,
故可得sin∠BOD==,
cos∠COD===,sin∠COD=,
故cos(∠BOD+∠COD)==,
由角的范围可知∠BOD+∠COD=
【点评】本题考查数量积表示向量的夹角,涉及和差角三角函数,属中档题.
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