资源描述
2021～2022学年高三第一学期期中试卷
数学试题
(满分：150分 考试时间：120分钟)
一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{1，2，3，4}，则(∁RA)∩B＝( )
A. {1，2} B. {2，3} C. {1，2，3} D. {1，2，3，4}
2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则a4＝( )
A. B. C. D.
3. 已知角A是△ABC的内角，则“sin A＝”是“A＝”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，如果选到的是团员，那么选到的是男生的概率为( )
A. B. C. D.
5. 已知函数f(x)＝若x1，x2，x3，x4是方程f(x)＝t的四个互不相等的实数解，则x1＋x2＋x3＋x4的取值范围是( )
A. [6，＋∞) B. (－∞，2]
C. (4－e－，2] D. [4－e－，2)
6. 已知(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋…＋a2 021x2 021，则＋＋＋…＋＝( )
A. －2 B. －1 C. 0 D. 2
7. 已知函数f(n)＝n2cos (n∈N*)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝( )
A. 5 100 B. 5 150 C. 5 200 D. 5 250
8. 若过点(a，b)可以作曲线y＝ln x的两条切线，则( )
A. eb＜a B. ea＜b C. 0＜a＜eb D. 0＜b＜ea
二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多个选项符合要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量X服从正态分布N(10，102)，则( )
A. 随机变量X的均值为10 B. 随机变量X的方差为10
C. P(X＞10)＝ D. P(X≥0)＋P(X＜20)＞1
10. 已知关于x的不等式aex＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，则( )
A. a＞0 B. b＞0 C. c＞0 D. a＋b＋c＞0
11. 已知等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，且满足0＜a1＜1，a2 020a2 021－1＞0，＜0，则( )
A. q＞1
B. a2 019a2 021－1＜0
C. T2 021的值是Tn中最小的
D. 使Tn＜1成立的最大正整数n的值为4 039
12. 已知函数f(x)＝sin ax－asin x，其中a＞0，且a≠1，则( )
A. f(x)为奇函数
B. f(x)为周期函数
C. 若0＜a＜1，则f(x)在区间(0，π)上单调递增
D. 若0＜a＜1，则f(x)在区间(0，2π)内没有零点
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 一个直角三角形的三条边的长度成等差数列，则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是________．
14. 已知θ为锐角，且满足tan 3θ＝4tan θ，则tan 2θ的值为__________．
15. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为线段A1C的中点，则三棱锥OABC的体积为________，过点O且垂直于A1C的平面与底面ABCD的交线长为________．
16. 已知函数f(x)＝x(xex－2)－4ln x，对于任意x＞0，f(x)≥a恒成立，则整数a的最大值为________．
四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (本小题满分10分)
为了解观众对球类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看球类体育节目时间的频率分布直方图、2×2列联表(将日均收看球类体育节目时间不少于40分钟的观众称为“球迷”).
性别
非球迷
球迷
合计
男
女
20
110
合计200
(1) 根据已知条件完成上图的2×2列联表；
(2) 据此调查结果，是否有95%的把握认为“球迷”与性别有关？
参考公式和数据：
χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d).
P(χ2≥x0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18. (本小题满分12分)
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bsin 2A＋asin B＝0，点D为边BC上一点，AD⊥AC.
(1) 求∠BAC的大小；
(2) 若AC＝4，AD＝3，求AB.
19. (本小题满分12分)
如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD是矩形，AB＝2BC＝2A1B1＝2，平面A1D1DA⊥平面ABCD，平面A1B1BA⊥平面ABCD.
(1) 求证：AA1⊥平面ABCD；
(2) 若二面角ABB1D的大小为，求四棱台ABCDA1B1C1D1的高．
20. (本小题满分12分)
已知数列{an}满足a1＝5，且an＝2an－1＋2n－1(n≥2且n∈N*).
(1) 设bn＝，是否存在实数λ，使得{bn}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(2) 求{an}的前n项和Sn.
21. (本小题满分12分)
全国高中数学联赛活动旨在通过竞赛的方式，培养中学生对于数学的兴趣，让学生喜爱数学，学习数学，激发学生的钻研精神，独立思考精神以及合作精神．现有同学甲、乙二人积极准备参加数学竞赛选拔，在5次模拟训练中，这两位同学的成绩如下表，假设甲、乙二人每次训练成绩相互独立．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
86
92
87
89
86
乙
90
86
89
88
87
(1) 从5次训练中随机选取1次，求甲的成绩高于乙的成绩的概率；
(2) 从5次训练中随机选取2次，用X表示甲的成绩高于乙的成绩的次数，求X的分布列和数学期望；
(3) 根据数据信息，你认为谁在选拔中更具竞争力，并说明理由．
参考公式：样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝
22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)＝.
(1) 求函数f(x)的极大值；
(2) 设实数a，b互不相等，且aeb－bea＝ea－eb，求证：ab＋a＋b＜0.
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2021～2022学年高三第一学期期中试卷(常州)
数学参考答案及评分标准
1. A 2. D 3. C 4. B 5. D 6. B 7. A 8. C 9. ACD 10. BCD 11. ABD 12. AC
13. 14. 15. 16. 0
17. 解：(1) 2×2列联表为
性别
非球迷
球迷
合计
男
60
30
90
女
90
20
110
合计
150
50
200
(4分)
(2) 因为χ2＝＝＝＝6>3.841，
所以，有95%的把握认为“球迷”与性别有关．(10分)
18. 解：(1) 因为bsin 2A＋asin B＝0，所以2bsin A cos A＋asin B＝0.
由正弦定理＝，得2ba cosA＋ab＝0.(3分)
因为ab≠0，所以2cos A＋1＝0，即cos A＝－.
又A∈(0，π)，所以∠BAC＝.(5分)
(2) 因为AD⊥AC，所以∠CAD＝.因为∠BAC＝，所以∠BAD＝.
在Rt△ACD中，AC＝4，AD＝3，所以CD＝5，
所以sin ∠ADB＝sin (π－∠ADB)＝sin∠ADC＝.(7分)
在△ABD中，由正弦定理＝，
得BD＝×sin ∠BAD＝c×＝c.
在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos ∠BAC，
得(5＋c)2＝42＋c2－8c×(－)，(10分)
解得c＝或c＝(舍)，所以AB＝.(12分)
19. 解：(1) 四边形ABCD是矩形，所以BC⊥AB.(1分)
因为平面A1B1BA⊥平面ABCD，平面A1B1BA∩平面ABCD＝AB，
BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面A1B1BA.(3分)
又AA1⊂平面A1B1BA，所以BC⊥AA1.(4分)
同理可得DC⊥AA1.
因为BC，CD⊂平面ABCD，BC∩CD＝C，所以AA1⊥平面ABCD.(6分)
(2) 在四棱台ABCDA1B1C1D1中，由(1)知AA1⊥平面ABCD，所以AA1是四棱台ABCDA1B1C1D1的高，设AA1＝h.
因为AA1⊥平面ABCD，又∠BAD＝90°，以{，，AA1}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则点A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(1，0，h)，D(0，1，0)，从而BB1＝(－1，0，h)，＝(－2，1，0).
设平面BB1D的法向量为n＝(x，y，z)，
则即 令z＝1，得x＝h，y＝2h，
可得平面BB1D的一个法向量为n＝(h，2h，1).(9分)
由(1)中BC⊥平面A1B1BA知平面ABB1的一个法向量为＝(0，1，0)，
所以|cos 〈n，〉|＝||＝cos ，即＝，
解得h＝，则四棱台ABCDA1B1C1D1的高为.(12分)
20. 解：(1) 当n≥2时，bn－bn－1＝－＝＝＝＝1－，当且仅当λ＝－1时，bn－bn－1＝1为常数，
所以，存在实数λ＝－1，使得{bn}是等差数列．(4分)
(2) 由(1)中{bn}是公差为1的等差数列，b1＝＝2，所以bn＝n＋1.
所以an＝(n＋1)·2n＋1.(6分)
Sn＝(2×21＋1)＋(3×22＋1)＋(4×23＋1)＋…＋[(n＋1)·2n＋1]
＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)·2n＋n，(7分)
令Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)·2n ①，
则2Tn＝2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)·2n＋1 ②，
由①②相减，
得－Tn＝2×2＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1＝4＋－(n＋1)·2n＋1＝－n·2n＋1.(10分)
所以Tn＝n·2n＋1，
所以Sn＝Tn＋n＝n(2n＋1＋1).(12分)
21. 解：(1) 记“甲的成绩高于乙的成绩”为事件A，从5次训练中随机选取1次，有5个等可能基本事件，其中甲的成绩高于乙的成绩的有2个，所以P(A)＝.
答：“甲的成绩高于乙的成绩”的概率为.(3分)
(2) X的可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝2××＝，
P(X＝2)＝×＝，
所以X的
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