资源描述
绝密★启用前（新高考卷）
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知复数，满足，，则
A． B． C． D．6
3．已知一个足球场地呈南北走向．在一次进攻时，某运动员从A点处开始带球沿正北方向行进16米到达B处，再转向北偏东60°方向行进了24米到达C处，然后起脚射门，则A，C两点的距离为
A．米 B．米 C．32米 D．米
4．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为O，若（O为原点），则F到l的距离为
A．1 B．2 C．4 D．6
5．有一个棱柱形状的石料，底面是边长为6的等边三角形，该石料侧棱垂直于底面，若可以将该石料打磨成四个半径为的石球，则至少需要打磨掉的石料废料的体积为
A． B． C． D．
6．已知向量，，其中．若，则
A． B． C． D．
7．现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
8．已知椭圆M：的上顶点为A，过点A且不与y轴重合的直线l与M的另一个交点为（其中），过B作l的垂线，交y轴于点C．若，则l的斜率k=
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知等比数列的公比为，前n项积为，若，则
A． B． C． D．
10．已知函数的图象关于点对称，且存在，使得在上单调递增，则下列选项正确的是
A．的最小正周期 B．在上单调递增
C．函数的图象不可能关于点对称 D．函数在内不存在极值点
11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点（其中A在B的左侧），记面积为S，则
A． B．时，
C．S的最大值为 D．当时，
12．已知函数，则下列说法正确的是
A．若在R上单调递增，则
B．若，设的解集为，则
C．若有两个极值点，，且，则
D．若，则过仅能做曲线的一条切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．A，B两篮球运动员在球衣号分别为6，8，9，18的四件球衣中各随机选一件，则A选的是偶数号球衣的不同选法共有 种．
14．已知直线过定点，则的最小值为 ．
15．若在圆C：上存在一点P，使得过点P作圆M：的切线长为，则r的取值范围为 ．
16．若曲线与曲线存在公切线，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且△ABC的周长为6．
（1）证明：；
（2）求△ABC面积的最大值．
18．（12分）
已知数列各项均为正数，，，且．
（1）若，求的前n项和；
（2）若为等比数列，且不为等比数列，求的值．
19．（12分）
一对夫要计划进行为期60天的自驾游．已知两人均能驾驶车辆，且约定：①在任意一天的旅途中，全天只由其中一人驾车，另一人休息；②若前一天由丈夫驾车，则下一天继续由丈夫驾车的概率为，由妻子驾车的概率为；③妻子不能连续两天驾车．已知第一天夫妻双方驾车的概率均为．
（1）求在刚开始的三天中，妻子驾车天数的概率分布列和数学期望；
（2）设在第n天时，由丈夫驾车的概率为，求数列的通项公式．
20．（12分）
如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，，，．
（1）证明：；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值．
21．（12分）
已知双曲线C：的焦距为8．过左焦点F的直线与C的左半支交于A，B两点，过A，B作直线l：的垂线，垂足分别为M，N，且当AB垂直于x轴时，．
（1）求C的标准方程；
（2）设点，判断是否存在，使得为定值？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
22．（12分）
设函数，其中，．
（1）若，且在区间单调递减，在区间单调递增，求t的最小值：
（2）证明：对任意正数a，b，仅存在唯一零点．
绝密★启用前（新高考卷）
数学参考答案
1．【答案】A
【解析】易知，因为，所以，所以．
2．【答案】C
【解析】因为，所以．
3．【答案】D
【解析】由题意可知，，则．
4．【答案】C
【解析】因为，所以，即，所以F到l的距离为4．
5．【答案】B
【解析】易知该石料底面内切圆半径为，所以打磨而成的石球，与该石料的各个侧面均相切，
因为最多打磨成四个，所以该石料的高度最小值为，
所以该石料的体积，
又四个石球的总体积，所以至少需要打磨掉的体积为．
6．【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，即，其中，，
所以，所以．
【另解】易解得，，则．
7．【答案】D
【解析】设甲组数据为，，…，，乙组数据为，，…，，
则，，，，
所以新的一组数据的平均数为，
所以新数据的方差．
8．【答案】C
【解析】由条件得直线AB的斜率，
设，直线CB的斜率，
因为，所以，即，
又因为B在椭圆上，所以，即，
所以，又因为，则消去，解得，
即点C坐标为，所以，
将代入，整理得，
解得，即，所以．
9．【答案】AC
【解析】因为，所以，
又，所以，所以，即，即A正确，B错误；
因为，所以，
因为，所以，即C正确，D错误．
10．【答案】AC
【解析】因为，所以，即A正确；
因为，
图象关于点对称，
所以在上不是单调递增，即B错误；
因为，且，，
所以函数的图象不可能关于点对称，即C正确；
当，，
又，且，
所以函数在内存在极小值，即D错误．
11．【答案】ACD
【解析】由对称性可知，，所以，即A正确；
设，，则x，，，且，
所以，
解得，即B错误；
易知，又，所以，
当且仅当时，上述等号成立，即C正确；
设，，则，
由余弦定理，可知，所以，
所以，
所以，即，
代入椭圆，解得，所以，即D正确．
12．【答案】ACD
【解析】，则，令，解得，
易知，
若在R上单调递增，则，所以，即A正确；
因为，所以当时，，
又，所以存在，使得，
易知在上单调递增，在上单调递减，
又，，
因为，所以，
则当时，，所以，所以，即B错误；
由B项过程可知，当时，仅有一个极值点，不符题意，
当时，易知在上恒成立，
且当时，，
由A项过程可知，，所以，即，
此时存在，，
使得，
即，设，则，
所以，解得，
设，由可知，，
所以单调递减，且，，所以，
所以，所以，即C正确；
当时，，则，设切点为，
则切线方程为，
因为切线过，所以，即，
设，则，令，解得或，
易知在和上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
又，所以存在唯一的，使得，
所以过仅能做曲线的一条切线，即D正确．
13．【答案】9
【解析】A选的是偶数号球衣的不同选法种数是，B只能从剩下的三件球衣中选取，有种不同选法，所以A，B所选球衣中A选的是偶数号球衣的不同选法为．
14．【答案】
【解析】因为直线过，所以，
所以，
当且仅当，时，上述等号成立．
15．【答案】
【解析】因为切线长为，所以，
所以圆C与以M为圆心，以为半径的圆有公共点，
又，所以，解得．
16．【答案】
【解析】设公切线与曲线的切点为，与曲线的切点为，
因为，，
所以在处的切线方程为，
同理可得，在处的切线方程为，
由题意可知，，即，
因为，所以，
所以，即，
消去，整理得，
设，，则，
令，解得，易知，
又，所以．
17．
【解析】
（1）因为，且，
所以，
展开整理得，命题得证；
（2）因为，
所以，
所以或，即或，
又，所以，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
即△ABC面积的最大值为．
18．
【解析】
（1）因为，所以，
所以，即数列为等差数列，公差，
所以；
（2）设的公比为q，
因为，
所以，
所以，
即，
因为不为等比数列，所以不是常数，
所以，．
19．
【解析】
（1）设妻子驾车的天数为随机变量X，则X可能取值为0，1，2，则
，
，
，
则；
（2）【方法一】
易知，，且，
所以，
又，所以，
由累加法可知，
【方法二】
根据题意有，，
即，
设，则，
所以，
故
20．
【解析】
（1）如图，作，垂足为O，连接CO，
因为，且，
所以△PBO是等腰直角三角形，
又，所以，
又，，，由余弦定理可知，
所以，即，
又，OP，平面POC，
所以OB⊥平面POC，
又平面POC，所以，即；
（2）【方法一】
因为平面PAB⊥平面ABC，且平面平面，，平面PAB，
所以PO⊥平面ABC，又平面ABC，所以，
以O为原点建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，
则，，，，
所以，，，
设平面APC的法向量为，则，
取，则，所以，
设平面BPC的法向量为，则，
取，则，所以，
设二面角B-PC-A为θ，由图可知，θ为锐角，
所以
【方法二】设线段PC中点为D，分别连接OD，AD，BD．
由（1）知，，
∴．
根据条件可得，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴∠ADB就是二面角A-PC-B的平面角．
又，，
在△ABD中，由余弦定理得
，
所以，二面角A-PC-B的余弦值为．
21．
【解析】
（1）由题意可知，，即，
所以，
设，，则，，
当AB与x轴垂直时，
因为，则，
所以，解得，，
即双曲线C的标准方程为．
（2）由（1）可知，，，
设直线AB：，因为直线AB与双曲线左支相交于两点，
所以，与C的方程联立，，消去x，
整理得，
所以，，
所以，
因为，
所以，且，
所以．
同理可得．
所以，
整理得，
所以，
整理得，
因为为定值，
所以或，
解得或
22．
【解析】
（1）当时，，
则，
设，则，
令，解得或，
易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
当时，存在，，，
使得，及，
易知在和上单调递减，在和上单调递增，
即不符题意，
当时，在上恒成立，则存在，使得，
易知在单调递减，在单调递增，
即符合题意，
又，则，
综上，t的最小值为．
（2）易知，
设，
则，所以，
①当，即时，，则 单调递增，
又时，，时，，
所以存在，使得，
易知在上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，
所以存在唯一的，使得，即，
②当，即，
存在，，
使得，且，
易知在和上单调递增，在上单调递减，
又当时，，
且时，，
所以存在，使得，
易知在上单调递减，在上单调递增，
又时，，时，，
所以存在唯一的，
使得，即；
综上，对任意a，b＞0，仅存在唯一零点．
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