新高考数学一轮复习讲义6.2《等差数列及其前n项和》(原卷版)

§6.2　等差数列及其前n项和 最新考纲 考情考向分析 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系. 主要考查等差数列的基本运算、基本性质，等差数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与数列的计算、证明、等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.难度中低档. 1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 . 3.等差中项 如果三个数x，A，y组成等差数列.那么A叫做x与y的 . 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N＋). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则 . (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为 . (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为 的等差数列. (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列. (7)若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为d.5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝ 或Sn＝ . 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝n2＋n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最 值；若a1<0，d>0，则Sn存在最 值. 概念方法微思考 1.“a，A，b是等差数列”是“A＝”的什么条件？ 2.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？ 3.如何推导等差数列的前n项和公式？ 题组一　思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　 　) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　 　) (3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　 　) (4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　 　) (5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　 　) (6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.(　 　) 题组二　教材改编 2.设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于(　　) A.31 B.32 C.33 D.34 3.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. 题组三　易错自纠 4.一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　) A.d> B.d< C.0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大. 6.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面. 题型一　等差数列基本量的运算 1.(2018·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于(　　) A.－12 B.－10 C.10 D.12 2.(2018·阜新模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7等于(　　) A.28 B.21 C.14 D.7 题型二　等差数列的判定与证明 例1　在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项. (1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn. 跟踪训练1　数列{an}满足an＋1＝，a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>. 题型三　等差数列性质的应用 命题点1　等差数列项的性质 例2　(2018·本溪模拟)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9等于(　　) A.9 B.17 C.72 D.81 命题点2　等差数列前n项和的性质 例3　(1)(2019·锦州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　) A.35 B.42 C.49 D.63 (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________. 跟踪训练2　(1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d等于(　　) A.0 B.1 C.－1 D.2 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.13 1.若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于(　　) A.－2 B.－ C. D.2 2.在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，则a4＋a5＋a6等于(　　) A.38 B.39 C.41 D.42 3.已知等差数列{an}中，a1 012＝3，S2 017＝2 017，则S2 020等于(　　) A.2 020 B.－2 020 C.－4 040 D.4 040 4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为(　　) A.65 B.176 C.183 D.184 5.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论： ①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.其中一定正确的结论是(　　) A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④ 6.在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为(　　) A.14 B.15 C.16 D.17 7.(2018·北京)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为____________. 8.(2019·包头质检)在等差数列{an}中，若a7＝，则sin 2a1＋cos a1＋sin 2a13＋cos a13＝________. 9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________. 10.已知数列{－}是公差为2的等差数列，且a1＝1，a3＝9，则an＝________. 11.已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝. (1)证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. 12.(2018·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值. 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，bn＝且b1＋b3＝17，b2＋b4＝68，则S10等于(　　) A.90 B.100 C.110 D.120 14.设等差数列{an}的公差为，前8项和为6π，记tan ＝k，则数列的前7项和是(　　) A. B. C. D. 15.已知数列{an}与均为等差数列(n∈N＋)，且a1＝2，则a20＝________. 16.记m＝，若是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”.已知数列{an}的“2n－1等差均值”为2，数列{bn}的“3n－1等比均值”为3.记cn＝＋klog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，求实数k的取值范围.