(新高考)高考数学一轮基础复习讲义10.2排列与组合(教师版)

第1课时 进门测 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　×　) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　√　) (5)A＝nA.(　√　) (6)kC＝nC.(　√　) 作业检查 无 第2课时 阶段训练 题型一　排列问题 例1　(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法． (2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种． 答案　(1)2 520　(2)216 解析　(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2 520(种)排法． (2)当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种．故不同的排法共有A＋CA＝120＋96＝216(种)． 引申探究 1．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 解　前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5 040(种)排法． 2．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 解　相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．根据分步乘法计数原理，共有A·A·A＝288(种)排法. 3．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 解　不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法，故共有A·A＝1 440(种)排法． 4．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？ 解　先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A＝5(种)排法；再安排其他人，有A＝720(种)排法．所以共有A·A＝3 600(种)排法． 思维升华　排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法. 　由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数． 求：(1)有多少个含2,3，但它们不相邻的五位数？ (2)有多少个含数字1,2,3，且必须按由大到小顺序排列的六位数？ 解　(1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有A个，2,3去排四个空档，有A个，即有AA个；而0在首位时，有AA个，即有AA－AA＝252(个)含有2,3，但它们不相邻的五位数． (2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有A个，去掉0在首位，即有A－A个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有A－A＝100(个)六位数． 题型二　组合问题 例2　(1)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是(　　) A．60 B．63 C．65 D．66 (2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有________种不同选法． 答案　(1)D　(2)36 解析　(1)因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数或全为偶数或2个奇数和2个偶数，故有C＋C＋CC＝66(种)不同的取法． (2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有C＝36(种)不同的选法． 引申探究 1．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？ 解　由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即有C＝C＝126(种)不同的选法． 2．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？ 解　可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有C种选法，再从余下的9人中选4人，有C种选法，所以共有C×C＝378(种)不同的选法． 3．本例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选”，其他条件不变，则不同的选法有多少种？ 解　可考虑间接法，从12人中选5人共有C种，再减去A，B，C三人都不入选的情况C种，共有C－C＝666(种)不同的选法． 思维升华　组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？ 解　(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561(种)， ∴某一种假货必须在内的不同取法有561种． (2)从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984(种)． ∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种． (3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100(种)． ∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种． (4)选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种)． ∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种． (5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式 C－C＝6 545－455＝6 090(种)． ∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种． 题型三　排列与组合问题的综合应用 命题点1　相邻问题 例3　一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(　　) A．3×3! B．3×(3！)3 C．(3！)4 D．9! 答案　C 解析　把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种坐法． 命题点2　相间问题 例4　某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________． 答案　120 解析　先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法．由分类加法计数原理知共有36＋36＋48＝120(种)安排方法． 命题点3　特殊元素(位置)问题 例5　从1,2,3,4,5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有________个． 答案　51 解析　分三类：第一类，没有2,3，由其他三个数字组成三位数，有A＝6(个)； 第二类，只有2或3其中的一个，需从1,4,5中选两个数字组成三位数，有2CA＝36(个)； 第三类，2,3均有，再从1,4,5中选一个，因为2需排在3的前面，所以可组成CA＝9(个)． 由分类加法计数原理，知这样的三位数共有51个． 思维升华　排列与组合综合问题的常见类型及解题策略 (1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列． (2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用． (3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置． (4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数． 　(1)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为(　　) A．150 B．180 C．200 D．280 (2)将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有(　　) A．150种 B．114种 C．100种 D．72种 答案　(1)A　(2)C 解析　(1)分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有·A＝90(种)分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C·A＝60(种)分派方法，所以不同分派方法种数为90＋60＝150，故选A. (2)先将五人分成三组，因为要求每组至少一人，所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1，所以共有＋＝25(种)分组方法．因为甲不能被保送到北大，所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择，剩下的两组无限制，一共有4种方法，所以不同的保送方案共有25×4＝100(种)． 第3课时 阶段重难点梳理 1．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 合成一组 2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (2)C＝＝＝ 性质 (1)0！＝1；A＝n！ (2)C＝C；C＝C＋C 重点题型训练 典例　有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种． 错解展示 解析　先从一等品中取1个，有C种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C种不同取法，共有C×C＝2 736(种)不同取法． 答案　2 736 现场纠错 解析　方法一　将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理，知有CC＋CC＋C＝1 136(种)． 方法二　考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C－C＝