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专题12 统计：方差等计算归类
目录
一、热点题型归纳 1
【题型一】 百分位数 1
【题型二】 众数、平均数、中位数等计算 3
【题型三】 方差1：利用方差公式计算 5
【题型四】 方差2；方差标准差线性关系 7
【题型五】 求方差3：由部分方差求总体 8
【题型六】方差4：与方差有关的比较大小 10
【题型七】 数据增加、丢失与剔除求平均数、方差等 12
【题型八】 方差等最值 14
【题型九】 综合 16
二、最新模考题组练 25
1.平均数
2.方差，
3.标准差，
【题型一】 百分位数
【例1】排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛，以下为排球社50位同学的垫球个数所做的频率分布直方图，所有同学垫球数都在5——40之间，估计垫球数的样本数据的75%分位数是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】D
【分析】
根据频率分布直方图，结合分位数计算公式即可求解.
【详解】
由已知，根据频率分布直方图可得：
垫球数在的人数为，占总数的；
垫球数在的人数为，占总数的；
垫球数在的人数为，占总数的；
垫球数在的人数为，占总数的；
垫球数在的人数为，占总数的；
垫球数在的人数为，占总数的；
垫球数在的人数为，占总数的；
因为分位数位于内，由，
所以估计垫球数的样本数据的75%分位数是.
故选：D.
【例2】如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第50百分位数是（ ）
A．2℃ B．1℃ C．0℃ D．℃
【答案】C
【分析】先将10个数由小到大排列，第50百分位数指的是这个数要大于等于这组数50%的数，由于5是整数，故第50百分位数是第5个和第6个数和的一半.
【详解】由折线图可知，这10天的最低气温（C）按照从小到大排列为：，，，，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以是整数，则这10天的最低气温的第50百分位数是（℃）．
故选：C
【例3】数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的70％分位数为（ ）
A．6 B．7 C．6.5 D．6或7
【答案】B
【分析】根据百分位数的定义即可求解.
【详解】数据共有9个，，所以分位数为第7个数，即7，
故选：B
【题型二】 众数、平均数、中位数等计算
【例1】国家射击运动员甲在某次训练中 10次射击成绩（单位：环）如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，，则下列关于这组数据说法不正确的是（ ）
A．众数为7和9 B．方差为
C．平均数为7 D．第70百分位数为8
【答案】D
【分析】
由众数、方差、平均数的求法判断ABC，再由第70百分位数的定义判断D.
【详解】
易知众数为7和9，故A正确；
平均数为，故C正确；
，故B正确；
10次射击成绩从小到大依次为，因为，所以第70百分位数为，故D错误；
故选：D
【例2】下列命题中是真命题的有（ ）
A．一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同；
B．有A、B、C三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30；
C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；
D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的分位数为4．
【答案】A
【分析】
对于A，直接求出平均数，众数和中位数即可判断；对于B，利用分层抽样直接求出样本容量即可判断；对于C，计算出乙组数据的方差，利用方差的意义即可判断；对于D，直接求出该组数据的分位数即可判断.
【详解】
A选项：平均数为，众数为，将数据从小到大排列为
中位数为，A正确；
B选项：根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，样本容量为，B错误；
C选项：乙组数据的平均数为，
乙组数据的方差为，
所以这两组数据中较稳定的是乙，C错误；
D选项：该组数据共个数，由，则该组数据的分位数为，D错误.
故选：A.
【例3】2021年2月20日，在党史学习教育动员大会上，习近平总书记强调这次学习教育“总的来说就是要做到学史明理､学史增信､学史崇德､学史力行，教育引导全党同志学党史､悟思想､办实事､开新局”.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
党史学习时间（小时）
7
8
9
10
11
党员人数
6
10
9
8
7
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第40百分位数分别是（ ）A．8，8.5 B．8，8 C．9，8 D．8，9
【答案】A
【分析】
利用众数，百分位数的定义即可求解.
【详解】
由统计数表可知，学习7小时的有6人，学习8小时的有10人，学习9小时的有9人，学习10小时的有8人，学习11小时的有7人，共有40人.
学习8小时的人数最多，故学习党史时间的众数是8；
由，故第40百分位数为数据从小到大排序第16项与第17项数据的平均数，
即，故学习党史时间的第40百分位数是8.5；
故选：A
【例4】四名同学各掷骰子4次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断该同学掷出的骰子一定没有出现点数1的是（ ）
A．平均数为3，众数为4 B．平均数为4，中位数为3
C．中位数为3，方差为2.5 D．平均数为3，方差为2.5
【答案】B
【分析】
依据数字特征的定义，依次对选项验证即可．
【详解】
对于选项，1，3，4，4符合条件，故错，
对于选项B，平均数为4, 中位数为3,则中间两数的和为6，所以第一个数和最后一个数的和为10，而最大数为6，所以第一个数为4，显然不可能出现1，故B对；
对于选项C，1，2，4，5,中位数，平均数为，方差，为符合条件，故C错；
对于选项D，1，2，4，5，由C知，符合条件，故D错.
故选：B
【题型三】 方差1：利用方差公式计算
【例1】在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续天，每天新增疑似病例不超过人”，根据过去天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据，一定符合该标志的是（ ）
A．甲地：总体均值为，总体方差为
B．乙地：总体均值为，中位数为
C．丙地：总体均值为，总体方差大于
D．丁地：中位数为，总体方差为
【答案】A
【分析】
根据均值，方差，中位数的概念分析四地疑似病例的情况，即可选出正确选项.
【详解】
对于A，假设至少有一天的疑似病例超过人，
此时方差，这与题设矛盾，所以假设不成立，故A正确；
对于B，平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过人，故B不正确；
对于C，当总体方差大于，不知道总体方差的具体数值，
因此不能确定数据的波动大小，故C错误；
对于D，中位数为，总体方差为，如，
平均数为，
方差，
满足题意，但是存在大于的数，故D错误.
故选：A.
【例2】某次训练中，甲、乙、丙、丁四人各自的射击情况如下表所示：
甲
乙
丙
丁
次数
3
5
3
4
平均环数
8.4
8.7
8.7
8.3
方差
3.6
3.6
2.2
5.4
则这次训练中，四人全部射击成绩的方差约为（ ）
（结果精确到0.1）A．3.8 B．8.3 C．3.9 D．3.7
【答案】A
【分析】
根据平均数和方差的概念依次计算即可得出结果.
【详解】
四人全部射击成绩的平均环数
，
所以
故选：A
【例3】四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）．
A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4 D．中位数为3，方差为2.8
【答案】C
【分析】
根据题意举出反例，即可得出正确选项．
【详解】
解：对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差S2＞（6﹣2）2＝3.2＞2.4，
∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C正确；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：＝（1+2+3+3+6）＝3
方差为S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D错误．
故选：C．
【例4】已知是互不相等的自然数，且，标准差为2，则该样本数据的极差为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】
不妨设，平均数为，方差为，根据条件可得，，，然后分、、三种情况讨论求解即可.
【详解】
不妨设，平均数为，方差为，
则，解得，即，
所以，则.
当时，数据依次为5，6，7，8，9，则样本的方差为
，不满足题意；
当时，数据依次为4，6，7，8，10，则样本的方差为
，满足题意；
当时，，，，此时，方差大于4，不合题意.
故样本中最大的数为10，最小的数为4，极差为6.
故选：B
【题型四】 方差2；方差标准差线性关系
【例1】已知一组数据，，，…，的标准差为2，将这组数据，，，…，中的每个数先同时减去2，再同时乘以3，得到一组新数据，则这组新数据的标准差为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
【答案】C
【分析】
利用数据的均值、方差的线性运算直接求得.
【详解】
因为数据，，，…，的标准差为2，所以方差为4．
由题意知，得到的新数据为，，，…，，
这组新数据的方差为，标准差为6．
故选：C
【例2】若个样本、、、、的平均数是，方差为，则对于样本、、、、的平均数与方差分别是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】D
【分析】
设、、、、的平均数为，方差为，求出、的值，利用平均数和方差公式可求得样本、、、、的平均数与方差.
【详解】
设、、、、的平均数为，方差为，
则，，
由题意可得
，则，
，
所以， 样本、、、、的平均数为
，
方差为
.
故选：D.
【例3】若样本的平均值是5，方差是3，样本的平均值是9，标准差是b，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设的平均值为，方差为，进而根据公式列式求解即可.
【详解】
解：设的平均值为，方差为，
因为样本的平均值是5，方差是3，
所以，
因为样本的平均值是9，标准差是b，
所以，，
所以
故选：D
【例4】设样本数据、、、的平均数为，标准差为，若数据、、、的平均数比标准差大，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由平均数、方差公式结合题意得出，其中，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】
由已知条件可得，，
则数据、、、的平均数为，
方差为
，
由已知可得，所以，，其中，
，
故选：D.
【题型五】 求方差3：由部分方差求总体
【例1】为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为a，方差为2；高中部50名党员竞赛成绩的平均分为b，方差为．若a=
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