甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学（理科）试题(wd无答案)

甘肃省兰州市第五十七中学2022-2023学年第一次模拟考试数学（理科）试题(wd无答案) 一、单选题 (★) 1. 已知全集 ．集合 ， ，则阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． (★★) 2. 如果复数 是纯虚数，那么实数 m等于（ ） A．﹣1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1 (★) 3. 设 ， ，则“ 或 ”是“ ”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (★★★) 4. 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象，图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形则当 时，该黑色三角形内共去掉个小三角形 A．81 B．121 C．364 D．1093 (★★) 5. 下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ） A． B． C． D． (★★★) 6. 如图，在直角梯形 中， ， 为 边上一点， ， 为 的中点，则 ＝（ ） A． B． C． D． (★★) 7. 已知不等式组 所表示的平面区域为面积等于 的三角形，则实数 k的值为（ ） A．－1 B． C． D．1 (★★) 8. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第 个儿子的年龄为 ，则 （ ） A．23 B．32 C．35 D．38 (★★★) 9. 已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． (★★) 10. 某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有（　　） A．30种 B．36种 C．42种 D．48种 (★★) 11. 已知双曲线 C 1： － ＝1( a>0， b>0)，圆 C 2： x 2＋ y 2－2 ax＋ a 2＝0，若双曲线 C 1的一条渐近线与圆 C 2有两个不同的交点，则双曲线 C 1的离心率的取值范围是（ ） A． B． C．(1，2) D．(2，＋∞) (★★★) 12. 若函数 有两个零点，则实数 a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 (★★) 13. 若 ，则 的值为 ______ ． (★★) 14. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的 ， 分别为176，320，则输出的 为 ______ ． (★★) 15. 若椭圆的中心在原点，一个焦点为 ，直线 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为 ______ ． (★★) 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，则sinA+sinC的最大值是 ______ ． 三、解答题 (★★★) 17. 已知 的三个内角 的对边分别为 ，若角 成等差数列，且 ， （1）求 的外接圆直径； （2）求 的取值范围. (★★★) 18. 如图所示，在四面体 中， ，平面 平面 ， ，且 . （1）证明： 平面 ； （2）设 为棱 的中点，当四面体 的体积取得最大值时，求二面角 的余弦值. (★★★) 19. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1： 年份x 2013 2014 2015 2016 2017 储蓄存款y(千亿元) 5 6 7 8 10 表1 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理， ， 得到下表2： 时间代号t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 表2 (1)求 z 关于 t 的线性回归方程； (2)通过(1)中的方程，求出 y 关于 x 的回归方程； (3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？ (附：对于线性回归方程 ，其中 ) (★★★) 20. 已知直线 与焦点为 F的抛物线 相切. （Ⅰ）求抛物线 C的方程； （Ⅱ）过点 F的直线 m与抛物线 C交于 A， B两点，求 A， B两点到直线 l的距离之和的最小值. (★★★) 21. 设函数 ． （1）当 （ 为自然对数的底数）时，求 的最小值； （2）讨论函数 零点的个数． (★★★) 22. 在直角坐标系 中，曲线 C的参数方程为 （ t为参数），以坐标原点极点，以 x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l的极坐标方程为 ． (1)求曲线 C的普通方程和直线 l的直角坐标方程： (2)若直线与曲线 C交于 A， B两点，点 P的坐标为 ，求 的值． (★★★) 23. 已知函数 （1）当 时，解不等式 ； （2）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．