高一下学期第三次月考数学试卷（含答案解析）

高一下学期第三次月考数学试卷（含答案解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 复数的共轭复数是(    ) A. B. C. D. 2. 若复数对应复平面内的点，且，则复数的虚部为(    ) A. B. C. D. 3. 复数z满足，则(    ) A. B. C. D. 4. 正方体的棱长为1，M是棱的中点，O是的中点，则MO的长为(    ) A. B. C. D. 5. 已知复数的实部为4，其中a，b为正实数，则的最小值为(    ) A. 3 B. 4 C. D. 6. 已知是等腰直角三角形，点D在线段BC的延长线上，若，则(    ) A. 1 B. C. D. 7. 在中，，分别为角A，B，C的对边，则的形状为(    ) A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的个数是(    ) ①若，则； ②若，，，则有两解； ③若为钝角三角形，则； ④若，，则面积的最大值为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，若，，则的面积是(    ) A. 3 B. C. D. 10. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若CD是角C的平分线，，，求CD的长.(    ) A. 3 B. 2 C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 下列关于棱锥、棱台的说法： ①棱台的侧面一定不会是平行四边形； ②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥； ③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是______. 12. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则AB边上的中线的实际长度为______ . 13. 两相邻边长分别为3cm和4cm的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为______ 14. 有三座城市A，B，C，其中A在B的正东方向，且与B相距100km，C在A的北偏东方向，且与A相距300km，一架飞机从城市A出发，以的速度向城市C飞行，飞行后，接到命令改变航向，飞往城市B，此时飞机距离城市B______ 15. 如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体ABCD的表面积为，则函数的定义域为__________；最大值为__________. 三、解答题（本大题共4小题，共35.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 本小题分 已知复数，其中m为实数，i为虚数单位． 为何值时，z是纯虚数； 若复数z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 17. 本小题分 在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知， 能否成立？请说明理由； 若，求 18. 本小题分 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为 现有以下三个条件： ①；②；③ 请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解. 已知向量，，函数，在中，，且____，求的取值范围. 19. 本小题分 某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，单位：米，E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设 求AE、AF的长用的代数式表示； 为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大即休息区尽可能小当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？ 参考答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：复数的共轭复数是 故选： 直接利用共轭复数的概念得答案． 本题考查复数的基本概念，是基础题． 2.【答案】C  【解析】解：由题意，， 又，， 则复数的虚部为 故选： 由已知求得，代入，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得，则答案可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】B  【解析】 【分析】 先利用复数的四则运算求出复数z，再利用复数模长公式求解． 本题考查复数的基本运算及复数的模，考查数学运算核心素养，是基础题． 【解答】 解：， 复数， 故选：    4.【答案】B  【解析】解：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 则，，， 因为点M是棱的中点，点O是的中点， 所以，，， 所以 故选： 由题意及正方体的特点可以建立如图示的空间直角坐标系，求得的坐标，可求OM的长． 本题考查求两点间的距离，属基础题． 5.【答案】D  【解析】解：的实部为4， 则，解得， ，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为 故选： 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，求出，再结合不等式公式，即可求解． 本题主要考查复数与不等式的综合，属于中档题． 6.【答案】D  【解析】解：是等腰直角三角形，且，， ，， 在中，设， 由余弦定理可得：， ， 即， 解得，负值舍去 故 故选： 由已知可求，，在中，设，根据余弦定理即可求出． 本题考查了等腰直角三角形的性质和余弦定理，考查了运算求解能力，属于基础题． 7.【答案】B  【解析】解：，，， ， ，即， 为直角三角形． 故选： 利用二倍角公式代入求得，进而利用余弦定理化简整理求得，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形． 本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用． 8.【答案】C  【解析】解：对于A选项，若，则，由正弦定理可得，所以，，A选项正确； 对于B选项，，则，所以，有两解，B选项正确； 对于C选项，若为钝角三角形且C为钝角，则，可得，C选项错误； 对于D选项，由余弦定理与基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，，D选项正确． 故选： 利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A选项的正误；利用正弦定理可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用基本不等式、余弦定理结合三角形的面积公式可判断D选项的正误． 求三角形面积的最值是一种常见的类型，主要方法有两类：找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解． 9.【答案】B  【解析】解：由，可得， 由余弦定理：， 所以：， 所以； 则 故选： 根据题意，利用余弦定理可得ab，再利用三角形面积计算公式即可得出答案． 本题考查余弦定理、三角形面积计算公式，关键是利用余弦定理求出ab的值，属基础题， 10.【答案】B  【解析】 【分析】 本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握角分线定理、余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 结合余弦定理和已知条件，可得，再利用余弦定理，即可得解C的值，由角分线定理知，在中，由余弦定理，可求得BC的长，进而知AC与的值，再在中，由余弦定理，得解． 【解答】 解：由余弦定理知， ， ，即， 由余弦定理知，， ， 由角分线定理知， 设，则， 在中，由余弦定理知，， ，解得， ，， ， 在中，由余弦定理知，， 故选：    11.【答案】①②  【解析】解：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故选项①正确； 由四个平面围成的封闭图形是四面体，也就是三棱锥，故选项②正确； 如图所示的四棱锥被扑灭截成的两部分都是棱锥，故选项③错误． 故答案为：①②． 利用棱台的结构特征判断选项①，由三棱锥的结构特征判断选项②，运用特殊例子判断选项③． 本题考查了空间几何体的结构特征，解题的关键是掌握常见空间几何体的定义以及结构特征，数据基础题． 12.【答案】  【解析】解：直观图中，， 中，， 由勾股定理可得 则AB边上的中线的实际长度为 故答案为： 由已知中直观图中线段的长，可分析出实际为一个直角边长分别为3，4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 本题考查的知识点是斜二测画法直观图，其中掌握斜二测画法直观图与原图中的线段关系是解答的关键． 13.【答案】或  【解析】解：若边长为3cm的边作为底边，则圆柱的底面积为； 若边长为4cm的边作为底边，则圆柱的底面积为 故答案为：或 由已知分类利用圆的面积公式求解． 本题考查旋转体的结构特征，考查圆面积的求法，是基础题． 14.【答案】  【解析】解：如图所示： 由题意知：，，，， 利用余弦定理：， 所以 故答案为： 直接利用余弦定理和三角函数的值的应用求出结果． 本题考查的知识要点：余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 15.【答案】   【解析】 【分析】 本题考查了空间四面体的表面积计算问题以及三角函数的相关性质，属于难题． 设，其余各棱长为2，求出四面体ABCD的表面积，利用三角函数求出的定义域和它的最大值． 【解答】 解：如图所示，四面体ABCD中，设，其余各棱长为2； 则、是正三角形， 在等腰三角形ACD中，，其中，所以，所以，解得； 因为，所以 所以四面体ABCD的表面积为 ，， 故当，即时，函数取得最大值为； 所以的定义域为，最大值为 故答案为：；    16.【答案】解：是纯虚数， ，解得 对应的点在第二象限， ，解得， 的取值范围为  【解析】本题考查了纯虚数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题． 根据已知条件，根据纯虚数的概念即可求解． 根据复数z所在的象限，即可求解． 17.【答案】解：不成立， 在锐角中，，， ， ， ，这与为锐角三角形矛盾， ， 由余弦定理可得 ， 整理可得 解得，或， 当时，， 为钝角，与题意不符合，   【解析】本小题主要考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力及应用意识方法，属于基础题． 利用反证法，结合三角形的性质即可判断； 根据余弦定理即可求出． 18.【答案】解：，…2分 所以，…4分 ①若，则由正弦定理可得：，即， 因为C为三角形内角，，可得，因为，可得 ②若，由正弦定理可得：，由余弦定理可得，因为，可得 ③若，则，所以，可得，因为，可得…7分 由正弦定理可得， 所以，， 因为，所以，…8分 所以，…9分 因为，所以，， 所以，即的取值范围为…12分  【解析】利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，由已知可求a的值，若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，可得若选②由正弦定理，余弦定理可得，结合范围，可得若选③利用余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可得，进而根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由，可求范围，进而根据正弦函数的性质可求其取值范围． 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 19.【答案】解：在中，，，， 由正弦定理有：，可得：